9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

7.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Сравним характер стремления б.м. к нулю, рассматривая их отношения.

О: Бесконечно малая b(x) называется: а) б.м. высшего порядка малости по сравнению с б.м. a(x) при x ® a (b = о(a)),

åñëè	lim	b(x)	= 0;
	x®a a(x)

б) одного порядка малости с a(x) при x ® a, если

lim b(x) = A ¹ 0,¥;

x®a a(x)

в) несравнимой с a(x) при x ® a, если lim b(x) íå ñóùå-

x®a a(x)

ствует. Б.м. a(x) и б.м. b(x) называются эквивалентными

ïðè x ® a (a ~ b), åñëè lim b(x) = 1.

x®a a(x)

Примеры: 1) Пусть a(n) = 1/n3, b(n) = 1/n2, n ® ¥, тогда

lim

b(n)

= lim n = ¥, ò.å. a = î(b).

n®¥ a(n)

n®¥

2) Åñëè a(x) = x2 - x, b(x) = x, x ® 0, òî

lim

b(x)

= lim

x

= lim

1

= -1,

x®0 a(x) x®0 x2 - x

x®0 x -1

т.е. a(x) и b(x) одного порядка малости.

3) Á.ì. b(n)=

1

sin n, a(n) =

1

, n ® ¥, несравнимы, так как

n

n

lim b(n) = lim sinn $.

n®¥ a(n) n®¥

Имеем sin x~x, ln(1 + x)~x при x ® 0, так как

lim	sin x	= 1, lim	ln(1 + x)	= 1
x®0 x		x®0	x

Справедливы следующие теоремы.

Т.1: Разность двух эквивалентных б.м. функций a(x) - b(x), x ® a является б.м. более высокого порядка по сравнению с каждой из них n

q Имеем:

lim

a(x) - b(x)

= lim

a(x)

-1 = 0 Û a(x) - b(x) = o(b(x)),

x ® a x

x®a b(x)

x®a b(x)

a x

a%

x

b x

%

Т.2: Если для б.м. справедливо: (

) :

(

),

(

) : (

), x ® a

è lim

a% (x)

существует, то lim

a(x)

= lim

a% (x)

n

b(x)

b(x)

x®a b(x)

%

x®a

x®a %

qДействительно, получаем:

a x

a x

a%

x

%

a x

lim

(

)

= lim

(

)

×

(

)

×

(

)

= lim

(

)

x

%

x®a b(x)

x®a a% (x)

b(x)

b(x) x®a b(x)

Т.3: Сумма конечного числа б.м. различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка малости n

q Пусть в сумме б.м. a(x) + b(x) + g(x) при x ® a слагаемое a(x) низшего порядка, тогда

lim	a(x) + b(x) + g(x)	= 1+ lim	b(x)	+ lim	g(x)	= 1 x
x®a	a(x)	x®a a(x) x®a a(x)

Теоремы применяются при нахождении пределов.

Пример:

	sin2x	ì sin x : x, x ® 0	ü		x2
lim		= í	ý = lim			= 1.
x ®0 x arctg x		îarctg x : x, x ® 0	þ	x ®0 x × x

Литература: [4. С. 40–97]; [5. С. 125–147]; [10. С. 34–122]; [16. С. 69–84].

8. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
			Опорный конспект ¹ 8
8.1. Определения непрерывности
Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) — приращение f (x) в точке х0
Î.1:	f (x) непрерывна в т. х0 Û
	1) f (x) определена в т.х0 и ее окрестности,
	2)	lim Dy = 0
	Dx®0
О.2: В О.1 вместо 2)						Y		M
условие 2		¢	) lim	f (x) = f (x0 )			M0	Dy
			x®x0					Dx
Î.1 ~ Î.2								f (x0+ Dx)
(x0 + Dx = x)
							f(x0)
						O		X
							x0	x0+ Dx
8.2. Точки разрыва (т.р.) — точки, в которых нарушается опр.
непрерывности
lim	f (x) = f (x0 - 0) — lim слева, x < x0;
x ® x0 -0
lim	f (x) = f (x0 + 0)				— lim справа, x > x :
x ® x0 +0							0
x < x0			x0	x > x0
Классификация т.р.:
1) устранимая т.р.: f (x0 + 0) = f (x0 - 0), íî f (x0)$;
2) ò.ð. 1-ãî ðîäà: f (x0 + 0) ¹ f (x0 - 0);
3) т.р. 2-го рода — остальные т.р.
1) Y				2)	Y		3) Y
O			X		O	X	O	X
		x0				x0		x0
								!

8.3. Свойства функций, непрерывных в т. N0

10. j(х), y(х) — непрерывны в т. х0

	ìj(x) + y(x),
	ï
	Þ íj(x) × y(x),	— непрерывны в т. x0
	ï
	îj(x)/y(x), y(x) ¹ 0,

20. y = j(z) непрерывна в т. z0, z = y(x) непрерывна в т. x0, z0 = y(x0) Ю j[(y(x)] непрерывна в т. x0

С л е д с т в и е. Элементарные функции непрерывны в областях определения.

8.4. Свойства функций, непрерывных на [=, >]

(множество C[a,b])

m— наименьшее, М — наибольшее значения f (x) на [a, b]

Ûm £ f (x) £ M

10. f (x) Î C[a, b] Þ $x1, x2 Î [a, b]: f (x1) = m, f (x2) = M 20. f (x) Î C[a, b], f (a) × f (b) < 0 Þ $ c Î [a, b] : f (c) = 0.

30. f (x) Î C[a, b] Ю "m между f (a) и f (b) $x О [a, b]: f (x) = m

Y Y Y

					m
	m	M
		a	c	b				X
a		b X		X	a	x	b
		10	20			30

8.1. Определения непрерывности

Пусть функция y = f (x) определена в т. x0 и ее окрестности: y0 = f (x0). Если аргумент x получит приращение Dx в т. x0, ò.å. x = x0 + Dx — новое значение, то и функция получит приращение Dy. Новое значение функции будет y0 + Dy = f (x0 + Dx), а приращение функции в т. x0 Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) (ðèñ. 8.1).

О.1: Функция y = f (x) называется непрерывной в т. x0, åñëè:

1)она определена в т. х0 и ее окрестности;

2)lim Dy = 0.

Dx®0

"

Y

y =f (x)

Dy

y0

D x

O

x0

X

x0+D x

Ðèñ. 8.1

Ðèñ. 8.1

Пользуясь данным определением, можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны в точках, в которых они определены.

Например, y = x2 непрерывна в любой точке х0 Î R, òàê êàê

lim Dy = lim [(x0 + Dx)2 - x02] = lim (2x0Dx + (Dx)2) = 0.
Dx®0	Dx®0	Dx®0

О.2: Функция y = f (x) называется непрерывной в т. x0, если: 1) она определена в т. х0 и ее окрестности;

2¢) lim f (x) = f (x0).

x®x0

Таким образом, О.2 отличается от О.1 пунктом 2). Эквивалентность О.1 и О.2 (пунктов 2) следует из x = x0 + Dx, ò.å.

	lim Dy = 0 Û lim [ f (x) - f (x0)] = 0.
	Dx®0	x®x0
Условие 2¢) можно записать иначе. Поскольку f (x0) = f ( lim x),
òî lim		x®x0
	f (x) = f ( lim x), что дает возможность переходить к пре-
x®x0	x®x0

делу под знаком непрерывной функции.

О: Функция y = f (x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Множество функций, непрерывных на Х, объединяют в класс и обозначают C[X] (или C0[X]).

#

8.2. Точки разрыва

О: Точка х0 называется точкой разрыва функции y = f (x), если функция не является непрерывной в т. х0.

Для классификации точек разрыва введем определения односторонних пределов.

О: Предел lim f (x), если х ® х0, оставаясь меньше х0, íàçû-

	x®x0
вается левосторонним		пределом	è	обозначается
lim	f (x) = f (x0 - 0). Предел при х ® х , х > х , называет-
x®x0 -0			0	0
ñÿ	правосторонним	пределом	è	обозначается
lim	f (x) = f (x0 + 0).

x®x0 +0

Очевидно, что в определениях непрерывности условия п. 2) и п. 2¢) эквивалентны условию

2¢¢) f (x0 - 0) = f (x0 + 0) = f (x0).

Классификация точек разрыва:

1) õ0 — устранимая т.р. Ы $f (x0 - 0) = f (x0 + 0) и они конечны,

íî f (x0)$.							sin x
Например y =	sin x	, õ0 = 0, lim f (x) = lim						= 1, íî f(x0)$
	x			x®0		x®0 x
			ìsin x		,	x ¹ 0,
ï										0.
(рис. 8.2); другая функция y = н				x		непрерывна в т. х			=
			î1, x = 0			0
ï
			Y
1
						X
Î
Ðèñ.				8.2
				8.2

$

2)õ0 — ò.ð. 1-ãî ðîäà: f (x0 + 0), f (x0-0) — конечны, но f (x0 + 0) ¹

¹f(x0 - 0).

Например, f (x) = |x|/x, х0 = 0, f (x0 + 0) = 1, f (x0 - 0) = -1 (ðèñ.8.3). 3) õ0 — т.р. 2-го рода: все остальные т.р., в частности, точки бесконечного разрыва. Например, y = 1/x, x0 = 0, lim f (x) =

= lim 1			x®0
	= ¥ (ðèñ.8.4).
x ®0 x
			Y
	Y
	1
		X	X
	Î		O
	-1
	Ðèñ. 8.3		ÐèñÐèñ. 8. .84.4
	Ðèñ. 8.3

8.3. Свойства функций, непрерывных в т. х0

10. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных в т. х0 функций: если j(х), y(х) непрерывны в т. х0, то функции j(х) + y(х), j(х) Ч y(х), j(х)/y(х) при y(х) ¹ 0 непрерывны в

ò. õ0.

Доказательство проводится с помощью определения непрерывности и основных теорем о пределах. Например,

lim (j(x) + y(x)) = lim		j(x) + lim y(x) = j(x0) + y(x0).
x®x0	x®x0	x®x0

20. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций: если функция y = j(z) непрерывна в т. z0, а z = y(x) непрерывна в т. х0, причем z0 = y(x0), то сложная функция j(y(x)) непрерывна в т. х0.

q	Так как согласно О.2 lim y(x) = z0, lim j(z) = j(z0), òî
	x®x0	z ®z0
lim j(y(x)) = lim j(z) = j(z0) = j(y(x0)),		и имеем непрерывность
x®x0	z ®z0
j(y(x)) â ò. õ0 x

%

Y

M

		m
		O	à=x1	x2			b	X
				Ðèñ. 8.5
Y						Y
		f(a)× f(b)<0
f(a)					f b
		c		X	m
O		a	b		f a
f(b)											X
					O		a	x b
		Ðèñ. 8.6						Ðèñ. 8.7

С л е д с т в и е. Элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

8.4. Свойства функций, непрерывных на [a, b]

Определим непрерывность f (x) на концах промежутка [a, b]

следующим образом: lim f (x) = f (a),	lim f (x) = f (b). Обозна-
x®a+0	x®b-0

чим множество функций, непрерывных на [a, b], через С[a, b]. Это множество обладает следующими свойствами.

10. Если функция f (x) О С[a,b], то она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений (m £ f (x) £ M).

Свойство означает, что найдутся такие x1, x2 Î [a, b], ÷òî f (x1) = m, f (x2) = M. Оно наглядно иллюстрируется на рис. 8.5. Доказательства свойства не приводим.

С л е д с т в и е. Непрерывная на [a, b] функция ограничена на [a, b].

&

20. Если функция f (x) О С[a, b] и на концах [a, b] принимает зна- чения разных знаков, то $ т. c О [a, b], в которой f (c) = 0 (рис. 8.6). Геометрически ясно, что график функции должен хотя бы раз пересечь ось ОХ.

30. Åñëè f (x) Î Ñ[a, b], f (a) ¹ f (b), то для любого числа m между f (a) и f (b) найдется т. x О (a, b), в которой f (x) = m. Геометричес-

ки свойство является очевидным (рис. 8.7).

Таким образом, непрерывная функция на [a, b] принимает все свои промежуточные значения.

Литература: [3. С. 54–60]; [4. С. 98–136]; [5. С. 148–159]; [7. С. 86–127].

Глава 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Опорный конспект ¹ 9

9.1. Определение производной, ее физический смысл

	y¢ = lim	Dy	= lim	f (x + Dx) - f (x)
		Dx		Dx
	Dx ®0		Dx ®0

s = s(t) — закон неравномерного прямолинейного движения Ю скорость v = s ¢(t)

Y

			N
		M	Dy
			Dx
		a	X
	O	x
			x+ Dx

9.2. Геометрический смысл y ¢

f ¢(x) = tga = k — угловой коэффициент касательной в т. М(x, y)

y- y0 = f ¢(x0)(x - x0) — касательная в

ò.Ì0(x0, y0)

9.3. Существование производной и непрерывность $ f ¢(x) Ю f (x) — непрерывна