753

Вблизи прямолинейного проводника с
током магнитная стрелка устанавливается
по касательной к окружности, мысленно			I
очерченной вокруг проводника (рис. 3.1).
Иными словами, силовые линии магнитно-
го поля проводника с током имеют вид ок-
ружностей, в центре которых находится
проводник. Направление силовых линий
указывается северным полюсом магнитной			Отклонение
	Рис. 3.1.
стрелки, как нарис. 3.1.	магнитной стрелки вбли-
В том же 1820 г. Ампер эксперимен-	зи проводника с током

тально обнаружил, что параллельные проводники с одинаковым направлением токов притягиваются, а с противоположными направлениями токов отталкиваются (рис. 3.2). Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из проводников, пропорциональна произведению силы тока в каждом проводнике и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками:

F	= k'	2I1I2	.	(3.1)
l
		b

В этом выражении коэффициент k' зависит от выбора системы единиц. В СИ записывают коэффициент k' = µ0/4π. Здесь µ0 – маг-

			нитная постоянная, или абсолютная
	I1	I2	магнитная	проницаемость.		Из	закона
			взаимодействия токов (3.1)			определяют
		l	основную единицу силы тока – ампер
			(см. раздел	2.1). Если	по	двум	парал-
	r	r	лельным проводникам,		находящимся в
	F12	F21
			вакууме на расстоянии 1 м			друг от дру-
		b
			га, протекают токи по 1 А, то сила взаи-
	Рис. 3.2. Два провод-		модействия, отнесенная к единице дли-
	ника с противоположно		ны проводника (1 м), равна 2 10				-7	Н/м.
	направленными токами
	отталкиваются		Подставим эти значения в формулу (3.1),
			чтобы найти значение магнитной посто-

янной:

2	10−7 Н	=	µ0		2 1А 1А	. Отсюда µ0 = 4π 10−7	Н	. Обычно размер-
			4π		1м		А2
	м

ность магнитной постоянной записывают иначе. Единицу силы, Если по двум параллельным проводникам, находящимся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, протекают токи по 1 А, то

51

сила используя определение механической работы, расписывают как 1Дж/м, а единицу работы, в свою очередь, записывают через

единицы электрических величин:						1 Дж= 1 В А с. Получим
таким образом, что 1	Н	=1	В А с	=1	Г	, где 1Г =1 В с - генри (еди-
	2		2
					м	А
	А		А м

ница измерения индуктивности). Итак, магнитная постоянная из-

меряется в генри на метр:

µ0	= 4π 10−7	Г	.	(3.2)
		м

Вопросы

1.Почему действие тока на магнитную стрелку и взаимодействие проводников с токами было названо магнитным?

2.Изобразите силовые лини магнитного поля горизонтального проводника, ток в котором направлен влево.

3.С какой силой будут взаимодействовать два параллельных проводника длиной по два метра, расположенные на расстоянии 0,5 м, если по ним протекают токи по 1 А?

4.Нужно ли учитывать кулоновское взаимодействие при определении силы магнитного взаимодействия токов?

5.Запишите формулы, которые использовались для определения размерности магнитной постоянной (работа и ее связь с разностью потенциалов и зарядом).

6.Назовите источники магнитного поля.

3.2. Индукция магнитного поля. Действие магнитного поля на проводник с током и движущийся заряд

Магнитное поле создается постоянным магнитом, током или движущимся зарядом и обнаруживается по действию на магнитную стрелку, другой ток или движущийся заряд. Магнитное поле изображают с помощью магнитных силовых линий, имеющих направление, совпадающее с направлением от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле.

Сложность введения силовой характеристики магнитного поля заключается в том, что направление силы, действующей на ток или движущийся заряд, не совпадает с направлением магнитной

52

силовой линии. Кроме этого, величина силы зависит не только от длины проводника, помещенного в поле, и силы тока в нем, но и от ориентации проводника (или от направления скорости движущегося заряда) относительно линий магнитной индукции.

Если же выбирать ориентацию прямолинейного отрезка проводника такой, чтобы при прочих равных условиях сила, действующая на проводник, была бы максимальной, отношение этой силы к произведению длины проводника на силу тока в нем будет зависеть только от поля и может служить его характеристикой.

Такой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция. Модуль вектора магнитной индукции определяется как отношение максимальной силы1, действующей со стороны магнитного поля на проводник с током, к произведению силы тока I надлинуэтогопроводника l:

B =	Fmax	.	(3.3)
	Il

Таким образом, произведение силы тока на длину проводника в (3.3) играет роль пробного заряда при определении напряженности электрического поля (см. (1.2)).

Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением, указываемым северным концом магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Таким образом, магнитные силовые линии – это линии магнитной индукции. Единицей измерения магнитной индукции в СИ является тесла.

1Т=1 Н/(А м).

Сейчас можно более детально рассмотреть действие магнитного поля на проводник с током. В результате исследований, проведенных Ампером, установлено, что элементарная сила, с которой магнитное поле индукцией В действует на малый элемент проводника dl с током I, определяется выражением

dFA = I[dl , B] .

(3.4)

Эта сила называется силой Ампера. Направление вектора

dF определяется по правилу векторного произведения. Если прямолинейный проводник имеет длину l, а магнитное поле одно-

1 Экспериментальное определение силы в рассматриваемом случае по ряду причин представляет собой непростую задачу

53

FL = q υr,Br .

родно, интегрирование предыдущего выражения по длине проводника дает:

FA = IlB sinα ,

(3.5)

где α - угол между вектором B и направлением тока в проводнике.

Для определения направления силы используют правило ле-

вой руки: руку располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца направлены по току или по направлению движения положительного заряда (для отрицательного в противоположную сторону), тогда отставленный в сторону большой палец покажет направление силы (рис. 3.3).

		Так как электрический ток − поток
		упорядоченно	движущихся заряжен-
		ных частиц, то сила со стороны маг-
	Рис.3.3. Определение	нитного поля должна действовать на
		каждую такую частицу. Исходя из
	направления силы Ампе-	уже известных нам фактов,		можно
	ра с помощью правила	рассчитать силу, действующую на
	левой руки
		движущийся	электрический	заряд.

Если через данную точку за время t проходит n частиц с зарядом q каждая, то они создают ток силой I = nq/t.

Пусть t – время, за которое заряд q проходит расстояние l в магнитном поле с индукцией В; тогда l = υt, где υ − скорость частицы. Согласно (3.5), сила, действующая на эти частицы, равна FA =( nq / t )υtB cosα , а сила, действующая на одну из этих n частиц, равна FL=FA/n, или FL = qυB cosα . Эта сила называется силой

Лоренца. В векторной форме выражение для силы Лоренца имеет вид:

(3.6)

Сила максимальна, когда частица движется перпендикулярно направлению В (α= 90°) и равна нулю, когда частица движется вдоль силовых линий (α= 0°). Направление силы можно найти, как по правилу векторного произведения двух векторов, так и по правилу левой руки. Эквивалентный ток, создаваемый движением отрицательно заряженных частиц, направлен противоположно их скорости, поэтому направление сила Лоренца зависит от знака

54

Рис. 3.4. Отклонение движущихся заряженных частиц в магнитном поле

движущегося заряда (рис. 3.4). Поле в данном случае создано постоянными магнитами.

Так как силы Лоренца перпендикулярна скорости, она не совершает работы и может изменять только направление скорости движущегося заряда, сообщая центростремительное ускорение. Радиус окружности, по которой будет двигаться частица, зависит от его заряда, массы, скорости и индукции магнитного поля. Это обстоятельство позволяет экспериментально определять отношение

заряда частицы к его массе при движении ее в магнитном поле. Действие силы Лоренца используют в круговых циклических ускорителях заряженных частиц. Под действием силы Лоренца заряженные частицы в магнитосфере Земли двигаются по винтовым линиям, образуя радиационные пояса.

Вопросы

1.Для определения напряженности электрического поля использовался точечный пробный заряд. Можно ли создать «точечный» элемент проводника с током для определения магнитной индукции?

2.В каких единицах измеряется магнитная индукция?

3.Совпадает ли касательная к магнитной силовой линии с направлением силы, действующей на элемент тока?

4.В чем особенность применения правила правой руки для определения силы Лоренца?

5.Примените правило правой руки для отрицательно и положительно заряженных частиц на рис. 3.4.

6.Можно ли привести в движение покоящийся электрон с помощью магнитного поля? С помощью электрического поля?

7.Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по окружности. Опишите траекторию частицы после того, как

вдополнение к магнитному полю включается электрическое поле, направленное в ту же сторону.

55

3.3. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле проводников с током

Био и Савар в 1820 г. провели исследования магнитных полей, создаваемых проводниками разной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна величине тока и сложным образом зависит от расположения проводников. Лаплас, обработав их данные, получил формулу, называе-

мую законом Био-Савара-Лапласа:

r	µ			Idl,rr
dB =		0				(3.7)
	4π				r3
Здесь Idlr - элемент тока (произведение силы тока на элемент

длины проводника), совпадающий по направлению с током; r -
			dBr	радиус-вектор, проведенный в ту точку
	r	α		поля,	где определяется магнитная ин-
				дукция (рис. 3.5); µ0 - магнитная посто-
	dl	rr
				янная	(см.		раздел 3.1).			Направление
				элементарной				магнитной		индукции dB
	Проводник с
	током			совпадает с направлением вектора, рав-
				ного векторному произведению [dl , rr].
Рис. 3.5. Магнитное
поле, создаваемое эле-				Модуль определим, используя выраже-
	ментом тока			ние для модуля векторного произведе-
				ния:		µ0		Idl sinα
					dB =				.	(3.8)
						4π
								r2

Применим Закон Био-Савара-Лапласа для определения маг-

нитной индукции в центре кольцевого				dlr
проводника (витка) с током, находящего-	I		rr
ся в вакууме (рис. 3.6). Выделим произ-		R		π/2
вольный бесконечно малый элемент про-
водника dl и проведем радиус-вектор r в			r
центр витка. Создаваемое элементом тока			B
Idlrмагнитное поле в центре витка будет	Рис. 3.6. К определе-
иметь магнитную индукцию dB , направ-
ленную, в соответствии с (3.7), перпенди-	нию магнитной
	индукции в центре
кулярно плоскости витка. Нетрудно по-		витка
нять, что и другие элементы проводника

будут создавать в центре витка поле, направленное так же. Поэтому полное поле Br (на рис. 3.6 оно изображено кружком с кре-

56

стиком - хвост улетающей стрелы) в центре витка определится как интеграл от скалярного выражения (3.8):

B = ∫dB =	µ0		I	∫dl =	µ0 I	2πR = µ0	I	(3.9)
			2		2		2R
l	4π R			l	4π R

Магнитная индукция в центре витка пропорциональна току и обратно пропорциональна радиусу витка.

Аналогичным образом можно найти выражение для магнитной индукции поля, создаваемого прямолинейным проводником бесконечной длины:

	B = µ0	2I	(3.10)
	4π	b
	Здесь b - кратчайшее расстояние до про-		I
	водника. На рис. 3.7 изображены магнитные
	силовые линии прямого проводника с током,
	имеющие вид концентрических окружностей.		r
	Для точки, находящейся на расстоянии b от		B
			b
	проводника, показанонаправление вектора B .		L
	Направление магнитного поля, созданного
			Рис. 3.7. Магнитное
	проводником с током, можно найти с помо-
	щью правила буравчика. Для прямолиней-		поле прямолинейно-
	ного проводника правило применяется сле-		го проводника

дующим образом: если вращать ручку бурав-	с током

чика так, чтобы его поступательное движение совпадало по направлению с током (на рис.3.7 - вверх), то направление движения ручки буравчика будет совпадать с направлением силовых линий. Для кольцевого проводника: если вращать ручку буравчика по направлению тока (по часовой стрелке на рис. 3.6), то поступательное движение будет совпадать по направлению с магнитной индукцией в центре витка (на рис. 3.6 - от нас).

Вопросы

1.Как изменится направление вектора dB на рис 3.5, если изменить направление тока на противоположное?

2.Почему все элементы витка (рис. 3.6), в которых направление тока различно, создают в центре витка поле, направленное одинаково?

57

3.Чем существенным отличаются картины электростатического и магнитного полей, изображаемые с помощью силовых линий?

4.Если изображать на рис. 3.7 магнитное поле с помощью большого числа силовых линий, то где линии должны проводиться гуще?

5.Как будет выглядеть картина силовых линий кольцевого тока вблизи проводника? Обратите внимание на рис. 3.7.

3.4.Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поле тороида и бесконечно длинного соленоида

В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю (см. формулу (1.7)), и это поле потенциально. Определим циркуляцию вектора магнитной индукции. Для этого вначале рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолиней-

		ного проводника с током (рис. 3.7).
		Магнитные силовые линии прямоли-
		нейного тока представляют собой ок-
		ружности, плоскости которых перпен-
		дикулярны к проводнику, а центры ле-
		жат на оси проводника. Вычислим цир-
		куляцию вектора магнитной индукции
		этого поля вдоль произвольной силовой
		линии	L – окружности радиусом b:
		r r	2πb
B	R1	∫Bdl = ∫ Bdl cosα . Поскольку контур ин-
r		L	0
	R2	тегрирования L совпадает с линией ин-
	L1
		дукции магнитного поля, во всех точках
	L2	контура B − const и α = 0. Вынося по-
		стоянные величины за знак интеграла и,

авоспользовавшись формулой для маг-

бнитного поля прямого тока (3.10), полу-

Рис. 3.8. Вид (а) и сечение	чаем
тороида (б).	r	r	2πb		µµ0	2I	2πb = µ0 I .
	∫Bdl		=B ∫	dl =
						b
	L		0		4π

Эта формула справедлива для контура любой формы, охватывающего проводник с током. Можно показать также, что если контуром охватывается несколько токов, то циркуляция равна:

58

∫Bdl =µ0 ∑Ik .		(3.11)
L	k

Здесь под знаком суммы стоит алгебраическая сумма токов. Со знаком (+) берутся токи, направление которых связано с направлением обхода контура L правилом буравчика (см. раздел

3.3). Выражение (3.11) называют теоремой о циркуляции маг-

нитной индукции (в зарубежной литературе – законом Ампера). Из формулы (3.11) можно сделать вывод, что магнитное поле токов – непотенциальное поле, так как циркуляция вектора B не равна нулю; такие поля принято называть вихревыми полями.

С помощью теоремы о циркуляции вектора B можно рассчитать магнитное поле токов в простых случаях. В качестве примера рассмотрим магнитное поле тороида. Тороидом называется кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 3.8а). Справа показано сечение тороида плоскостью, проходящей через его осевую линию. Обозначим через R1 и R2 соответственно внешний и внутренний радиусы сечения тороида (размерами поперечного сечения провода, из которого сделана обмотка, пренебрегаем). Из условия симметрии следует, что силовые линии магнитного поля тороида должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на прямой, проходящей через центр тороида и перпендикулярной к плоскости чертежа. Очевидно также, что во всех точках одной и той же силовой линии численные значения индукцииB должны быть одинаковыми. Поэтому циркуляция вектора вдоль окружности L1 радиуса r равна

∫	r r	2πr
	Bdl	=B ∫ dl = 2πBr .
L1		0

Обозначим число витков обмотки тороида через N, а ток в ней через I.

Если r < R1, то внутри окружности интегрирования нет токов, поэтому циркуляция вектора B равна нулю, следовательно, и

B= 0 . Если r > R2, то окружность L2 охватывает 2N проводников

стоком I. Однако, как видно из рис. 3.8, в N из них ток I идет в

одном направлении (во внутренних частях обмотки − от нас), а в остальных N проводниках − в обратном направлении (во внешних частях обмотки − к нам). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, а из (3.11) следует, что2πBr = 0 или

59

В=0.

Следовательно, вне тороида магнитного поля нет. Оно целиком локализовано внутри объема тороида (R1 < r < R2). Окружность радиусом r , лежащая внутри тороида, охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. По-

этому 2πBr = µ0 NI ,						откуда следует,		что		магнитная индукция
внутри тороида равна:								NI
						B = µ			.	(3.12)
							0 2πr
	Таким образом,					напряженность поля				внутри тороида умень-
шается по мере удаления от его центра.										Индукция магнитного
поля			на	осевой		линии тороида (r=RCР= (R1+R2)/2) равна:
B	= µ		NI		= µ nI , где n − число витков на единицу длины сред-
		0 2πR
СР				0
			СР

ней линии тороида. Если неограниченно увеличивать средний радиус тороида, сохраняя неизменной густоту n витков его обмотки, то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. В пределе вместо тороида получим бесконечно длинный соленоид – прямую катушку. Поле внутри такого соленоида будет однородным, а магнитная индукция внутри равна:

B = µ0nI .

(3.13)

Вопросы

1.Почему магнитное поле называют вихревым? Чем оно отличается от электростатического поля?

2.Почему токи, не охватываемые контуром интегрирования, не дают вклада в циркуляцию магнитного поля? Ведь они изменяют магнитное поле в точках, через которые проходит этот контур. Для ответа на этот вопрос вспомните, почему заряды, не лежащие внутри замкнутой поверхности, не дают вклада в общий поток через эту поверхность.

3.Почему внутреннее поле тороида неодинаково на разных расстояниях от его центра?

4.Что такое соленоид? Изобразите его внешний вид и сечение,

как на рис. 3.8 для тороида.

3.4. Магнитный поток. Работа при перемещении проводника

с током в магнитном поле

60