Вопросы для самопроверки

1.Напишите формулу нахождения матричным способом решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

2.Напишите формулы Крамера, разъяснив смысл всех входящих в них символов.

3.Назовите условия, при которых можно решать СЛАУ матричным способом и применять формулы Крамера.

5.3. Общее решение СЛАУ

Замечание. Однородная СЛАУ

	a1,1x1 a1,2 x2 a1,n xn 0
				(5.9)
a	x a	x a	x 0
	m,1 1	m,2 2	m,n n

всегда совместна, так как, очевидно, всегда имеет так называемое нулевое

или тривиальное решение вида x1 x2						xn 0 .
Теорема об общем решении однородной СЛАУ. Пусть										A – матрица
СЛАУ (5.9), r r( A) – ее ранг, n – число неизвестных, тогда:
а) общее решение		X одн. однородной СЛАУ (5.9) является подпро-
странством размерности dim X			одн.		n r( A) в R n ;
б) общее решение X одн. однородной СЛАУ (5.9) выражается формулой
X	одн.	0 С X 1				С	n r		X n r ,	(5.10)
			1
где 0 – нулевой элемент в R n ,				С , , С				– произвольные постоянные,
					1	n r
X 1 , , X n r – линейно независимые решения однородной СЛАУ.
Доказательство. а) напомним, что A1, , Am – это строки матрицы A.
Запишем систему (5.9) в виде (5.4)
			A X 0
				1		.				(5.11)
			A X 0
				m

x1

Отметим, что столбец неизвестных X и строки A1, , Am мат-

xn

рицы A являются элементами (векторами) пространства R n , и как отмечалось ранее, произведение Ai X строки на столбец в (5.11) может рассмат-

риваться как скалярное произведение n-мерных векторов Ai и X . С учетом

65

сказанного X является решением системы (5.11) тогда и только тогда, когда он перпендикулярен всем строчкам A1, , Am , а значит, тогда и только

тогда,

когда

X

перпендикулярен всем векторам из линейной оболочки

K L A1, , Am

строк

A1, , Am .

Этим свойством обладают все векторы

ортогонального дополнения K линейной оболочки K и только они. Сле-

довательно, общее решение однородной СЛАУ (5.11) совпадает с K :

X

одн.

К .

(5.12)

Известно, что ранг матрицы равен рангу системы ее строк и равен

размерности

линейной

оболочки

этих

строк, т. е. r A r

A1,

, Am

dim K . С другой стороны, по теореме 4 п. 4.5 линейная оболочка K яв-

ляется подпространством пространства R n , причем размерности под-

пространства K и его ортогонального дополнения связаны равенством

dim K n dim(K ) . Объединяя сказанное, получаем dim X

одн.

dim K

n dim(K ) n r( A) . Первый пункт теоремы доказан;

б) как отмечалось в п. а) настоящего доказательства, ортогональное

дополнение

X одн. = K

является

линейным

пространством

размерности

dim X

одн.

n r( A) пространства

R n , следовательно, если n r( A) 0 , то

в X

одн.

= K

существует базис, состоящий из n r( A) линейно независи-

мых векторов, которые обозначим через X 1 ,

, X n r . Все векторы про-

странства X одн. = K , т. е.

все решения однородной СЛАУ и только они,

равны линейным комбинациям векторов базиса:

X

одн.

С X 1

С

X n r ,

1

n r

здесь С1, , Сn r – произвольные постоянные, и в случае n r(K ) 0 тео-

рема доказана. Если же dim X одн. n r( A) 0 ,	то X одн. 0 . Объединяя
оба случая, получаем формулу (5.11).
Определение. Пусть r r( A) – ранг матрицы однородной СЛАУ, n –
число ее неизвестных и n r , тогда любой набор	X 1 , , X n r линейно

независимых решений этой СЛАУ называется ее фундаментальной системой решений. Существование фундаментальной системы решений следует из доказательства последней теоремы.

Замечания:

1. Однородная система AX 0 всегда совместна, так как, очевидно, всегда имеет так называемое нулевое или тривиальное решение x1 xn 0 .

66

2.Ранги матрицы и расширенной матрицы однородной СЛАУ, очевидно, всегда одинаковы, так как расширенная матрица получается из нерасширенной добавлением нулевого столбца.

3.Однородная СЛАУ имеет единственное, следовательно, только нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен числу неизвестных: r( A) n . Это следует из второй теоремы настоя-

щего пункта.

3. В частности, если у однородной СЛАУ число уравнений равно числу неизвестных, т. е. ее матрица квадратная, то равенство r( A) n означа-

ет, что определитель этой системы не равен нулю. Вывод: однородная система с одинаковым числом уравнений и неизвестных имеет только нулевое решение, если ее определитель не равен нулю, и имеет бесчисленное множество нетривиальных решений, если ее определитель равен нулю.

4. В частности, если ранг матрицы однородной системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных равен числу n 1, т. е. r( A) n 1, то од-

ним из нетривиальных решений является набор алгебраических дополнений одной из строк определителя системы. Действительно, по определению ранга это означает, что определитель матрицы равен нулю, но один из миноров n 1-го порядка не равен нулю. Это означает, что алгебраическое дополнение одного из элементов определителя системы не равно нулю. Пусть для определенности этот элемент стоит в последней строке, тогда

набор чисел х1 = Ап,1, х2 = Ап,2, …, хп = Ап,п, во-первых, нетривиален (по предположению, хотя бы одно из чисел отлично от нуля), а во-вторых, этот

набор чисел является решением данной системы (он удовлетворяет всем уравнениям, кроме последнего, по теореме об аннулировании, а последнему уравнению удовлетворяет потому, что результат подстановки этого набора в последнее уравнение по теореме о разложении равен величине определителя данной системы, а он равен нулю).

Теорема (общее решение неоднородной системы линейных уравне-

ний). Пусть ранг матрицы неоднородной СЛАУ		AX b равен рангу ее
расширенной матрицы: r A r Ap , тогда СЛАУ		AX b совместна и ее
общее решение X неодн.	совпадает с линейным многообразием
xчастн. Xодн.
	Xнеодн. xчастн. Xодн.,	(5.13)

где xчастн. – некоторое фиксированное частное решение неоднородной СЛАУ AX b , X одн. – общее решение соответствующей ей однородной СЛАУ

AX 0 . По предыдущей теореме X одн. является подпространством в R n .

67

Доказательство. а) совместность СЛАУ AX b следует из теоремы Кронекера – Капели;

б) докажем, что любой элемент у линейного многообразия xчастн. Xодн. является решением неоднородной СЛАУ. По определению линейного мно-

гообразия у может быть представлен в виде y xчастн. x ,				где xчастн. –
частное решение неоднородной СЛАУ из условия теоремы,				x Xодн. . Это
означает, что
Axчастн. b	Aу A xчастн. x A xчастн. A x b 0		b Ay b.
Ax 0
Следовательно, y является решением неоднородной СЛАУ AX b ;
в) теперь	докажем, что любое частное решение	y	неоднородной
СЛАУ AX b является элементом линейного многообразия				xчастн. Xодн. .
Для этого рассмотрим разность x y xчастн. , где xчастн.		– частное решение

Axчастн. b

неоднородной СЛАУ из условия теоремы. Поскольку , то

Ay b

Ax A y xчастн. A y A xчастн. b b 0,

т. е. x Xодн.. Но тогда y xчастн. x , причем x Xодн. , это как раз и озна-

чает, что y xчастн. Xодн..

Итак, мы показали, что в условиях теоремы все решения неоднородной СЛАУ AX b и только они задаются формулой (5.13), следовательно, (5.13) есть формула общего решения СЛАУ AX b . Теорема доказана.

Следствие. Поскольку общее решение однородной СЛАУ AX 0 задает формула

X	одн.	С X 1	С	n r	X n r	,
		1

то, как следует из (5.13), общее решение неоднородной СЛАУ AX b задает формула

		X	неодн.	x		С X 1	С	n r	X n r .		(5.14)
				частн.		1
	Здесь	r r( A)	– ранг		матрицы СЛАУ,			n – число			неизвестных,
С , , С		– произвольные постоянные, X 1 , , X n r								– фундаменталь-
1	n r

ная система решений однородной СЛАУ.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте условие совместности системы линейных уравнений.

2.Когда система линейных уравнений не имеет решений?

68

3.Когда однородная система линейных уравнений имеет единственное решение?

4.Когда однородная система линейных уравнений имеет неединственное решение?

5.Напишите формулу общего решения однородной системы линейных уравнений.

6.Когда неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение?

7.Когда неоднородная система линейных уравнений имеет неединственное решение?

8.Напишите формулу общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

9.Как получить однородную СЛАУ, соответствующую неоднородной системе линейных алгебраических уравнений?

Задачи

1. Проверить совместность системы линейных уравнений x1 x2 1.

x1 x2 3

		Решение. Ранг матрицы системы								1	1
									A		равен двум r A 2 , так
										1	1
как ее определитель det A						1	1	2 0.			Ранг расширенной матрицы
						1	1
A		1		1 | 1				r A 2, так как ее минор второго по-
	p				также равен двум
									p
		1		1 | 3
рядка			1	1	2 0 , а минор третьего порядка составить нельзя. По тео-
			1	1
реме			Кронекера – Капели система совместна, так как r A r Ap .
						x x			1	несовместна.
		2. Докажите, что система					1	2
						x1 x2			3
		Решение. Ранг матрицы системы								1	1
									A		равен единице r A 1,
										1	1

так как единственный минор второго порядка этой матрицы равен нулю

	1	1		0 , и существует минор первого порядка								1		1 0 , не равный нулю.
	1	1			1	1	|	1							r A		2
Ранг расширенной матрицы A										равен двум						p		, так как
				p		1	|	3
					1

69