9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

12.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Î: z f	x y x y		F x y		L
M x y		L		f x y
f x y		f x y	f x y	x y	M	L.

fF

x x x

fF

y y y

		F(x	y)
õ ó			f x y	F x y
			Fx M	Fy M
	Fx M		xx (M	yx (M
	Fy M		yx (M	yy (M
			Ì
			Ì

Ìx y

12.3.Уравнения касательной плоскости и нормали

к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей

F x y			z	Ì x		y
	F				F		F
			x x			y y		z z
	x		M		y	M	z M

	x	x				y y				z	z
	F					F				F
	x	M				y				z	M
							M
		F	x y z
L
		F	x y z

$

				H		H		H
				i		j		k
H	H	H		F		F		F
S	N	N
				x		y		z
				F		F		F
				x		y		z

M

L

12.1. Экстремумы функции нескольких переменных

Î:	Ì	x y
		f x y		f x y	f x y f x y
	< f x y		M x y	M
	Z			Z
				max	min

O		Y	O	Y
	M			M
X		X
		Ðèñ. 12.1
Примеры:	z x	y
õ	ó	z
z	x	y		Ì
	x y	M	z

$

T:

z

f

x y

z

z

x

M

y

M

n

q

y

y

f

x y

x

õ

õ

z

x

x

M

õ

õ

x

Пример: z

z

z

xy

y

x

x

y

xy

õ

y

xy

x

y

zz

Ì

x M

y M

Ò:

Ì x y

		f			f			f
			A			C			B
		x			y			x y
							AM
		A	B				AM
Ì
		B	C
				M

Ì

Î

f x y

M

M

n

$!

Пример:								z	x	xy	x y
x y R2
	zx	x		y	x	zy		xy	y
M	M			M			M
	A	x		C	x	B		y AC		B
				x	x				y
AC	B M				AM				Ì
AC	B M				AM					Ì
AC	B M
AC	B M
		n			n
						y	f	x	x	xn
	f	x		x	xn
Ò:					M	x	x		xn
				n
f(x	x	... xn			aik xi	xk		aik	fx x	x x	..., xn
									i	k
				i,k
					Ì					n

zf x y

12.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

$"

Примеры:

Sxy

P x y

x y a a

Î:	z	f	x y
L				F x y
Ì x	y		L
			f x y	M
x y		L	f x y	f x y f x y f x y

			F x y
y	x		z f x y
z	f x	x	õ

x y	f x y	F x	y
R			L
F x y		L	x y
f x x
õ

$#

fF

x x x

fF

y y y

Fx y

x y

	Ì	x y
		xx x	yx x y		yy	y
			y	Fx	y	x
	xx Fy	yxFx Fy	yy Fx	M
x Fy		M		z f x y				Ì x y
	Пример:					z	x	x
y	y		y	x

		õ ó z	x	x	y y
	x	y
		N	y	x
z	x	y	x	x
			Z
					N
		M

X

Ðèñ. 12.3

$$

zx	x	x	zxx				Ì
	z	x	x y	y
z
		x	y	x	x	y	y

yx

	x		y		y x
x		y

	x		y	x	y
xx	yy	xy	yx	Fx	Fy
	Ì

	y	f x x			xn	m
Fi x x	xn	i		m

x x	xn		m
		m
f x x	xn	iFi x x	xn
		i

nm

	j n		i m
xi		i

12.3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей

12.3.1. Уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой в R3

M x y z		H	H	L
KKKKKH	H			H
OM	r	xi	yj	zk

$%

Z

M(x y z)

H r

Î

Y

x

yz

X

Ðèñ. 12.4

H
r H	H		H		H	H
r	r t		r	x t	i	y t j
Î:
	H	H	x H x t		y	y t
	r	r t	r	t

H t x x t y y t z z t z t k

L

z z t

H H	t	L

rr t

H	H	H		H
Î: r	x i	y j	z k
	H	H					x t	x			y t
	r t	r
t	t				t t				t	t
					H
					r t
Î:								H
								r	t
	H			H		H			H
				r		r	t	t	r	t
	r	t
				t				t
		t			t
			H		H			H			H
			r t		x t i		y t j		z t k
			H		H			H			H
			r t		x t i		y t j z t k
								H
H								r	t
								H
M r t	t							M r t

	H
	r	t
H
r t	t	t
y	z t	z

tt

H	H	t t
r t	r	t
t
	t

t

$&

Z

H r t

M

M

L

Ðèñ. 12.5

X

ÌÌ							H
							r t
Ì
			Ì
x x			y y			z	z
x t			y t			z t
					L			Ì x y z

			M
x t x x	y t	y y	z t	z z
Пример:
L x	t	y	t z t	t

x

t

t y

t

t

z

t

H

x

y

z

rM

Y

L

L H H

sr t

H r t

$'

Î:

F x y z

Ì x y z

Ì

Ò:

Ì

F x y z

F

F

F

x

y

z

F

F

F

Ì

x

y

z

n

qL

x x t y y t z z t L				Ì L			H
			H H	H		H
L H	H	H	r H r t	x t i	y t j		z t k
r t	x t i	y t j	z t k

Ìx

Z H

N

M H

r t

H L r t

Î

Y

X

Ðèñ. 12.6

%