лежат на окружности радиуса nr с центром в начале координат (причем

делят ее на равные части. Поэтому иногда уравнение zn 1 0 называют «уравнением деления круга»).

Пример. Найти все корни уравнения z4 4 0 . Решение. По формуле (1.3)

																										2k																										2k
z 4 4 4 4 cos i sin 4																		4																							i sin																										,		k 0,1, 2, 3.
																					cos
																														4																													4
							, то при k 0 получаем:
Так как 4 4						2
						z1										i sin																		2							i						2									1 i.
										2 cos																		2
													4								4													2													2
Аналогично при k 1 получаем:
												3							3
																																						2									2
				z2				2 cos						i sin												2																i																	1 i ;
												4								4																		2									2
																		5											5
при k 2 получаем:																																																								2						2
										z3			2			cos								i sin																		2																		i										1 i ;
																		4												4																						2										2
																		7												7
при k 3 получаем:										z4														i sin																												2							i			2							1 i.
													2			cos																										2
																		4												4																						2										2

Видим, что все 4 найденных корня находятся в вершинах квадрата с центром в начале координат.

1.4. Комплексные числа в показательной форме

Предварительное замечание. До сих пор мы производили с комплексными числами только алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и извлечение корня натуральной степени. Оказывается, можно разумно определить и возведение чисел в мнимую (а значит, и в комплексную) степень. Разумно – значит так, чтобы сохранялись все привычные свойства показательной функции.

Определение. По определению полагаем, что

ei cos i sin .

(1.5)

Формула (1.5) называется формулой Эйлера.

Два основных свойства показательной функции от мнимого аргумента:

1) ei 1 при любом (действительно, по формуле (1.1)

| ei cos isin | cos2 sin2 1 1;

12

2) функция (1.5) периодична с периодом 2 : ei 2 ei (очевидно из формулы (1.5).

Утверждение. Все привычные правила действий с показательной функцией при вещественных показателях справедливы и при мнимых показателях, а именно, справедливы следующие равенства:

1) ei 1 ei 2 ei( 1 2 ) ;

2) ei 1 : ei 2 ei( 1 2 ) ;

i

2k

i

n

i n

n

i

3)

)

e

;

4)

e

n

, k 0, n 1.

(e

e

Все эти формулы доказываются при помощи формулы (1.5) и правил действий с комплексными числами в тригонометрической форме.

Докажем, например, первую из этих формул.

ei 1 ei 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2cos 1 2 i sin 1 2 ei 1 2 .

Следствия из формулы (1.5).

1.Тригонометрические функции можно выразить через показательные

смнимым аргументом по формулам

cos		ei e i			,	sin		ei	e i	,
									2i
			2
tg	sin			ei e i			e2i 1		и т. д.
	cos			i ei e i			i e2i 1

Действительно, подставляя в (1.5) «–φ» вместо «φ», получим:
e i cos i sin .	(1.6)

Складывая и вычитая формулы (1.5) и (1.6), получим доказываемые формулы.

2. Подставляя в тригонометрическую форму комплексного числа (1.2) формулу (1.5), убеждаемся, что любое комплексное число можно записать в виде

z rei .

(1.7)

Определение. Запись комплексного числа в форме (1.7) называется по-

казательной формой записи комплексного числа. Замечания.

1. Для записи комплексного числа в показательной форме нужно вычислить его модуль и аргумент по формулам (1.1).

2. Алгебраические действия с комплексными числами удобнее всего производить в показательной форме, но результат должен быть записан в алгебраической форме.

13

3. Показательная форма комплексного числа позволяет вводить и вычислять логарифмы комплексных чисел, тригонометрические и обратные тригонометрические функции от комплексного аргумента и т. д. Эти функции изучает специальная дисциплина – теория функций комплексного переменного. Мы эти функции изучать не будем.

																																		3												3										8i
																											2				cos						i sin												e								5
Пример. Вычислить w=																																		5												5																.
																																						i 3
																																					3									3 i
Решение. Перепишем все множители в показательной форме. Получим
						3i								8i																																																	2k														2 2k
																												2e i
			2e 5 e												5																										1																										i						1					i
																																																						2			6					3															3
w																																													e																													e								,
					i						3																i														4																																4
																				i													2k			i
													3
	2e						6						e 2																							3
																							8e				2 e 2
где k 0,1, 2. Отсюда следует, что:
при k 0:
								2 i
		1													1										2															2									1								1										3								1 i 3
w1					e		3													cos										i sin																															i																					;
		4													4												3													3									4								2										2										8
при k 1:
									4 i
		1														1										4														4									1								1										3								1 i 3
w2					e		3													cos												i sin																													i																						;
		4													4												3													3									4								2										2										8
при k 2 :
w3		1		e 2 i										1				cos 2 i sin																2									1			1 i 0																	1	.
		4																																							4																					4
														4

Вопросы для самопроверки

1.Что называется комплексным числом, его вещественной и мнимой частью?

2.Какие два комплексных числа называются равными?

3.Какое число называется сопряженным данному комплексному числу?

4.Какие числа равны своим сопряженным?

5.Что такое модуль и аргумент комплексного числа? Как они вычисляются?

6.Каков геометрический смысл умножения и деления комплексных

чисел?

7.Как извлечь корень натуральной степени из комплексного числа?

8.Как располагаются корни натуральной степени из данного комплексного числа на комплексной плоскости?

9.Как выражаются тригонометрические функции через показательную и почему?

14