753

6. От чего зависит коэффициент мощности в рассматриваемой цепи?

6.5. Электрический колебательный контур

Электрическим колебательным контуром называют замк-

нутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (рис. 6.8).

t=0		1		1		3		t =T
	t =	4 T	t =	2 T	t =		T
						4

We

=

CUm2

, Wм=0

Wе=0,Wм =

LIm2

We

=

CUm2

, Wм=0

WЭ=0, Wм =

LIm2

We =

CUm2

,

2

2

2

2

2

Wм=0

а

б

в

г

д

Рис. 6.8. Колебания тока, заряда конденсатора и превращения энергии в колебательном

контуре в течение одного периода колебаний

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воз-

действий называются свободными колебаниями.

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (рис. 6.8а) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля Wе заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля Wм. Мгновенной разрядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдерживающая процесс возрастания силы тока в катушке. В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (рис. 6.8б). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас направление индукционного тока таково, что он препятствует уменьшению магнитного потока. Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Ко-

111

гда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (рис. 6.8в). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (рис. 6.8г), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (рис. 6.8д). В верхней части рисунка показаны значения времени соответствующих состояний, выраженные в долях периода.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии We электрического поля заряженного конденсатора равно максимально-

СU 2 LI 2

му значению энергии магнитного поля Wм катушки: 2 m = 2m , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в ка-

тушке и напряжения на конденсаторе:	U m	=	L	. Это отношение
	I m		C

имеет размерность сопротивления, поэтому величину LC назы-

вают волновым или характеристическим сопротивлением кон-

тура.

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей постепенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре ока-

зываются затухающими.

	Потери энергии в контуре можно	i
	учесть путем введения активного со-		R
		+ 2
	противления (рис. 6.9). Поскольку
	потери в диэлектрике конденсатора	C - 1	L
	малы, это сопротивление практиче-	Рис. 6.9. Реальный
	ски равно активному сопротивлению
	катушки индуктивности. Считая на-	колебательный контур

правление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2. В соот-

ветствии с формулой (2.13) получаем: iR = (ϕ1 −ϕ2 )− L dtdi . Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с

направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенци-

112

ал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (ϕ1− ϕ2) отрицательна:

(ϕ1 −ϕ2 )= −Cq ,

где q – заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому

i = dqdt .

Сучетомвышеизложенного законОмаможно записать ввиде:

L

d 2q

+ R

dq

+

1

q = 0

,

dt2

dt

C

или в виде:

d 2q

+2β

dq

+ω2q = 0

,

(6.8)

dt2

dt

0

где β=R/2L – коэффициент затухания, ω02 =1LC - собственная

частота.

Дифференциальное уравнение (6.8) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел «Механика»). Решение данного уравнения имеет вид:

q = q eβt cos (ω' t +α	0	),	(6.9)
0
где q0 − амплитуда тока в начальный момент времени,			(6.10)
ω' = ω2 − β2
0

− частота затухающих колебаний. Из (6.9) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону. Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний ω0. Из (6.10) следует, что при большом затухании (β ≥ ω0) частота становится мнимой величиной. Это означает,

	что колебательного процесса не происходит и
Рис. 6.10. Колеба-	заряд конденсатора уменьшается до нуля без
ния заряда на кон-	перезарядки. Такой процесс называется апе-
денсаторе в конту-	риодическим.
ре с потерями	Степень затухания колебаний принято ха-

рактеризовать логарифмическим декрементом затухания λ. Он равен логарифму натуральному двух соседних амплитуд. В разделе «Механика» показано, что λ = βT , где Т=2π/ω – период колебаний. Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания

113

соотношением Q = π / λ и при малом затухании выражается через параметры колебательного контура следующим обра-

зом: Q = R1 CL , то есть равна отношению характеристического со-

противления контура к активному сопротивлению потерь.

Если в колебательный контур (рис. 6.9) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на рис. 6.7а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой ω' и колебаний с частотой ω, то есть с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся и в контуре будут существовать колебания только с частотой ω. Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно эти колебания описаны в разделе 6.4. Явление резонанса используется для выделения колебаний заданной частоты, например в радиоприемниках. Если подать на контур колебания нескольких частот, то колебание, имеющее частоту, равную собственной частоте контура, будет иметь максимальную амплитуду.

Вопросы

1.За счет чего ток в колебательном контуре существует в моменты времени, когда конденсатор разряжен?

2.В какие моменты времени вся энергия контура сосредоточена

вконденсаторе? вкатушке индуктивности?

3.Из какого условия можно найти соотношение между амплитудами тока и напряжения на конденсаторе? Запишите это соотношение.

4.Каковы причины затухания колебаний в контуре?

5.На основании какого закона получается дифференциальное уравнение колебаний?

6.Какими характеристиками описывают степень затухания и какова связь между ними?

7.Какие колебания называются вынужденными? Чем вынужденные колебания отличатся от колебаний, описанных в разделе

6.4?

114

Заключение

Колебания технического переменного тока, получаемые при вращении рамки (катушки) в магнитном поле, близки к синусоидальным. Амплитуда тока в цепи зависит от величины сопротивления. В активном сопротивлении колебания тока происходят в одинаковой фазе с колебаниями напряжения, поэтому в таком сопротивлении происходит выделение мощности тока – нагрев или совершение механической работы. В реактивных элементах (конденсатор, катушка индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением) ток сдвинут по фазе относительно напряжения на угол π/2 (в конденсаторе ток опережает, а в катушке отстает на этот угол), поэтому выделение мощности в среднем за период равно нулю.

В последовательной RCL-цепи амплитуда колебаний зависит от соотношения частоты ω источника переменной ЭДС и собственной частоты контура ω02 =1(LC ). При равенстве частот ампли-

туда колебаний тока становится максимальной, сопротивление цепи чисто активным, сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения равным нулю.

7.ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Вначале XIX в. Эрстед, Ампер и другие физики, развивая электромагнитную теорию, не пользовались концепциями электрического и магнитного полей. Представление о поле было введено несколько позднее Фарадеем. Однако эта концепция не находила широкого признания до тех пор, пока Максвелл не показал, что все электрические и магнитные явления могут быть описаны всего четырьмя уравнениями, содержащими электрическое

имагнитное поля.

7.1.Вихревое электрическое поле.

Первое уравнение Максвелла

При изучении электромагнитной индукции мы выяснили, что всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением в замкнутом проводнике индукционного тока за счет появления вихревого электрического поля. Анализируя это явление, Максвелл пришел к выводу, что вихревое электрическое поле появляется всякий раз, когда изменяется магнитное поле, не зави-

115

симо от того, имеются ли в данной области пространства проводники. Последние играют вспомогательную роль и являются всего лишь индикаторами возникновения вихревого электрического поля.

Запишем данный результат в математической форме. Для этого в формуле закона электромагнитной индукции (4.1) представим ЭДС как циркуляцию вектора напряженности электрического поля (2.5), а магнитный поток − в виде (4.14). Получим:

	d
∫El dl = −			∫BndS .
L	dt		S

Поскольку операции дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения проводятся по разным переменным, их можно поменять местами:

∫El dl = −∫		dBn	dS .	(7.1)
L	S dt

Полученное уравнение называется первым уравнением Мак-

свелла в интегральной форме. Проиллю-				dB > 0				r	Br
стрируем это уравнение рис. 7.1. Пусть в				dt				n
некоторой области пространства магнит-									S
						L
ная индукция направлена вверх и возрас-
								Er
тает по величине:	dBn	> 0 . Знак магнитно-
	dt		Рис. 7.1. Возникновение
го потока через площадку S, ограничен-			вихревого электриче-
ную контуром L, зависит от направления			ского поля под дейст-
нормали nr к площадке. Положительное			вием изменяющегося
направление нормали связано с направ-				магнитного

лением обхода контура1 правилом буравчика (см. раздел 3.3). В случае, показанном на рис. 7.1, нормаль совпадает по направлению с вектором магнитной индукции B , поэтому подынтегральное выражение в правой части формулы (7.1) будет положительным, а циркуляция вектора напряженности электрического поля − отрицательной. Это означает, что во всех точках контура L электрическое поле Е направлено противоположно направлению обхода. Отметим, что линии напряженности электрического поля расположены в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной

1 Направление обхода контура выбирается произвольно, а полученный результат сравнивается с этим выбранным направлением.

116

индукции. Аналогичным образом можно вычислить циркуляцию вдоль любого контура.

Вопросы

1.Какое явление, открытое экспериментально, описывается первым уравнениемМаксвелла?

2.Как направлены линии напряженности возникающего вихревого электрического поля относительно направления вектора индукции изменяющегося магнитного поля?

3.Как изменится направление возникающего вихревого электрического поля (рис. 7.1), если вызывающее его магнитное поле будет уменьшаться?

7.2. Ток смещения. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля.

Второе уравнение Максвелла

Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнитное поле; математически этот факт выражается теоремой о циркуляции магнитной индукции (3.11), которую для поля в магнетике можно записать в виде : ∫Bdl =µµ0 ∑Ik . Согласно гипотезе Мак-

L k

свелла, существует и другая причина возникновения магнитного поля. Коль скоро в соответствии с законом электромагнитной ин-

дукции Фарадея (гл. 4) изменение магнитного поля приводит к
			S1				появлению электрического поля,
							то должно быть справедливо и об-
							ратное: изменение электрического
		S2			I
							поля должно сопровождаться воз-
					L
							никновением магнитного поля.
	Рис. 7.2. Применение тео-						Покажем справедливость гипо-
ремы о циркуляции к двум							тезы Максвелла. Применяя теоре-
различным поверхностям,							му о циркуляции вектора магнит-
опирающимся на один и тот
	же замкнутый контур						ной индукции, мы считали, что ток

пронизывает плоскую поверхность (S1 на рис. 7.2), ограниченную замкнутым контуром L. Но с таким же успехом можно было бы рассматривать поверхность S2, опирающуюся на тот же контур интегрирования, поскольку эту поверхность пронизывает такой же ток I. Иначе говоря, любую поверхность, опирающуюся на контур интегрирования, пронизыва-

117

и S2

ет один и тот же ток. Значит, сила тока, входящего в объем, огра-
ниченный поверхностями S1 и S2, равна				S1
силе тока, выходящего из этого объема.
Это утверждение, по существу, эквива-
лентно первому правилу Кирхгофа.
			S2					I
Применим теперь теорему о цирку-							L
ляции вектора B к цепи, в которой про-
	Рис. 7.3. В цепь переменного
исходит разряд конденсатора (рис. 7.3).	тока включен конденсатор

Поместим поверхность S1 между об-

кладками конденсатора. Кажется, что для поверхностей S1 циркуляция будет различной, так как через поверхность S1 ток не протекает (I = 0). Однако эти две поверхности опираются на один и тот же контур, по которому и вычисляется циркуляция, которая должна быть одинаковой в обоих случаях. Максвелл разрешил проблему, связанную с отсутствием тока через поверхность S1,

предположив, что изменяющееся электрическое поле между об-

кладками конденсатора эквивалентно электрическому току, который он назвал током смещения. Ток смещения как бы замыкает ток проводимости, существующий в подводящих проводниках. Исходя из равенства тока смещения через поверхность S1 току проводимости через S2, выразим силу тока смещения через напряженность изменяющегося электрического поля между обкладками конденсатора.

Изменение заряда конденсатора q вызывается током в провод-

никах, поэтому: i =icм = dqdt = dtd (σS )= dtd (εε0 ES ), где σ - поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора, S – площадь пластин конденсатора. При выводе была использована формула для напряженности поля E=σ/εε0. Плотность тока смещения бу-

дет равна jcм = iScм =εε0 dEdt . Справедливо также векторное соотно-

шение:

rj	=εε		dE	(7.2)
			dt
cм		0

118

Плотность тока смещения1 пропорциональна производной от напряженности электрического поля по времени.

В рассмотренном выше случае токи проводимости и смещения

были разделены в пространстве, поэтому теорему о циркуляции
(3.11) можно представить в виде:	∫Bl dl =µµ0	∫	rjdSr	=µµ0 ∫ rjсмdSr.
	L	S2		S1

Сумму токов, охватываемых контуром, мы заменили интегралом по поверхности S1, сквозь которую протекает ток смещения, либо равным ему интегралом по поверхности S2, сквозь которую протекает ток проводимости.

В общем случае внутри контура интегрирования могут быть как токи проводимости, так и токи смещения, поэтому теорема о циркуляции будет выглядеть следующим образом:

			dE	n
	∫Bl dl =µµ0	∫ jn +εε0			dS ,	(7.3)
			dt
	L	S

в котором скалярноеrпроизведение jcмdS представлено в виде:

rjcмdSr =εε0 dEdt dSr =εε0 dEdt dS cosα =εε0 dEdtn dS ,

аналогично представлено скалярное произведение

jdS = jndS .

Уравнение (7.3) называют вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Часто для описания электрического поля вводят ещеr однуr величину – электрическую индукцию, которая равна: D =εε0 E . Тогда (7.3) можно записать в виде:

			dD
	∫Bl dl =µµ0	∫ jn +	n	dS .	(7.4)
			dt
	L	S

Уравнения (7.3) и (7.4) выражают идею Максвелла о том, что

магнитное поле создается токами проводимости и переменным электрическим полем.

Проиллюстрируем второе уравнение Максвелла. Пусть в некоторой области пространства, заполненной веществом, электрические и магнитные свойства которого одинаковы во всех точках, вектор напряженности электрического поля направлен вверх и

1 Из полученного выражения видно, что «ток смещения» не что иное, как переменное электрическое поле. Если в диэлектрике и происходит смещение связанных зарядов под действием переменного поля, то в вакууме никакого смещения зарядов нет.

119

возрастает по величине: dEdtn > 0 (рис.7.2). Если в этой области от-

сутствуют токи проводимости, уравнение (7.3) будет иметь вид:

				dE	n
	∫Bl dl =µµ0	∫	εε0			dS . Поскольку интегрирование и дифферен-
				dt
	L	S

цирование в правой части последнего выражения проводятся по разным переменным, эти операции можно поменять местами:

∫Bl dl =µµ0εε0

d

∫EndS .

dt

L

S

Интеграл

∫EndS есть не что иное, как поток вектора напря-

S

женности электрического поля. Знак потока через площадку S,

ограниченную контуром L, зависит от на-

dE

nr

r

правления нормали nr к площадке, а на-

> 0

E

dt

правление последней связано с направле-

S

L

нием обхода контура правилом буравчика.

Br

В случае, показанном на рис. 7.4, знак по-

Рис. 7.4. Возникновение

тока будет положительным, производная

от потока также положительна (поле воз-

магнитного поля под

действием изменяюще-

растает), и знак циркуляция вектора маг-

гося электрического

нитной индукции поля положителен. Это

означает, что во всех точках контура L линия индукции магнитного поля В направлена по направлению обхода. Отметим, что линии магнитной индукции расположены в плоскости, перпендикулярной векторунапряженностиэлектрического поля.

Вопросы

1.Что такое ток смещения? Есть ли в этом названии какойлибо физический смысл?

2.Как направлены силовые линии возникающего магнитного поля относительно направления вектора напряженности изменяющегосяэлектрического поля?

3.Как изменится направление возникающего магнитного поля (рис. 7.2), если вызывающее его электрическое поле будет уменьшаться?

4.Изменятся ли в случаях, указанных на рис. 7.1 и 7.2, направления возникающих полей, если мы выберем противоположное направление обхода контура?

120