9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Пример: y = (2x + 3)5.

y ¢ = 5(2x + 3)4 × 2 = 10(2x + 3)4, y ¢¢ = 10 × 4(2x + 3)3 × 2 = = 80(2x + 3)3, y ¢¢¢ = 80 × 3(2x + 3)2 × 2 = 480(2x + 3)2,

y(4) = 480 × 2(2x + 3) × 2 = 1920(2x + 3), y(5) = 3840

Физический смысл производной второго порядка

Пусть s = s(t) — закон неравномерного прямолинейного движения. Скорость в момент времени вычисляется как v(t) = s¢(t).

Среднее ускорение за время Dt равно w	= Dv , à	lim Dv = w(t)
ñð	Dt	Dx®0 Dt

называется ускорением в момент времени t. Используя определение производных первого и второго порядков, получим формулу

w(t) = v ¢(t) = s ¢¢(t).

Дифференциал dy = f ¢(x)dx является функцией от х. Если она дифференцируема, то можно найти d(dy).

О: Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала: d2y = d(dy). Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка: dny = d(dn-1y).

Найдем выражение d2y через f ¢¢(x): d2y = d(dy) = d(f ¢(x)dx) = dx × d(f ¢(x)dx) = dx × f ¢¢(x)dx = f ¢¢(x)dx2.

Таким образом, d2y = f ¢¢(x)dx2 è f ¢(x) = d2y . dx2

Аналогично устанавливается справедливость формулы dny =

= f (n)(x)dxn.	f (n)x =	d	n	y
Следовательно,					.
		dxn

9.9. Производные параметрически заданной функции

Часто, особенно в механике, рассматривается так называемый параметрический способ задания функций и линий на плоскости, при котором координаты x и y рассматриваются как функции третьей переменной — параметра t :

ìx = x(t),

í

îy = y(t).

	ìx = a cos t,
Например,	í	t О [0, 2p], являются параметрически-
	î y = b sin t,

ми уравнениями эллипса (рис. 9.4). Действительно, находим

ìcos t =	x		,
ï	a					x	2		y	2
í		y			и, возводя в квадрат и складывая, получаем			+			= 1.
ï							2			2
ï sin t =						a			b
î		b

Y

b

a

OX

Ðèñ. 9.4

Часто в таких случаях исключение параметра t практически невозможно. Поэтому выведем формулы для вычисления производных параметрически заданных функций.

Найдем	y¢	:	y¢	=	dy	=	y¢(t)dt	=	y¢(t)	.
	x		x		dx		x¢(t)dt		x¢(t)

Полученная производная является функцией от t, поэтому

y¢¢

=

dy¢

=

( yx¢ )

¢ dt

=

( yx¢ ) ¢

x

t

t

.

dx

x¢(t)dt

x2

x¢(t)

Таким образом, y¢

y¢

¢¢ =

yx¢ ¢

=

t

;

y

t

.

x

xt¢

x2

xt¢

ìx = a cos t,

Пример: Найдем y¢

, y¢¢ от функции

í

x

x2

î y = b sin t.

y¢ =

(b sin t )¢

=

b

cos t

= -

b

ctg t,

¢

x

a

-sin t

a

(a cos t )

æ		-	b	ö¢			1
ç				ctg t ÷
y¢¢ =	è		a	ø	=	b			sin2t		= -
		(a cos t )¢
x2						a2		-sin t

b

a2sin3t

Литература: [3. С. 66–123]; [4. С. 137–163]; [5. С. 160–180; 201– 204]; [7. С. 127–155]; [16. С. 104–125].

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Опорный конспект ¹ 10

10.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Т. Лагранжа:

f (x) Î C[a, b], $ f ¢(x) " x Î (a, b) Þ $ c Î (a, b):

					f ¢(c) =		f(b) - f(a)
								b - a
Y				Геометрическое истолкование:
		B
				kêàñ. â ò.Ñ = kÀÂ
C
A				Ò. Êîøè: f (x), g(x) Î C[a, b], $ f ¢(x),
				g¢(x) " x Î (a, b), g¢(x) ¹ 0 Þ $ c Î (a,
			Õ
a c	b			b):
					f ¢(c)	=		f(b) - f(a)
					g¢(c)			g(b) - g(a)

10.2. Правило Лопиталя

Выполняются условия теоремы Коши в окрестности т. а Ю

lim	f (x)	=	0		Ú	¥		= lim	f ¢(x)
			{0			¥	}
Þ x ®a g(x)								x ®a g¢(x)

!

10.3. Монотонность
Y				Y	Убывает
		Возрастает
O	x	x	X	O	x	x	X

Достаточный признак:

ì> 0 íà (a,b) Þ f (x)Z, f ¢(x)í

î< 0 íà (a,b) Þ f (x) ]

10.4. Экстремумы (э.)

	max: f (x) < f (x0)		min: f (x) > f (x0)
Y	в окрестности т. х0	Y	в окрестности т. х0

O					X	O			X
		x						x

õ0 — подозрительная на э. Ы f ¢(x) = 0Ъ$ Достаточный признак э.I:

f (x) Î C[a, b], x0 О (a, b) — подозрительная на э.,

f ¢(x):	+				-	Þ f (x0) = ymax
	-	x0			+	Þ f (x ) = y	min
						0

10.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную

Достаточный признак э. II: f ¢(x0) = 0,

	ì< 0		Þ x0 — ò. max,
	f ¢¢(x0 )í	> 0	Þ x — ò. min
	î
			0

"

10.6. Выпуклость, вогнутость
Y				Y
		Выпуклый			Вогнутый
O	a	b	X	O	a		b	X
Достаточный признак:
ì<0"x Î (a, b) Þ Ç
f ¢¢(x)í
î> 0	"x Î (a, b) Þ È
10.7. Точки перегиба (т.п.)							Y
ò. x0 — подозрительная на перегиб Ю								ò.ï.
Þ f ¢(x0) = 0Ú$
Достаточный признак: f (x) О C[a, b],
x0 О (a, b) — подозрительная на перегиб,						O		x	X
+				-	Þ (x0,		f (x0)) — ò.ï.
f ¢¢(x):		x0
-				+
10.8. Асимптоты						Y
Асимптота Ы прямая L: d(M, L) ® 0
при М ® ¥ по графику.									L
Вертикальная асимптота: x				= a. Íåîá-				M
ходимое и достаточное условие							d
lim f (x) = ¥					O				X
x ®a±0
Наклонная асимптота: y = kx + b,						Y
k = lim f (x) , b =		lim [ f (x) - kx]						M
x®a±0 x		x®a±0
								d
						O		a	X
									#

10.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

10.1.1. Теорема Ферма

Пусть функция f (x) О C[a, b], $f ¢(ñ), f(c) = M èëè f (c) = m â ò. ñ Î (a, b) Þ f ¢(c) = 0 n

qПредположим для определен-

Y		ности, что f (c) = M (рис.10.1), тогда
	M			<
		f (c + Dx) - f (c) < 0 ïðè Dx<			0 è
			f(c + Dx) - f (c)	ì> 0,Dx < 0,
				í
			Dx
				î< 0,Dx > 0.

По определению производной имеем

					X			f (c+Dx) - f (c) =
O		a	c	b
					f ¢(c) = lim
			Ðèñ. 10.1			Dx®0				Dx
			Ðèñ. 10.1
					ì³ 0,Dx <		0,		ü
					ï					Þ f ¢(c) = 0
					= í	£ 0,Dx >	0		ý		x
					ï				þ
					î

Геометрическое истолкование теоремы следует из геометрического смысла производной: касательная к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = с параллельна оси ОХ.

10.1.2. Теорема Ролля

Пусть функция f (x) О C[a,b], $ f ¢(x) " x О (a, b), f (a) = f (b). Тогда $c О (a, b): f ¢(c) = 0 n

q Из условия f (x) О C[a,b] следует по свойству 10 непрерывных

на [a, b] функций, что $х1, õ2 Î [a, b]: f (õ1) = m, f(õ2) = M. Имеем две возможности:

1)m = M Þ f (x) = const Þ f ¢(x) = 0 " x Î [a, b];

2)m < M Þ õ1Î (a, b) Ú õ2 О (a, b) в силу f (a) = f (b). Пусть х1 О (a, b), тогда по теореме Ферма f ¢(x1) = 0 x

Теорема имеет такое же геометрическое истолкование, как и теорема Ферма.

10.1.3. Теорема Лагранжа

Пусть функция f (x) О C[a,b], $ f ¢(x) " x О (a, b). Тогда $ c О (a, b):

	f ¢(c) =	f (b) - f (a)	n
		b - a

$

q Введем на [a, b] вспомогательную функцию F (x) = f (x) + lx, для которой выполняются условия теоремы Ролля: F (a) = F (b)

èëè f (a) + la = f (b) + lb Þ l = - f (b) - f (a) . b - a

Тогда F (x) = f (x) - f (b) - f (a) x.
b - a
По т. Ролля $ c О (a, b):
F ¢(c) = f ¢(c) - f (b) - f (a) = 0 Þ f ¢(c) = f (b) - f (a)		x
b - a	b - a

Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Построим график функции y = f (x) на [a, b] (рис.10.2), A(a, f (a)), B(b, f (b)). Угловой коэффициент хорды

f (b) - f (a)

ÀÂ: kAB = - , угловой коэффи- b a

циент касательной в т. С: kêàñ = f ¢(c). Таким образом, на графике функции y = f (x) $ C(c, f (c)), c О (a, b): kêàñ = kAB.

Y

			B
		Ñ
		A
				X
O
		a c	b
		Ðèñ. 10.2
		Ðèñ. 10.2

10.1.4. Теорема Коши

Пусть функции f (x), g(x) О C[a,b], $ f ¢(x), g ¢(x) " x Î (a, b),

g ¢(x) ¹ 0. Тогда $ c О (a, b):	f ¢(c)	=	f (b) - f (a)
				n
	g¢(c)		g(b) - g(a)

В формуле g (b) ¹ g (a). В противном случае по теореме Ролля $ c О (a, b): g¢(с) = 0.

q Введем Ф(x) = f (x)+ lg(x). Подберем l так, чтобы Ф(a) = Ф(b): f (a) + lg(a) = f (b) + lg(b) Ю f (b) - f (a) = -l(g(b) - g(a)) Ю

l = -

f (b) - f (a)

. Тогда

Ô(x) = f (x) -

f (b) - f (a)

Ч g(x). По теоре-

g(b) - g(a)

g(b) - g(a)

ме Ролля $ с: Ф¢(с) = 0 Ю f ¢(с) Ю

f ¢(c) = -

f (b) - f (a)

× g¢(c) = 0 Þ

g(b) - g(a)

f ¢(c)

f (b) - f (a)

Þ

=

x

g¢(c)

g(b) - g(a)

%

Теорема Коши обобщает теорему Лагранжа, для которой g(x) = x.

10.2.Правило Лопиталя

Ñпомощью теоремы Коши может быть получено правило для нахождения предела отношения двух бесконечно малых функций,

м0ь т.е. для раскрытия неопределенности н э.

î0þ

Теорема Лопиталя. Пусть для функций f (x), g (x) в окрестности т. а выполняются условия теоремы Коши, причем f (a) = g (a) = 0

f ¢(x)

f (x)

ì0

ü

f

¢

è $ lim

. Тогда lim

(x)

= í

ý

= lim

n

x®a g¢(x)

x®a g(x)

î0

þ

x®a g¢(x)

q По теореме Коши $ c О (a, x), что

f (x)

=

f ¢(c)

, отсюда

g(x)

g¢(c)

lim

f (x)

= lim

f ¢(c)

= lim

f ¢(c)

= lim

f ¢(x)

x

x®a g(x)

x®a g¢(c)

ñ®a g¢(c)

x®a g¢(x)

Замечание 1. Если f ¢(a) = g¢(a) = 0 и f ¢(x), g¢(x) удовлетворяют в окрестности т. а условиям теоремы Коши, то

lim

f (x)

= lim

f ¢(x)

= lim

f ¢¢(x)

.

x®a g(x)

x®a g¢(x)

x®a g¢¢(x)

Замечание 2. Если lim f (x) = ¥,

lim g(x) = ¥ и в окрестности

x®a

x®a

f (x)

ì

¥

ü

¢

т. а $ f ¢(x), g¢(x), причем g¢(x) ¹ 0, то

lim

=

= lim

f (x)

.

í

ý

x®a g(x)

î

¥

þ

x®a g¢(x)

Примеры:

2

ln(1+ 2x)

0

2

2

1)

lim

=

= lim 1+ 2x = lim

=

.

{0}

x ®0

3x

x ®0

3

x ®0 3(1+ 2x)

3

ex

ì¥

ü

ex ì¥

ü

ex

2)

lim

= í

ý

= lim

= í

ý

= lim

= ¥.

x®¥ x2

î¥

þ

x®¥ 2x î¥

þ

x®¥ 2

&

В случаях неопределенностей других видов выражение преоб-

	ì0		ü	ì¥		ü
	разуют так, чтобы получить неопределенности н		ý	èëè í	¥	ý	, ê êî-
		0
	î		þ	î		þ

торым применимо правило Лопиталя:

à) lim j(x) × y(x) =

0

× ¥

}

= lim

j(x)

;

x®a

{

x®a [y(x)]-1

á) lim j(x)y(x)

= {1¥ Ú 00

y(x)

lim j(x)lny(x)

,

Ú ¥0} = lim eln j(x)

= ex®a

x®a

x®a

lim y(x) × ln j(x) =

{

}

0

× ¥

(случай а).

x®a

Пример: lim xx

= {00}

lim(x ln x)

= ex ®0

,

x®+0

1

ln x

ì¥

ü

lim (x ln x) =

{

0 × ¥

= lim

=

= lim

x

= - lim x = 0,

í

ý

}

x®0 x-1

-x-2

x®+0

î¥

þ x®0

x®0

lim xx = e0 = 1.

x®+0

10.3. Монотонность

Определение монотонной на (a,b) функции дано в разд. 6.2. Установим необходимое и достаточное условия монотонности.

Т: (необходимое условие монотонности). Если дифференцируемая на (a, b) функция y = j(x) возрастает (убывает), то f ¢(x) ³ 0 (f ¢(x) £ 0) на (a, b) n

Метод доказательства аналогичен доказательству теоремы Ферма (п. 10.1.1).

Т: (достаточное условие монотонности) Если f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0) на (a, b), то f(x) возрастает (убывает) на (a, b) n

q Пусть x1, x2 Î (a, b), x1 < x2. Применим формулу Лагранжа

äëÿ [x1, x2]: f (x2) - f (x1) = f ¢(c)( x2 - x1), x1 < c < x2. Если f ¢(x) > 0 на (a, b), то f ¢(c) > 0, следовательно, f (x2) - f (x1) > 0 и f (x) возра-

стает. Аналогично для f ¢(x)<0 x

'

10.4. Экстремумы

О: Функция y = f (x) имеет максимум (max) в т. х0, если в окрестности т. х0 выполняется неравенство f (x) < f (x0), минимум (min), если f (x) > f (x0). Максимумы и минимумы называются ее экстремумами (рис. 10.3). Понятия носят локальный характер.

Y

max

O		(	)
			x
			a
Y
		min
O		(	)
			x

á

Ðèñ. 10.3

Ðèñ. 10.3

Т: (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая в т. х0 функция имеет в этой точке экстремум, то f ¢(x0) = 0 n

Необходимое условие экстремума является следствием теоремы Ферма. Данное X условие не является достаточным. Например, для функции y = x3 производная y ¢ = 3x2 = 0 при x = 0, но экстремума в этой точке нет (рис. 10.4). Если f ¢(x0)$, òî â ò. x0 может быть экстремум, а может и не

áûòü.

Примеры:

X 1) y = |x|, y ¢ $, ïðè x0 = 0, из рис.10.5 видно, что в т. x0 = 0 — min;

2) y = 3 x, y¢= 13 x-2 / 3 $, ïðè x0 = 0, èç

рис. 10.6 видно, что в т. x0 экстремума нет.

Y

y = x!

X

O

Ðèñ..1010..44

Точки, в которых f ¢(x) = 0 Ъ $, называются подозрительными на экстремум (критическими), точки, в которых f ¢(x) = 0 — стационарными.

Т: (достаточный признак э.I) Пусть функ-

öèÿ f (x) Î C[a,b] è ò. õ0 О (a, b) — критическая. Если при переходе т. х0 в направлении

возрастания х производная меняет знак с

(+) íà (-), òî â ò. õ0 функция имеет max, если с (-) на (+) — то min n

!