9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

9.4. Свойства операции дифференцирования

1)(c)¢ = 0, c = const;

2)(u + v - w)¢ = u¢ + v ¢ - w ¢;

3)(uv)¢ = u¢v + uv ¢, (cu)¢ = cu¢;

æ u ö¢				u¢v - v¢u
4) ç		÷	=		,	v ¹ 0
				v2
è v ø

9.5. Производная сложной функции

(j[y(x)]¢ = j¢[y(x)]y¢(x)

Логарифмическая производная (ln y)¢ = y ¢/y

Производная показательно-степенной функции: [u(x)v(x)]¢ = vuv-1u¢ + uvlnu•v ¢

9.6. Производные основных элементарных функций

(x

n

¢

= nx

n-1

, (a

x

¢

= a

x

ln a, (e

x

)

¢

= e

x

,

)

)

(log

a

x)¢ =

1

,

(ln x)¢ = 1 x,

x ln a

(sin x)¢ = cos x,

(cos x)¢ = - sin x,

(tg x)¢ = 1 cos2 x,

(ctg x)¢ = -1 sin2 x,

(arcsin x)¢ =

1

, (arccos x)¢ = -

1

,

1 - x2

1 - x2

(arctg x)¢ =

1

,

(arcctg x)¢ = -

1

1 + x2

1 + x2

9.7. Дифференциал

dy = f ¢(x)Dx или dy = f ¢(x)dx, где dx = Dx — обозначение dy~Dy, Dx ® 0 Ю f (x +Dx) » f (x) + dy

Свойства дифференциала: 10. dc = 0, c = const;

20. d(u + v) = du + dv; 30. d(uv) = vdu + udv; 40. d(cu) = cdu;

0	æ u ö			=	vdu - udv	, v ¹ 0;
5 .	dç		÷
					v2
	è v ø

60. dj[y(x)] = j¢[y(x)]dy(x) — инвариантность формы dy

9.8.Производные и дифференциалы высших порядков f (n)(x) = [ f (n-1)(x)]¢, dny = d[dn-1y] = f (n)(x)dxn

9.9.Производные параметрически заданной функции

	ìx = x(t),			¢			(	y¢ ¢
	ï	yx¢	=	y (t)		yx¢¢ =		x ) t
	í				,
				x¢(t)			x¢(t)
	ïy = y(t),
	î

9.1.Определение производной,

ååфизический смысл

Рассмотрим задачу об определении скорости движения точки. Пусть материальная точка совершает неравномерное прямолинейное движение по закону s = s(t), где t обозначено время, s —

ïóòü.	Средняя скорость движения за время Dt будет
vcp =	Ds =	s(t + Dt) - s(t)	.
	Dt	Dt

Чем меньше Dt, тем точнее vñð будет характеризовать скорость в момент времени t, поэтому скоростью в момент времени t на-

зывают	Ds .
v(t)= lim		(9.1)
Dt ®0	Dt

Перейдем теперь к основному понятию высшей математики — понятию производной.

О: Пусть f (x) определена в окрестности т. х. Тогда, если

$ lim	Dy	= lim	f (x + Dx) - f (x)	¹ ¥,	то он называется про-
	Dx
Dx®0		Dx®0	Dx

изводной функции f (x) и обозначается f ¢(x). Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Другие обозначения производной: y¢, yx¢ , dy . dx

О: Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (a, b), называют дифференцируемой на интервале (a, b).

Сравнивая формулу (9.1) скорости движения точки и определение производной, получаем физический смысл производной:

v(t) = s¢(t),

т.е. скорость прямолинейного неравномерного движения равна производной от пути по времени.

Примеры: Пользуясь определением, найти производную функций: 1) y = loga x, 2) y = 1/x.

1) y¢ = (log		x)¢ =	lim	loga (x + Dx) - loga	x	= lim
	a			Dx
			Dx®0			Dx®0

æ

1

ö

é

= loga

ç

lim

æ

1

+

Dx öDx ÷

= loga lim

êæ

1

+

ç

ç

÷

÷

ç

è

x

ø

Dx ®0

êè

ç Dx ®0

÷

ê

è

ø

ë

1		× loga					x + Dx	=
Dx
							x
				1
			x	ù	x
Dx öDx ú
		÷		ú .
x
	ø			ú
				û

Используя II замечательный предел для выражения в квад-

ратных скобках, получаем ( loga x)¢

ñòè (ln x)¢ = 1/x.

		1	- 1
2)	y¢ = (1 x)¢ = lim	x + Dx	x	=
	Dx ®0	Dx

= lim

-1

Dx ®0 x(x + Dx)

			1		1
	= loga ex			=		, в частно-
					x ln a
	lim	x		- Dx - x			=
		Dx × x(x + Dx)
	Dx ®0

=- 1 x2

9.2. Геометрический смысл производной

Пусть график непрерывной функции y = f (x) имеет касательную в т. M(x, y), образующую угол a ¹ p/2 с осью OX (рис. 9.1). Проведем секущую MN, где N(x + Dx, y + Dy). Тогда

·	Dy	(MR ||OX ). В силу непрерывности y = f (x) при
tgj = tgNMR =	Dx

!

						Касательная
Y							Секущая
							N
	M						R
	a				Õ
O	x			x			x + Dx

Ðèñ. 9.1

Dx ® 0: Dy ® 0 и M ® N по графику. При этом секущая MN приближается к касательной и tg j ® tg a.

Получаем формулу

k = tg a = lim Dy = f ¢(x).

Dx®0 Dx

Таким образом, производная функции f (x) в т. х равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х. Найдем уравнение касательной и уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в т. М0(x0, y0). Так как уравнение пучка прямых, проходящих через т. М0, имеет вид y - y0 = k(x - x0), то уравнение касательной запишется как y - y0 = f ¢(x0)(x - x0), а уравнение нормали в силу условия перпендикулярности:

1

y - y0 = - f ¢(x0) (x - x0).

Пример: Найти уравнение касательной и нормали к графику y = lnx в точке с абсциссой х = е.

Так как y ¢ = (lnx)¢ = 1/x, y ¢(e) = 1/e, y(e) = 1, то уравнение

касательной y -1 = 1 (x - e), уравнение нормали y - 1 = -e(x - e) e

9.3. Существование производной и непрерывность

Т: Если функция y = f (x) дифференцируема в т. х, то она непрерывна в этой точке n

"

	q Докажем выполнение условия 2) из О.1 (п. 8.1):
	lim Dy = lim		Dy × Dx = f ¢(x)× lim Dx = 0 x
	Dx®0	Dx®0	Dx	Dx®0
	С л е д с т в и е. В точке разрыва функ-				Y
	ция не может иметь производную. Обрат-
	ное к теореме утверждение неверно, т.е. из
	непрерывности функции f (x) в т. х не сле-
	дует существование производной в т. х. На-
	пример, y = |x| непрерывна в т. х = 0, гра-				X
	фик функции не имеет касательной в точ-
					O
	ке с абсциссой х	= 0 и функция не
	дифференцируема в т. х =		0 (ðèñ. 9.2).		Ðèñ. 9.2
					Ðèñ. 9.2

9.4. Свойства операции дифференцирования

Установим правила для нахождения производной суммы, произведения, частного:

1)с — const, (c)¢ = 0 следует из определения производной;

2)(u + v - w)¢ = u ¢+v ¢- w ¢;

qОбозначим y = u + v - w, тогда Dy = ([(u + Du) + (v +

+Dv) -(w + Dw)] - (u + v - w)) = Du + Dv - Dw. Используя определение производной и теоремы о пределах, имеем

y¢ = lim		Dy		= lim Du + Dv - Dw =
	Dx®0	Dx		Dx®0	Dx
= lim	Du + lim		Dv - lim		Dw = u¢ + v¢ - w¢	x
Dx®0	Dx Dx®0		Dx Dx®0		Dx

3) (uv)¢ = u¢v + v¢u. Доказательство аналогично 2). С л е д с т в и е. (сu)¢ = c(u)¢, если c = const;

¢

¢

¢

4)

æ u ö

=

u v - v u

, v ¹ 0 .

ç

÷

v

2

è v ø

u + Du

= Du × v - Dv ×u .

q Обозначим

y =

u

, тогда

Dy =

-

u

v

v + Dv v v(v + Dv)

По определению производной, используя теоремы о пределах и непрерывность дифференцируемой функции, имеем

	Dy		v × lim Du - u × lim			Dv		v ×u¢ - u × v¢
y¢ = lim		=	Dx®0	Dx	Dx®0	Dx	=		x
	Dx		v(v + lim Dv)					v2
Dx®0
					Dx®0

#

9.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная

Т: Если функция y = j(z) дифференцируема в т. z, а z = y(x) дифференцируема в т. х, то функция y = j[y(x)] дифферен-

цируема в т. х и y ¢ = j¢[y(x)]y¢(x) или y ¢ = jz¢zx¢ n

q По определению производной, используя теорему о пределе произведения, имеем

y¢ = lim	Dy	= lim	Dy ×	Dz = lim	Dy × lim	Dz .
Dx®0	Dx	Dx®0	Dz	Dx Dx®0	Dz Dx®0	Dx

В силу непрерывности дифференцируемой функции при Dх ® 0 по определению непрерывности О.1 приращение Dz ® 0 и

y¢ = lim	Dy ×	Dz = j¢[y(x)]× y¢(x)	x
Dx®0	Dz	Dx

Пример: y = sin z, z = x2 + ex.

y ¢ = (sin z)¢(x2 + ex)¢ = cos z × (2x + ex).

Если при Dх ® 0 в некоторых точках Dz = 0, то теорема остается верной [3. С. 82].

Частным случаем полученной формулы является так называе-

мая логарифмическая производная (ln y)¢ = 1 × y¢, y ¹ 0. y

С помощью логарифмического дифференцирования получим

производные степенной и показательной функций: а) y = xn, y ¢ = (xn)¢ = nxn-1;

qДействительно, пусть х > 0, тогда (lny)¢ = (nlnx)¢, т.е.

1 × y¢ = n × 1 Û y¢ = y × n 1 = xn × n 1 = nxn-1 (формула сохраняется и

y	x	x	x
ïðè õ < 0, åñëè $õn) x
	á) y = ax, y ¢ = (ax)¢ = ax lna
	q Действительно, (lny)¢ = (xlna)¢, т.е. y ¢/y = lna Ы y ¢ = ylna =
ax lna (в частности, (ex)¢ = ex			x

Выведем тем же методом формулу для вычисления производной показательно-степенной функции y = u(x)v(x), основание и показатель степени которой являются функциями от х. Возьмем логарифмическую производную от обеих частей: (lny)¢ = (v(x)lnu(x))¢ Ы Ы y¢/y = v¢(x)lnu(x) + v(x)u¢(x)/u(x) Ы y¢ = u(x)v(x)(v¢(x)lnu(x) + + v(x)u¢(x)/u(x)) Û y ¢ = u(x)v(x)v ¢(x)lnu(x) + v(x)u(x)v(x)-1u¢(x).

$

Примеры: 1)	(2x/lnx)¢ = 2x/lnx ln2 × (x/lnx)¢ =
	1× ln x - x		1
			x			ln x -1
= 2x/lnx ln2					= 2x / ln x ln 2		,
		ln2 x
						ln2 x

2)[(x2 + 1)log2x]¢ = (x2 + 1)log2x ln(x2 + 1) (log2x)¢ +

+log2x × (x2 + 1)log2x-1 (x2+1)¢ =

	= (x2 + 1)log2x	ln(x2 +1)	+ 2x log2 x ×(x2	+1)log2 x-1.
		x ln 2

9.6. Производные основных элементарных функций

Производные степенной, показательной, логарифмических функций получены в пп. 9.1 и 9.5.

Производные тригонометрических функций (sin x)¢ = cos x, (cos x)¢ = -sin x, (tg x)¢ = 1/cos2x, (ctg x)¢ = -1/sin2x.

Производную y = sin x найдем с помощью определения произ-

водной и I замечательного предела:

Dx

Dx

2sin

cos(x +

)

y¢ = (sin x)¢ = lim

sin(x + Dx) - sin x

= lim

2

2

=

Dx

Dx

Dx®0

Dx®0

Dx

= lim

2sin 2

lim cos(x +

Dx

) = 1× cos x = cos x.

2

Dx®0

Dx Dx®0

Производная y = cos x находится с помощью формул приведения и производной функции: y ¢ = (cos x)¢ = (sin(x + p/2))¢ = cos(x + p/2) Ч 1 = = -sin x.

Производные y = tg x, y = ctg x могут быть найдены как производные частного. Например,

æ sin x ö¢				cos x × cos x - sin x(- sin x)				1
y¢ = (tg x)¢ = ç		÷	=				=				.
				cos	2	x		cos	2
è cos x ø										x

Производные обратных тригонометрических функций:

(arcsin x)¢ =			1		,	(arccos x)¢ = -	1			,
		1 - x2						1 - x2
(arctg x)¢ =			1	,		(arcctg x)¢ = -	1		.
			+ x2				1 + x2
1

%

Ò:

Y

b

Пусть функция y = f (x) возрастает (убывает) на [a, b], f (a) = a, f (b) = b, дифференцируема внутри промежутка и f ¢(x) ¹ 0. Тогда существует возрастающая (убывающая) на [a, b] диф-

ференцируемая обратная к f (x) функция x = f -1(y), причем [f -1(y)]¢ = 1/f ¢(x) n

q Первая часть теоремы о существовании непрерывной функции x = f -1(y) ãåî-

метрически очевидна (рис.9.3).

Выведем формулу для производной. По определению

a			[ f -1(y)]¢ =		lim
					Dy®0
O	a	b	X	1
			=
	Ðèñ. 9.3			lim	Dy
	Ðèñ. 9.3

Dx®0 Dx

Dx =			1		=
				Dy
Dy		lim
				Dx
		Dy®0
=	1
	f ¢(x)		x

В цепочке равенств использовали lim Dx ® 0 (x = f -1(y) — íå-

Dy®0

прерывна).

Получим теперь формулу для производной функции y = arcsin x.

Рассмотрим главное значение функции:	é	p	,	pù		. Она является
	y Î ê-	2		2	ú
	ë				û

обратной к x = sin y, которая возрастает и дифференцируема на

æ	-	p	,	p ö		,	причем x ¢ = (sin y)¢ = cos y ¹ 0. По теореме об обратной
ç		2		2	÷
è					ø

функции имеем

y¢

= (arcsin x)¢ =

1

=

1

=

1

=

1

=

1

.

x

x¢

(sin y)¢

cos y

1- sin

2

y

1- x

2

y

Найдем формулу для производной y = arctg x, главное значе- ние которой y О (-p/2; p/2). Пользуясь теоремой об обратной функции, получаем

y¢	= (arctg x)¢ =	1	=	1	=	1	=	1			=	1		.
x		x¢		(tg y)¢		1	1 + tg		2	y	1 + x		2
		y

cos2 y

&

Для функций y = arcccos x, y = arcctg x производим аналогич- ные действия.

9.7. Дифференциал

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в т. х, т.е. существу-

åò f ¢(x) = lim	Dy	в т. х. По Т.2 (п. 7.5) о связи функции с ее пре-
Dx®0	Dx

делом Dy/Dx = f ¢(x) + a(Dx), a(Dx) — б.м., Dx ® 0 или Dy = f ¢(x)Dx + + a(Dx)Dx.

Первое слагаемое одного порядка малости, а второе имеет более высокий порядок малости по сравнению с Dx при Dx ® 0, так

êàê lim	f ¢(x)Dx	= f ¢(x),	lim	a(Dx)Dx = 0. Приращение функции
Dx®0	Dx		Dx®0	Dx

Dy является эквивалентным слагаемому f ¢(x)Dx при Dx ® 0, по-

скольку lim	Dy	=	1	lim	Dy = 1.
Dx®0 f ¢(x)Dx			f ¢(x) Dx®0		Dx

О: Дифференциалом функции y = f (x) в т. х называется главная часть приращения функции, линейная относительно Dx, т.е. dy = f ¢(x)Dx.

Найдем dy для функции y = x: dy = dx = 1 Ч Dx = Dx.

Таким образом, если положить dx = Dx, то это не противоре- чит определению дифференциала. Получаем формулу dy = f ¢(x)dx, откуда для производной функции получаем f ¢(x) = dy/dx.

Пример:		y = ln sin x.
dy =	1		cos x × dx = ctg x × dx

sin x

Эквивалентность dy и Dy при Dx ® 0 используют в приближенных вычислениях.

Пусть известно значение функции в точке х и необходимо найти значение в точке x + Dx, близкой к т. x.

Так как Dy = f (x + Dx) - f (x) » dy при малых Dx, то справедлива приближенная формула f (x + Dx) » f (x) + f ¢(x)Dx.

'

	Пример: Вычислить приближенно 3 1,1.													2
											1		-			1
	В этом случае f (x) = 3 x,						x = 1, Dx = 0,1,			f ¢(x) =					=
													x 3				,
											3					3
			1					0,1
	ò.å. 3 1,1 » 3 1 +					× 0,1 = 1 +			= 1,033
	3		3		2		3
				1

Свойства дифференциала: 10. d(c) = 0, c = const;

20. d(u + v) = du + dv; 30. d(u × v) = vdu + udv; 40. d(cu) = cdu, c = const;

	u			vdu - udv
50.	d(		) =		;
				v2
		v

60. d[j(y(x))] = j¢[y(x)] × dy(x).

Свойства 10–50 доказываются с помощью определения дифференциала и основных правил дифференцирования. Например,

d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + uv¢)dx = v(u¢dx) + u(v¢dx) = vdu + udv.

Свойство 60 называется инвариантностью формы дифференциала. Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Действительно, по определению дифференциала и производной сложной функции

dy = (j[y(x)])¢dx = j¢[y(x)] × y¢(x)dx = j¢[y(x)] × dy(x).

9.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная f ¢(x) также является дифференцируемой функцией, тогда можно найти (f ¢(x))¢.

О: Производной второго порядка называется производная от производной: y ¢¢ = (f ¢(x))¢.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n - 1)-го порядка: y(n) = (f (n-1)(x))¢.