9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

I (t) = lim	DQ = lim	Q(t + Dt) -Q(t)	=Q¢(t).
Dt ®0	Dt Dt ®0	Dt

Это динамическая модель распространения электричества в проводнике.

б) Линейная плотность стержня r(х) в точке х при известной массе стержня m(x) находится как

r(x) = lim Dm = m¢(x).

Dx®0 Dx

в) Теплоемкость с(t) тела при известном количестве тепла q(t), сообщенном телу при нагревании его до температуры t:

c(t) = lim Dq = q¢(t).

Dt®0 Dt

10.10.2. Динамические модели химии

а) Закон Вант-Гоффа для полимерных растворов имеет вид

lim	p	=	RT	,
g ®0 g			m*N

где р — осмотическое давление, m*N — среднечисленный молекулярный вес, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, g — концентрация раствора.

При малых концентрациях g измерения осмотического давления р дают возможность определения m*N .

б) Если m — количество химического вещества, вступившего в реакцию к моменту времени t (m = m(t), а Dm = m(t + Dt)), то скорость реакции в момент времени t определяется как

V (t) = lim Dm = m¢(t).

Dt ®0 Dt

Это определение является основой кинетики химических реакций.

Один из фундаментальных ее разделов — теория скоростей химических реакций. Скорость молекулярной реакции А ® продукты обычно пропорциональна концентрации NÀ реагента А:

dNA = -kNA, dt

"

где k — константа скорости реакции. Скорость бимолекулярной реакции А + В ® продукты пропорциональна числу столкновений молекул А и В, и следовательно, произведению концентрации реагентов:

dN

d A = -kNANB .

t

Эти соотношения называются законом действующих масс, вывод которого был дан Вант-Гоффом в 1877 г. Цель теории скоростей химических реакций — выяснить, от каких параметров и как зависит константа скорости реакции. Современная теория скоростей химических реакций основана на законах квантовой механики и статистической физики.

10.10.3. Оптимизационные модели

В математике, физике, химии, экономике, технических науках довольно распространенными и важными являются задачи, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее значения некоторых функций. Это задачи оптимизации.

Общая схема построения математической модели и ее исследования состоит в следующем:

1 этап: выявляют оптимизируемую величину, обозначают ее, например у, а одну из неизвестных величин — х;

2 этап: исходя из условий задачи строят зависимость у(х) и определяет промежуток, в котором изменяется х;

3 этап: полученная функция исследуется на экстремум или по схеме исследования на наибольшее и наименьшее значения функции;

a r

x a

4 этап: полученный результат интерпретируют для рассматриваемой задачи.

Рассмотрим задачу из химической технологии. Процессы сульфирования и хлорирования органических соединений часто осуществляются с применением света. На какой высоте над круговой площадкой

aрадиусом a следует поместить источник све-

Ðèñ. 10.17

Ðèñ. 10.17

та, чтобы освещенность границы площадки была максимальной? Площадка не перпендикулярна лучам (рис.10.17).

"

Решение. Известно, что освещенность выражается формулой

E = k cosa, r2

где a — угол падения световых лучей, r — расстояние площадки от источника света. Обозначим через х искомую высоту, тогда

r = a2 + x2 ,

cosa =

x

,

a2 + x2

и зависимость E(x) выражается формулой

E(x) =

kx

,

x > 0.

(a2 + x2 )3

Находим

2

2

-

3

é

2

2

2 -1

ù

k (a2 - 2x2 )

E¢(x) = k (a

+ x

)

2

ê1

- 3x

(a

+ x

)

ú

=

,

5

ë

û

(a2 + x2 )

E ¢(x) = 0 Þ x =

a

— критическая точка, удовлетворяющая

2

a

имеем E ¢(x) > 0, а при

a

x > 0. Ïðè 0 < x <

x >

получаем

2

2

E ¢(x) < 0, ò.å. x =

a

—

искомая высота.

2

Литература: [4. С. 164–209]; [5. С. 181–200]; [7. С. 178–193]; [16. С. 127–159].

"!

Глава 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

11. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Опорный конспект ¹ 11

11.1. Понятие функции нескольких переменных.

Элементы топологии в R n

O:

n

x x

xn

xi

i

n

y

f

x

x

x

x

x

x

n

y

n

n

Y

x

x

xn

y

z

f

x

y

x

y

f

x

y

c

c

KKKKKKKH

Î:

M

M

ÌÌ

M x y

M

M

11.2. Предел и непрерывность функций нескольких

переменных

Î: A

f x y

M

M

f x y A

MM

Î:	z	f x y	Ì x	y
f	x	y	M	f x y f x y
			M	M

""

11.3. Частные приращения и частные производные

zf x y

	Î: xz f x				x y		f x y		yz f x y y f x y
								x	y.
		z			z		z		y	z
				x
	O:
		x x		x			y y		y

xy.

11.4.Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях.

O: z	f	x	x	y y	f x	y
			f x	y
O: z	f	x	y				M x y
	Z		A x	B y	x	y	o
				x	y

zz

z		x		y	x	x, y

xy

			f		f
f x	x y	y f x y		x		y

xy

11.5.Частные производные и полные дифференциалы

высших порядков						z		z
						x y		y x
	z
nz	n z					y nz
			x

xy

z		z
x		y

z		z		z
				y x
x		x y

y

z

y

"#

11.6. Производные сложных функций

z

z

x

z

y

z

f

x

y

x

x t y

y t

t

x

t

y

t

z

z

z

y

z

f

x

y

y

y x

x

x

y

x

f x y x x u v y y u v

z

z

x

z

y

z

z

x

z

y

u

x

u

y

u

v

x

v

y

v

11.7. Неявные функции, их дифференцирование

y

F

F

F x

y

y y x

x

x

y

F x

y

z

z

z x

y

z

F

F

z

F

F

x

x

z

y

y

z

11.1. Понятие функции нескольких переменых. Элементы топологии в Rn

	Примеры:		õ
		y	õ y
		R	S xy
			Ò
			Ì x y z
			t
T	f	x y z	t
x	y z	t	x y z t

"$

											c
								ñi
									i N
									Ò
ð			c f c c		cN p T			c			N
Î:		n			y	f	x	x	xn
			n
	Y	R
			Y
x	x	xn									y Y
	Y	x	x	xn			n	y	Y
y f x x			x		õ õ		x		n y Y
			n				n
Y
									.
	z	f x	y x y				z	Z			. Z
x y	z	Z
Примеры:
z	x	y
z		x	y
	x	y	x	y
Î								à
z		x	y			x	y
	x	y			á
		Y						Y

1	1	X
X	O
O
a	á
Ðèñ. 11.1
Ðèñ. 11.1

"%

OXYZ

z

x

y

Z

			Y
	1
O	1	Y	XÕ
			O

X

Ðèñ. 11.2

ÐèñÐèñ. 11. 11.3 .3

z f x y

f x y

c c

z x

y

x y c c

u f x y z

f x y z	c	c
Примеры:
u		x	y z	x y z
				Î
u	x	y	z	x y z c
c				Î

z f x y

"&

2

Y

M (x , y )

D

M(x,y)

M

M

X

O

Ðèñ. 11.4

Ðèñ. 11.4

Î:

Ì x

y

Ì

Ì õ ó

KKKKKKKH

Ì x y

M

ÌÌ

Ì

Î:

Ì x y

Ì

Î:

Ì

Î:

7

Î:

"'

à

á

n

n

M x

x

xn

Î:

M x x

xn

Ì

M M Rn

KKKKKKKH

KKKKKKKH

n

xi

xi

M M

M M

i

11.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных

	z	f x y
XOY	Ì x y
Î:	À	f x y
	Ì x y	Ì x y

Ì x y

Ì

Ì

f x y A

A

f M

>

MM

MM f x y A

Î:	z f x y	Ì x y
		Ì

		f	M	f x y f x y
	M	M	M	M
Î:	z	f x	y

#