9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Y		Y
y=|x|		y = 3	x
		O	X
	:
O
Ðèñ. 10.5		ÐèñÐèñ. 10. 10.6 .6

qРассмотрим первую часть теоремы.

Запишем формулу Лагранжа для точек х0, õ1, ãäå õ1 лежит в ок-

рестности х0: (õ1 Î Ud[x0]): f (x1) - f (x0) = f ¢(c)(x1 - x0); Возможны два случая:

à) x1 < x0 Þ x1 < c < x0, f ¢(c) > 0, x1 - x0< 0 Þ f (x1) < f (x0); á) x0 < x1 Þ x0 < c <x1, f ¢(c) < 0, x1 - x0 > 0 Þ f (x1) < f (x0).

Таким образом, " х ОUd[x0] выполняется неравенство f (x) < f (x0), и по определению в т. x0 функция имеет max. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы (для min) x

Используя достаточные признаки монотонности и экстремума, получаем следующую схему исследования функции на монотонность, экстремумы:

1)находим D(f );

2)находим точки, подозрительные на экстремумы, и разбиваем этими точками D(f ) на интервалы монотонности;

3)проверяем знак f ¢(х) в полученных интервалах (достаточно проверить знак в одной точке интервала).

Результаты исследования удобно занести в таблицу.

Пример: y = 3 (x2 - 1)2 .

					2		-	1				4x
1) D(f ) = R; 2)				y¢ =		(x2	- 1) 3 × 2x =								;
					3						3	x	2	- 1
y¢ = 0 ïðè x			= 0	ü			3
		1		ý	— точки, подозрительные на экстремум.
y¢ $ ïðè x		, x
	2		= ±1
		3		þ

Получаем интервалы монотонности: (-¥, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +¥);

3) результаты заносим в таблицу.

!

x	-¥, -1	-1	-1, 0	0	0, 1	1	1, +¥
y	]	ymin=0	Z	ymax=1	]	ymin=0	Z
y ¢	-	$	+	0	-	$	+

По результатам исследований можно приблизительно построить график (рис. 10.7).

	Y
	1
	0	X
-1		1
	Ðèñ.. 10..7

10.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Т: (достаточный признак э. II) Пусть f ¢(x0) = 0, а f ¢¢(x) существует и непрерывна в некоторой окрестности т. х0. Åñëè f ¢¢(x0) < 0, то функция имеет max в т. х0, åñëè f ¢¢(x0) > 0, òî

функция имеет min в т. х0 n

q Пусть f ¢(x0) = 0, f ¢¢(x0)<0. В силу непрерывности f ¢¢(x) сохраняет знак всюду в окрестности т. x0, по достаточному признаку монотонности f ¢(x) ] в окрестности т. x0, íî f ¢(x0) = 0 Þ f ¢(x) > 0 ïðè x < x0, f ¢(x) < 0 ïðè x > x0 (рис.10.8). По достаточному признаку э. I в т. x0 функция имеет max.

Аналогичные рассуждения для случая

f ¢(x)			f ¢¢(x0) > 0	x
			Достаточный признак э. II применим
			только для случая f ¢(x0) = 0, ò.å. äëÿ ñòà-
O	x		X ционарных точек x0.
					x3
		Пример:		y =		- x2 - 3x.
				3
	Ðèñ. 10.8
	Ðèñ. 10.8
!

y ¢ = x2 - 2x - 3 = 0, x1 = -1, x2 = 3, y ¢¢ = 2x - 2, y ¢¢(-1) < 0 Þ f (-1) = ymax, y ¢¢(3) > 0 Þ f (3) = ymin

Применим сведения об экстремумах для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a, b].

Пусть f (x) О C[a,b] и дифференцируема на (a, b) за исключением, быть может, конечного числа точек. Она достигает своего наименьшего и наибольшего значений (свойство 10 непрерывных на [a, b] функций), которые могут находиться или в точках экстремума, или на концах отрезка.

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее зна- чения f (x) на [a, b], необходимо:

1)найти точки на [a, b], подозрительные на экстремум;

2)найти значения функции в этих точках и на концах промежутка [a, b], выбрать из них наименьшее и наибольшее значения.

Пример: y = x3 - 3x + 7, x Î [0, 2].

1)y ¢ = 3x2 - 3 = 0 ïðè õ = ±1, x = 1 Î [0, 2],

2)y(1) = 5 = yíàèì, y(0) = 7, y(2) = 9 = yíàèá.

10.6. Выпуклость, вогнутость

О: График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на (a, b), если он расположен на (a, b) ниже касательной, проведенной в любой его точке; вогнутым (выпуклым вниз), если он расположен выше любой своей касательной (рис. 10.9).

Y						Y
				Выпуклый					Вогнутый
O			a	b	X	O			a	b X

Ðèñ. 10.9

Ðèñ. 10.9

Т: (достаточный признак выпуклости, вогнутости) Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на (a, b). Если f ¢¢(x) < 0 на (a, b), то график f (x) — выпуклый, f ¢¢(x) > 0 — вогнутый n

!!

Ðèñ. 10.10

Ðèñ. 10.10

условию, т.е. y - y < 0 Ы часть теоремы x

q Пусть f ¢¢(x) < 0 на (a, b). Сравним при значении х ординату y кривой y = f (x) с ординатой y ее касательной, проведенной в некоторой т. (х0, f (x0)), x0 Î (a, b). Åñëè y > y, то по определению график выпуклый на (a, b) (рис.10.10). Подставим в уравне-

ние касательной y - y0

= f ¢(x0)(x - x0) координаты (x,

) и найдем

y

:

= f (x0) + f ¢(x0)(x

- x0).

y

y

Составим разность

y -

= f (x) - f (x0) - f ¢(x0)(x - x0).

Y

y

M

ì

Разность f (x) - f (x0) преобразуем по

ì

y=f(x)

формуле Лагранжа:

ï

ï

ï

f (x) - f (x0) = f ¢(ñ)(x - x0), ñ Î (x0, x),

ï

yí

í

y

тогда y -

= (x - x )(f ¢(ñ) - f ¢(x )).

y

y

ï

ï

0

0

Применим формулу Лагранжа к раз-

ï

ï

ности f ¢(с) - f ¢(x0):

O

î

î

X

a

x Xõ b

f ¢(ñ) - f ¢(x0) = f ¢¢(x)(ñ - õ0), ãäå x çà-

ключено между с и х0.

Тогда y - y = f ¢¢(x)(ñ - õ0)(x - x0). Произведение (с - х0) (x - x0) > 0, f ¢¢(x) < 0 ïî

y > y. Аналогично доказывается вторая

10.7. Точка перегиба

О: Точкой перегиба графика функции y = f (x) называется точ- ка, в которой меняется направление выпуклости графика (рис. 10.11).

			Очевидно, что касательная в точке переги-
		Y	ба, если она существует, пересекает график.
		ò.ï.	Т: (необходимый признак т.п.) Пусть функция
			y = f (x) дважды непрерывно дифференциру-
			ема в окрестности т. х0 è â ò. (õ0, f (x0)) имеет
	O	X	точку перегиба. Тогда f ¢¢ (х0) = 0 n
		x	q	Предположим противное, т.е. что
		Ðèñ.. 10..11	f ¢¢(õ0) ¹ 0, для определенности f ¢¢(х0) > 0. Â ñèëó
			непрерывности f ¢¢(х) знак сохраняется всюду в

окрестности т. х0, т.е. по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый в окрестности т. х0. Полученное противоречие с условием теоремы доказывает, что f ¢¢(х0) = 0 x

Условие f ¢¢(х0) = 0 не является достаточным. Например, для функции y = x4 вторая производная y ¢¢ = 12x2 = 0 ïðè õ = 0, íî â

!"

Ðèñ. 10.13

Ðèñ. 10.13

данной точке функция имеет min, а не пе-	Y
региб (рис.10.12). Если f ¢¢(х0) $, òî ò.(õ0,
f (õ0)) может являться т.п. Например, для

y = 3 x5	вторая производная y¢¢ =	10			$		X
		9	3	x
						O
при х = 0, до т.(0, 0) при x > 0 график по до-
статочному признаку выпуклости, вогнуто-						Ðèñ. 10.12
сти является выпуклым, после т. (0, 0) при
x < 0 — вогнутым, т.е. т. (0, 0) — точка пе-						Y
региба (рис.10.13).
Точку х0, в которой f ¢¢(х) = 0 Ъ $, назо-
вем подозрительной на перегиб.
Т: (достаточный признак т.п.) Пусть						O	X

f (x) Î C[a,b] è õ0 О (a, b) — подозрительная на перегиб. Если при пере-

ходе через т. х0 производная f ¢¢(х) меняет знак на противоположный, то (х0, f (õ0)) — точка перегиба n

q Пусть для определенности f ¢¢(х) > 0 при х < x0, f ¢¢(õ) < 0 ïðè õ > x0. Тогда по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый до т.(х0, f (õ0)), а после нее — выпуклый, т.е. при х = х0 перегиб x

Исследование функции на выпуклость, вогнутость точки перегиба производится по следующей схеме:

1)находим D(f );

2)находим точки, подозрительные на перегиб, и разбиваем D(f ) этими точками на интервалы выпуклости, вогнутости;

3)проверяем знак f ¢¢(х) в полученных интервалах.

Результаты исследования удобно занести в таблицу.

Пример: y = e-x2		— кривая Гаусса.
1) D(f ) = R;
2) y¢¢ = e-x2	(4x2 - 2), y¢¢ = 0 ïðè		x	= ±	2	— точки, подо-
			1,2		2

зрительные на перегиб. Получаем интервалы выпуклости, вог-

æ

-¥, -

2

ö

æ

-

2

2

ö

æ

2

, +¥

ö

нутости:

ç

÷

,ç

,

÷

,ç

÷;

2

2

2

2

è

ø

è

ø

è

ø

3) заполняем таблицу.

По результатам исследования можно построить график (рис.10.14).

!#

x

æ

2 ö

2

æ

2

2 ö

2

æ

2

ö

ç -¥, -

÷

-

ç

-

,

÷

ç

, +¥ ÷

è

2 ø

2

è

2

2 ø

2

è 2

ø

y

È

y

ò.ï.

= e-1/2

Ç

y

ò.ï.

= e-1/2

È

y ¢¢

+

0

-

0

+

Y

1

e-1/2

O

X

-Ö2/2

Ö2/2

Ðèñ. 10.14

Ðèñ. 10.14

10.8. Асимптоты

О: Прямая называется асимптотой графика y = f (x), если рас-

стояние d от переменной точки М графика до этой прямой

при удалении т. М в ¥ стремится к нулю.

Асимптоты делятся на вертикальные и наклонные.

10.8.1. Вертикальные асимптоты

Y

Асимптоты x = a, параллельные оси

OY (рис.10.15). Необходимым и доста-

точным условием существования асим-

M

птоты x = a для функции y = f (x) явля-

åòñÿ

d

lim

f (x) = ¥.

(10.1)

x®a±0

O

x

a

X

Действительно, для асимптоты x = a,

åñëè

M(x, f(x))

удаляется

â

¥, ò.å.

f(x) ® ¥, то по определению d = |x -a| ® 0,

ÐèñÐèñ. 10. 10.15.15

т.е. х ® а + 0 или х ® а - 0, получаем

!$

указанное условие (10.1). Справедливо и обратное: из условия (10.1) d = |x - a| ® 0 при М ® ¥, т.е. x = a — асимптота.

10.8.2. Наклонные асимптоты

Асимптоты y = kx + b.

Найдем k и b через функцию y = f(x). Расстояние d от т. М(x, f (x)) до прямой y = kx + b находится по формуле

d = f (x) - kx - b . 1+ k2

Из определения асимптоты при х ® ±¥ имеем: d ® 0, т.е.

lim ( f (x) - kx - b) = 0.

Обозначим f (x) - kx - b = d, тогда k =

f(x)

-

x®±¥

x

-

b

-

d

. Переходя к пределу при х ® ±¥, получим k = lim

f(x)

-

x

x

x®±¥

x

- lim

b

- lim

d

= lim

f (x)

. Найдем b = f (x) - kx - d и перейдем

x®±¥ x x®±¥ x x®±¥ x

к пределу при х ® ±¥, тогда

b = lim ( f (x) - kx) - lim d = lim ( f (x) - kx).

x®±¥

x®±¥ x®±¥

Таким образом, если наклонная асимптота существует, то k и b находятся по формулам:

k = lim	f (x)	,	b = lim ( f (x) - kx).
x®±¥	x		x®±¥

Заметим, что в частном случае при k = 0 получаем горизонтальную асимптоту y = b.

Если вертикальных асимптот у графика функции может быть любое конечное число (ищем их в точках разрыва функции), то наклонных может быть не более двух: одна при х ® +¥, другая — при х ® -¥.

Пример: y = x3 + 2x + 1 . x(x + 1)

Т.р.: х = 0, х = -1, проверяем условие (10.1):

lim	x3	+ 2x +1		= ¥, lim	x	3 + 2x +1		= ¥,
x®0 x(x +1)				x®-1		x(x +1)

!%

т.е. х = 0, х = -1 — вертикальные асимптоты.

Проверим, имеется ли наклонная асимптота y = kx + b. Находим

2

1

x3 + 2x +1

¥

1 +

+

k = lim

=

= lim

x2

x3

= 1,

{¥

}

x ®¥

x(x +1)

x ®¥

1+

1

x

b = lim

æ x

3 + 2x +1

- x

ö

= lim

-x

2 + 2x +1

=

¥

=

ç

÷

x ®¥

x(x +1)

x ®¥

x(x +1)

{¥}

è

ø

-1

+

2

+

1

2

= lim

x

x

= -1,

1

x®¥

1 +

x

т.е. y = x -1 — уравнение асимптоты

10.9.Общая схема исследования функции

èпостроение графика

Чтобы построить график функции, рекомендуется исследовать

ååпо следующей схеме:

1)найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2)найти асимптоты графика функции;

3)проверить симметрию графика, периодичность;

4)найти интервалы монотонности, экстремумы;

5)найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6)найти точки пересечения с осями координат;

7)провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8)построить график функции.

Замечание. В п. 3 проверяется симметрия графика относительно оси OY, которая имеет место в случае четной функции f (x) (f (-x) = f (x)), или симметрия относительно начала координат для нечетной функции f (x) (f (-x) = -f (x)).

!&

Пример:

y =

x

.

ln x

1) x Î (0, 1) È (1, +¥), õ = 1 — ò.ð.;

2) находим lim

x

= ¥ Þ x = 1 — вертикальная асимптота.

x®1 ln x

Для асимптоты y = kx + b:

k = lim

x

= 0,

b = lim

x

=

¥

= lim

1

= ¥,

{¥}

1

x ®¥ x ln x

x ®¥ ln x

x ®¥

x

т.е. наклонной асимптоты нет; 3) график симметрией, периодичностью не обладает;

4) находим y¢ = ln x - 1, y¢ = 0 ïðè ln x = 1 Û x = e — ïîäî- ln2x

зрительная на экстремум, y ¢$ в точках, которые не входят в D(f ).

Имеем таблицу:

x	(0, 1)	(1, e)	e	(e, +¥)
y	]	]	ymin = e	Z
y ¢	-	-	0	+

(Поскольку на (0, 1): y ¢(1/e) < 0, то y ]; íà (1, å): y ¢(Öå) < 0; y ]; íà (e, +¥): y ¢(e2) > 0 è y ] );

5) находим y¢¢ = -ln x + 2 , y ¢¢ = 0 ïðè ln x = 2 Û x = e2 — ïî- x ln3 x

дозрительная на перегиб, y ¢¢$ в точках, которые не входят в D(f ).

Составим таблицу:

x	(0, 1)	(1, e2)	e2	(e2, +¥)
y	Ç	È	yò.ï.= e2/2	Ç
y ¢	-	+	0	-

!'

(Поскольку на (0, 1): y ¢¢(1/e) < 0, то y З; на (1, e2): y ¢¢(e) > 0,

yÈ; íà (e2, +¥): y ¢¢(e3) < 0, y Ç);

6)точек пересечения с осями координат нет;

7)исследуем поведение функции при х ® 0:

lim	x	= 0 ×	1	= 0;
			¥
x ®+0 ln x

8) строим график функции (рис.10.16)

Y

15

10

5

O
	1 e	4	6 e2	8	X
-5
-10
		Ðèñ. 10.16

10.10. Применение методов дифференциального исчисления в математическом моделировании

Методы дифференциального исчисления — переход к пределу, дифференцирование, исследование на экстремум — применяются при построении и исследовании непрерывных, в частности, динамических, и оптимизационных моделей.

10.10.1. Непрерывные и динамические модели физики

Кроме физического смысла производной как скорости неравномерного прямолинейного движения v (t) = s ¢(t), второй производной — как ускорения w(t) = s ¢¢(t) известны и другие приложения производной в физике.

а) Сила тока I(t) в момент времени t при известном количестве электричества Q(t), проходящем за время t через поперечное се- чение проводника, вычисляется по формуле

"