1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1.Комплексные числа в алгебраической форме

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел: z x, y .

Замечание. «Упорядоченная» означает, что указано, какое число считается первым, а какое – вторым. Первое из этих чисел называется вещественной частью числа z и обозначается символом x Re z , второе число называется мнимой частью и обозначается y Im z . Пары чисел можно

рассматривать как координаты точки или координаты вектора (п. 6.1) на плоскости. Плоскость с выбранной на ней декартовой системой координат, на которой откладываются комплексные числа, называется комплекс-

ной плоскостью (или Гауссовской плоскостью). Ось абсцисс на такой плоскости называется вещественной осью, а ось ординат – мнимой осью. Чтобы не заботиться о порядке этих чисел в данной паре, около второго числа ставят символ i и записывают комплексное число в виде z x yi .

Символ i обычно называют мнимой единицей. Числа вида x 0 i обычно отождествляют с обычными вещественными числами и обозначают просто x (на комплексной плоскости они располагаются на вещественной оси), а числа вида 0 y i называют чисто мнимыми (они располагаются

на мнимой оси).

Определение. Запись комплексного числа в виде z x yi называется

алгебраической формой записи комплексного числа. Два комплексных чис-

ла называются равными, если равны одновременно их вещественные и мнимые части. Таким образом, равенство двух комплексных чисел z1 z2 ,

где z1 x1 y1i ,	z2 x2 y2i	равносильно системе равенств	x	x
			1	2 . Ком-
			y1	y2

плексное число, у которого вещественная и мнимая части равны нулю, называется нулевым и обозначается 0 0 0 i . Суммой двух комплексных чи-

сел z1 x1 y1i и z2 x2 y2i называется новое комплексное число, определяемое формулой w z1 z2 x1 x2 y1 y2 i . Таким образом,

комплексные числа, рассматриваемые как векторы, складываются по правилу параллелограмма или, что то же самое, – по правилу треугольника (п. 6.1). Вычитание – это действие, обратное сложению, т. е. равенство w z1 z2

равносильно равенству z1 w z2 , поэтому w z1 z2 x1 x2 y1 y2 i. Отличие теории комплексных чисел от векторной алгебры на плоскости заключается в том, что в множестве комплексных чисел кроме операций сложения и умножения вводятся еще две операции: умножение комплексных чисел между собой и обратная операция – деление комплексных чисел

5

друг на друга. По определению, произведением комплексных чисел z1 x1 y1i , z2 x2 y2i называется новое комплексное число, определяемое формулой:

w z1 z2 x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i .

Можно доказать, что только при таком определении сумма и произведение комплексных чисел обладают всеми привычными свойствами суммы и

произведения вещественных чисел. В частности,	по этой формуле
i2 i i 0 1i 0 1i 0 0 1 1 0 1 0 1 i 1.	Поэтому иногда го-

ворят, что i – это корень квадратный из –1, хотя это имеет смысл лишь на комплексной плоскости (т. е. в множестве векторов на плоскости), а в множестве вещественных чисел такого корня не существует. Благодаря этому обстоятельству можно не запоминать формулу, по которой перемножаются комплексные числа, а перемножать их как биномы, т. е. по-

членно, но в произведении заменять i2 на –1. Например,

		2 3i 3 – 4i 6 9i – 8i – 12i2 6 i 12 18 i.
Замечание.		Очевидно, что i0 1, i1 i , i2 1, i3 i , i4 1, i5 i ,
i6 1, i7	i ,	i8 1, …. Вообще, для любых целых n (даже отрицатель-
ных) i4n 1	i , i4n 2 1, i4n 3 i , i4n 1. Например, i79 i4 19 3						i .
Модулем комплексного числа z x yi называется число				z				x2 y2 .
Числом, сопряженным к данному комплексному числу z x yi								называ-

ется число z x yi . Очевидно, что на комплексной плоскости сопряженные комплексные числа изображаются векторами, симметричными друг другу относительно вещественной оси, что z z и что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть вещественное число, равное квадрату модуля каждого из них: zz x2 y2 | z |2 | z |2 . Эти замечания позво-

ляют легко вычислять частное от деления двух комплексных чисел друг на друга. По определению, деление есть действие, обратное умножению,

т. е. равенство w	z1	равносильно равенству z	w z	2	. Это равенство
	z2	1

в свою очередь равносильно системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v , где w u vi . Можно убедиться, что эта система всегда имеет решение, если только z2 0 и записать формулы для этого

решения в общем виде. Однако все этого можно не делать, так как если числитель и знаменатель дроби домножить на число, сопряженное ее знаменателю, то знаменатель станет вещественным, и мы получим алгебраическую форму частного:

6

		z		x y i		x1 y1i x2 y2i				x x x y i x y i y y i2
	w	1		1 1						1 2 2 1 1 2 1 2	,
		z2		x2 y2i		x2	y2i x2	y2i		x22 y22

откуда заменяя i2 на –1 и деля почленно, получим:

z1

x1x2 y1 y2

x2 y1 x1 y2

i .

z2

x22 y22

x22 y22

Именно

так

делят комплексные

числа. Например,

z2 4 5i , то

z

2 3i

2 3i 4 5i

8 10i 12i 15i2

7 22i

1

4

5i 4 5i

z

2

4 5i

16

25

41

если z1 2 3i ,

417 2241 i .

1.2. Полярные координаты

Определение. Полярной системой координат на плоскости называется выбранная на плоскости числовая полуось PR. Она называется полярной полуосью, а ее начало P – полюсом.

Определение. Пусть на плоскости выбрана полярная система координат PR. Тогда полярными координатами точки М на плоскости называется упорядоченная пара чисел r, , первое из которых равно расстоянию

от точки М до полюса: r PM , а второе равно углу (в радианах) между

радиус-вектором PM точки М и направлением полярной полуоси:

MPR.

Теорема (о связи декартовых и полярных координат). Пусть на плос-

кости выбраны две системы координат: декартовая XOY и полярная PR, причем полярная полуось совпадает с положительной частью оси абсцисс декартовой системы. Тогда для любой точки М на плоскости ее декартовые координаты x, y и полярные r, связаны соотношениями:

r

x2 y2

arctg

y

,

если x 0;

x r cos

x

,

arctg

y

если x 0;

(1.1)

y r sin

,

x

2

x 0

x 0

, если

;

,

если

2

y 0

2

y 0.

7

Доказательство: очевидно из определений и чертежа (рис. 1.1). Замечания. 1. В отличие от декартовых координат полярными коор-

динатами не могут быть любые числа, так как обязательно r 0 .

В отличие от декартовых координат полярные координаты точки определяются не однозначно, так как полярный угол точки определяется не однозначно, а с точностью до целого кратного 2 . Чтобы восстановить однозначность, вводится понятие главного значения полярного угла. Главным значением 0 полярного угла называется то его значение, которое

удовлетворяет неравенству: 0 . Очевидно, что главное значение

полярного угла определяется однозначно, а общее значение определяется через главное по формуле: 0 2 k, k 0, 1, 2, .

В отличие от декартовых координат в полярных координатах есть точка, а именно, полюс Р, у которой полярным углом считается любой угол: координаты точки Р есть 0, , где – любой угол, , .

		Пример. Точка с декартовыми коорди-
y	M	натами (1,1) имеет в выбранной полярной
		системе полярные координаты		2,
							.
	r					4

P	x
	Рис. 1.1

Все точки положительной части оси абс-

Rцисс имеют полярный угол, равный 0, а отрицательной части – угол .

1.3. Комплексные числа в тригонометрической форме

Определение. Пусть на комплексной плоскости выбраны две системы координат: декартовая и полярная, причем полярная полуось совпадает с положительной частью вещественной оси. Тогда для любого комплексного числа z x yi полярные координаты представляющей его точки

M x, y называются его модулем и аргументом и обозначаются соответственно r z и Arg z , а главное значение аргумента обозначается

0 arg z .

Замечания.

1. Модуль комплексного числа был уже определен раньше, и, очевидно, новое определение совпадает со старым.

2. Ясно, что модуль и аргумент комплексного числа вычисляются по его вещественной и мнимой части по тем же формулам (1.1), которые приведены выше.

Определение. Запись комплексного числа через его модуль и аргумент называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

8

Следствие. Тригонометрическая форма записи числа z x yi имеет вид

z r cos i sin

(1.2)

Действительно, используя формулы (1.1), получаем:

z x yi r cos r sin i r cos i sin ,

т. е. формулу (1.2).

Пример. Используя пример из п. 1.2, получаем тригонометрическую

форму числа 1 i :
1 i				i sin
	2 cos					.
			4		4
Замечание. Сравнивая соответствующие определения, мы видим, что
два комплексных числа z1 r1 cos 1 i sin 1 и z2 r2							cos 2 i sin 2	, за-

писанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны: r1 r2 , а аргументы либо равны, либо отличаются на це-

лое кратное 2 : 1 2 2 k .

Теорема 1.1. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е.

r	cos	isin	r	cos	2	isin	2		r r	cos		2	isin	2	.
1	1	1	2						1 2	1			1

Доказательство. Перемножая комплексные числа почленно в левой части доказываемого равенства и используя формулы тригонометрии для косинуса суммы и синуса суммы, получим

r cos			i sin		r cos	2	i sin			2
1		1	1		1
r	r	cos cos		2	sin sin			2	i sin cos			2	cos sin	2
1	2		1		1						1		1
r1	r2	cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) ,

что и требовалось доказать.

Следствие. В частности, при возведении комплексного числа в натуральную степень n его модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т.е. справедлива формула

r cos	isin n rn cos n isin n .

При r 1 последняя формула принимает вид

cos isin п cos п isin п ,

который называется формулой Муавра.

9

Теорема 1.2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются, т. е.

	r	cos	isin	: r	cos	2	isin	2	r1 cos –					2	isin	–	2	.
	1	1	1	2						r2	1				1
		Доказательство. Деление – это действие, обратное умножению.
	Иными словами, если обозначить частное через										w	z1		R cos i sin ,
												z2

то это значит, что wz2 z1. По предыдущей теореме и по условию равенст-

ва комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, это значит, что выполняются два равенства: R r2 r1 , 2 1 2 k , откуда

R	r1	,			2 k , а это и означает справедливость доказываемого
				2
	r2		1

равенства ( 2 k под знаком синуса или косинуса можно не писать).

Следствие о геометрическом смысле умножения и деления комплекс-

ных чисел. При умножении комплексного числа w на комплексное число z , вектор, изображающий первый множитель, удлиняется в число раз, равное модулю второго множителя, и поворачивается на угол, равный аргументу второго множителя. Этот поворот происходит против часовой стрелки, если аргумент второго множителя положителен, и по часовой стрелке, если аргумент второго множителя отрицателен.

Аналогично, при делении комплексного числа w на комплексное число z, вектор, изображающий первый множитель, укорачивается в число раз, равное модулю второго множителя, и поворачивается на угол, равный аргументу второго множителя. Этот поворот происходит по часовой стрелке, если аргумент второго множителя положителен, и против часовой стрелки, если аргумент второго множителя отрицателен.

В частности, умножение и деление на комплексное число, модуль которого равен 1, означает просто поворот на угол, равный аргументу этого числа.

Пример. Вычислить (1 + i)20.

Решение:

	20						20					20		20		20
1 i										2
			2	cos		i sin							cos		i sin
					4		4							4		4

210 cos5 i sin 5 1024.

Теорема 1.3 (об извлечении корня из комплексного числа). Существует ровно n различных корней натуральной степени n из любого ненулевого комплексного числа z r cos i sin , и все они задаются формулой

10

n

n

cos 2k

2k

n

r cos i sin

i sin

w

z

r

,

(1.3)

k

n

n

где k пробегает множество значений

S 0,1,

, n 1 .

(1.4)

Доказательство. Равенство w nz R(cos isin ) означает, что

wn z . По правилу возведения комплексных чисел в натуральную степень и по условию равенства комплексных чисел, записанных в тригонометри-

ческой форме, получаем два равенства: Rn r , n 2 k . Отсюда следует, что все корни задаются формулой (1.3). Осталось доказать, что если k пробегает не все натуральные числа, а только множество S , то тем не менее мы получим, во-первых, все корни, и, во-вторых, каждый только один раз.

Докажем, что когда k пробегает все значения из S , мы получаем все корни из данного числа. Иными словами, докажем, что для любого l S

найдется такое число m S , что формула (1.3) при k l и k m даст одинаковое значение корня. Для этого поделим число l на n с остатком (напоминаем, что остаток по определению обязательно должен принадлежать множеству S, например, –26 : 7 = –4 (остаток 2), так как –26 = 7(–4) + 2) и обозначим неполное частное через q . Тогда l nq m , где m S, но это

значит, что

	2πl	2π nq m	2πm 2qπ ,
	n	n	n
т. е. дроби 2πm	и 2πl	отличаются на целое кратное числа 2 и по-
n	n
тому формула (1.3) дает одинаковые корни.
Осталось доказать, что при разных k1			и k2 из S формула (1.3) дает

разные корни. Для этого достаточно доказать, что аргументы этих корней

отличаются меньше, чем на 2 . Но

0

k1 k2

n 1. Поэтому

2πk

2πk

2

k1 k2

π

2 n 1 π

0

1

2

2π.

n

n

n

n

Теорема доказана полностью.

Следствие. Все корни n-ой степени из данного комплексного числа z располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного многоугольника (n-угольника) с центром в начале координат с радиусом описан-

ной окружности, равным n| z | . Действительно, числа, определяемые формулой (1.3), имеют одинаковый модуль при всех k из S, и, значит, все

11