753

тока и является постоянной величиной, ЭДС самоиндукции опре-
делится как1:			E S = −L dI .
						(4.7)
				dt
Явление самоиндукции можно наблюдать на опыте (рис. 4.5).
При замыкании цепи лампа Л2, включенная в цепь с катушкой
индуктивности (индуктивность изображается символом							),
загорается позже, чем лампа Л1, включенная последовательно с
резистором.
В момент замыкания ключа, соединяющего цепь с источником
тока, в цепи возникает нарастающий ток, вызывающий появление
в катушке ЭДС самоиндукции, препят-					R	Л1
ствующей увеличению тока. Однако по
мере возрастания силы тока напряжение					L	Л2
на лампе Л2 увеличивается, а на индук-
тивности − уменьшается. Таким обра-
зом, ток в цепи постепенно нарастает и				Рис. 4.5. Схема для де-
приближается к максимальному значе-				монстрации явления са-
нию, примерно такому же, как в лампе				моиндукции
Л1. Резистор R, включенный последовательно этой лампе, как раз
и служит для подбора одинакового тока в двух лампах.
Процесс нарастания тока в цепи можно описать математиче-
ски, применив к цепи1, изображенной на рис. 4.6, правило Кирх-
гофа. Поскольку любая катушка индуктивности					обладает элек-
трическим сопротивлением, реальную катушку мы представили в
			виде последовательно соединенных			индук-
R	E	L	тивности L и резистора R. Сопротивление ис-
			точникатоканеучитываем.
		+
	–		В момент размыкания ключа К в замкну-
	К
Рис. 4.6. К выво-			той цепи появляется ЭДС источника E				и
			при нарастании тока I в цепи возникает ЭДС
ду закона изменения			самоиндукции катушки ES		= −L(dI/dt). На
тока при замыкании
			основании второго правила Кирхгофа (см.
раздел 2.4) составляем уравнение:

1 Индуктивность катушки может зависеть от силы тока в ней, если имеется ферромагнитный сердечник.

1 Использовать в практических целях данную схему не рекомендуется, так как замыкание ключом К источника тока приводит к выводу его из строя.

71

IR =E − L dIdt .

Мы получили линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Приведем

его к виду:

dI

= dt

и проинтегрируем левую и правую части:

E − IR

I

dI

t

L

∫

= ∫dt

, откуда

E − IR

0

0 L

1

E − IR

1

.

−

ln

=

R

E

L

Потенцируя данное выражение,

получаем:

I =

E

−e

−

Rt

. При-

1

L

ведем последнее к виду:

R

I = I0 (1−e−t τ ),

(4.8)

где I0 =E /R – установившееся значение тока, τ = L/R – постоянная времени цепи. Значение t = τ есть время, за которое сила тока достигает величины

I0(1 − 1/е)= 0,63 I0, или 63% от своего установившегося значения.

Если перебросить переключатель K (рис. 4.6), в положение, при котором источник тока замыкается (выключается из цепи) в тот момент, когда сила тока в цепи была равной I0, то ток в цепи начинает уменьшаться, и возникающая ЭДС индукции будет направлена так, чтобы замедлять его уменьшение.

На основании второго правила Кирхгофа составим уравнение для этого случая: IR = −L dIdt . Разделим переменные и проинтегри-

I

dI

t

R

I

R

руем левую и правую части: ∫

I

= ∫

L

dt , откуда

ln

= −

t

или

I0

L

I0

0

I = I0e−t τ .

(4.9)

Таким образом, ток экспоненциально убывает до нуля. При t = τ ток составляет I0/е = 0,37 I0.

Поскольку реальные цепи всегда обладают индуктивностью, пусть даже малой индуктивностью соединительных проводов, ток при включении цепи достигает максимального значения с некоторой задержкой.

72

Вопросы

1.Почему рассмотренное явление получило название самоин-

дукция?

2.Что такое индуктивность и в каких единицах она измеряет-

ся?

3.Подразумевает ли взаимная индуктивность наличие самоиндукции? Объясните.

4.Постройте графики экспоненциального возрастания и спада тока при включении и выключении источника тока. Покажите

значения тока в моменты времени t = τ .

5.При уменьшении или нарастании тока в цепи знаки ЭДС самоиндукции противоположны. Как это учитывается в формуле

(4.7)?

6.Как изменяется во времени модуль ЭДС самоиндукции после включения или выключения источника тока? Остается ли он постоянным?

7.Влияет ли ЭДС источника на скорость возрастания тока? на установившееся значение тока?

8.Зависит ли установившееся значение тока от индуктивности цепи?

9.Как влияют индуктивность катушки и ее сопротивление на постоянную времени цепи?

10.При размыкании цепи с большой индуктивностью могут возникнуть искра или даже электрическая дуга (при большой силе размыкаемого тока). По какой причине это происходит?

4.4. Энергия магнитного поля

Для создания в проводнике с индуктивностью L некоторого тока I источник тока должен совершить работу против ЭДС самоиндукции. Из закона сохранения энергии следует, что при этом энергия источника тока превращается в энергию, запасенную в катушке индуктивности. Эту энергию мы можем определить через работу, совершаемую уменьшающимся по величине током после выключения из цепи источника тока. Элементарная работа определится извыражения (см. раздел 2.3):

dA = IE S dt = IL dIdt dt = LIdI .

73

Полная работа, совершенная до момента полного исчезновения тока, будет равна энергии магнитного поля с обратным знаком:

0	LI 2	,	(4.10)
W = −∫dA = −∫LIdI =
I0	2

поскольку энергию, запасенную в катушке индуктивности, можно представлять как энергию ее магнитного поля.

Чтобы выразить энергию через индукцию магнитного поля, найдем энергию длинного соленоида. Индуктивность соленоида равна (см. (4.5)) L = µµ0n2V . Индукция магнитного поля внутри

соленоида связана с силой тока в его обмотке формулой (3.13). Выражаем из этой формулы ток: I=B/µµ0n и подставляем вместе с выражением для индуктивности в (4.10). Получаем:

	2		B	2		B	2
W =	µµ0n V				=			V
						2µµ0
	2		µµ0n

Эта энергия заключена внутри катушки объемом V. Тогда энергия единицы объема, или плотность энергии магнитного поля, равна

	wм =	B2	(4.11)
		2µµ0

Формула (4.11), полученная нами для частного случая (магнитное поле внутри соленоида), справедлива в любой области пространства, где существует магнитное поле.

Вопросы

1.За счет какой энергии протекает ток в цепи после выключения источника тока? Из какого источника эта энергия возникает?

2.Почему энергию, запасенную в катушке индуктивности, связывают с магнитным полем? Для ответа на этот вопрос вернитесь к разделу 1.10.

Заключение

Электрический ток в контуре возникает при изменении магнитного потока, пронизывающего контур. При этом возникает вихревое электрическое поле, циркуляция которого равна ЭДС индукции. Изменение магнитного потока может вызываться изменением силы тока в другой близко расположенной катушке (это явление называется взаимной индукцией) или изменением

74

тока в самом контуре (самоиндукция). В обоих случаях в контуре наводится ЭДС, направленная так, чтобы противодействовать причине, ее порождающей.

75

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

5.1. Диэлектрики в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков

В большинстве конденсаторов между пластинами проложен изолирующий материал (диэлектрик). Этим достигается сразу несколько целей. Во-первых, диэлектрики лучше противостоят электрическому пробою, чем воздух, и к конденсатору можно приложить более высокое напряжение без утечки заряда через зазор между обкладками. Во-вторых, при заполнении пространства между пластинами диэлектриком емкость конденсатора увеличиваетсявε раз(см. раздел1.9).

		Таблица 5.1
Значения относительной диэлектрической
	проницаемости некоторых веществ
Вещество		ε
Вакуум		1
Воздух (105 Па)		1,0006
Парафин		2,2
Эбонит		2,8
Бумага		3−7
Кварц		4,3
Стекло		4−7
Слюда		7
Этиловый спирт		24
Вода		80

Значения относительной диэлектрической проницаемости ε для ряда диэлектриков приведены в табл. 5.1. Обратите внимание на то, что для воздуха при нормальном давлении ε=1,0006, и поэтому емкость конденсатора с воздушным зазором очень мало отличается от емкости этого конденсатора в вакууме.

Когда пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком, на пластинах при том же напряжении накапливается больший заряд, нежели когда между пластинами воздух. Если же диэлектрик вставляется в заряженный, но отключенный от источника конденсатор, разность потенциалов между пластинами уменьшается в ε раз, поскольку во столько же раз увеличивается емкость (см. формулы (1.27) и (1.28)), а заряд на пластинах

76

при этих условиях остается неизменным. Напряженность элек-

трического поля внутри диэлектрика также ослабляется в ε раз, так как напряженность поля внутри плоского конденсатора пропорциональна разности потенциалов пластин.

Происходящее в диэлектрике можно объяснить с моле-

кулярной	точки	зрения. Молекулы		диэлектрика, будучи		ней-
+	−	±	тральными, могут обладать постоянным
			дипольным моментом (см. раздел 1.3),
а		б	то есть иметь структуру, в которой цен-
Рис. 5.1. Полярная (а)			тры положительных		и отрицательных
и неполярная (б) моле-			зарядов не совпадают (рис. 5.1а). Такие
кулы в отсутствии			молекулы называются полярными. В
внешнего электрическо-
	го		электрическом поле возникнет вра-
			щательный	момент,	который	будет

стремиться развернуть диполи параллельно полю. Тепловое движение препятствует идеальной ориентации всех молекул, однако, чем сильнее поле, тем выше будет степень упорядоченности дипольных моментов молекул. Явление выстраивания дипольных моментов по полю называется поляризацией. Поляризация полярных молекул называется ориентационной.

У других молекул, называемых неполярными, в отсутствии внешнего электрического поля центры положительного и отрицательного заряда совпадают (рис. 5.1б) и дипольный момент равен нулю. У таких молекул дипольный момент появляется в результате действия внешнего поля. Вплоть до очень сильных полей значение наводимого момента пропорционально напряженности

Е' поля в той точке, где находится молекула:
pr	= βε	E' ,	(5.1)
e	0

где β - поляризуемость молекулы. Поляризация неполярных молекул называется электронной.

Рассмотрим конденсатор, обкладки которого разделены воздушным промежутком. Пластины конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда σ. Введем теперь между пластинами диэлектрик (рис. 5.2). В результате поляризации на поверхности диэлектрика появляются индуцированные заряды. Их называют связанными (в отличие от свободных зарядов внутри проводников), так как образовались они за счет смещения зарядов на весьма малые расстояния (в пределах размера молекулы).

77

Внутри объема диэлектрика заряды соседних молекул компенсируют друг друга.

	+	−	+	−	+	−	Е0
	+	−	+	−	+	−
							ЕД
	+	−	+	−	+	−
	+	−	+	−	+	−
	+ − + − + −
	−σ +σ'					−σ' +σ	−σ +σ'

−σ' +σ

Рис. 5.2. Образование связанных зарядов на поверхностях диэлектрика (а) и ослабление ими внутреннего поля в диэлектрике (б)

В конечном итоге на обращенной к положительной обкладке конденсатора внешней стороне диэлектрика появится результирующий отрицательный связанный заряд с поверхностной плотностью -σ', а на противоположной − положительный с поверхностной плотностью +σ'. На связанных зарядах начинается и заканчивается часть линий напряженности внешнего поля (рис. 5.2б), поэтому напряженность электрического поля внутри диэлектрика окажется меньше, чем в воздухе.

Напряженность электрического поля внутри диэлектрика будет представлять собой векторную сумму напряженности поля Е0 = σ/ε0, создаваемого свободными зарядами на обкладках, и напряженности поля Е' =σ'/ε0, создаваемого связанными зарядами в диэлектрике; поскольку эти поля направлены в противоположные стороны, результирующая напряженность электрического поля внутри диэлектрика ЕД будет меньше Е0. Для случая, изображенного на рис. 5.2, получим:

	EД	=	Е0	= Е0	− Е' =	σ −σ' .	(5.2)
			ε
						ε
						0

Количественной характеристикой поляризации диэлектрика является поляризованность (устаревшее название − вектор поля-

ризации) – электрический(дипольный) моментединицыобъема:

	r	1	N r
	P =		∑pei	,	(5.3)
		V
где pr			i=1
	- дипольный момент отдельного диполя (молекулы). Если
ei

дипольные моменты всех молекул одинаковы, то

78

Pr = n pr	= n βε	0	Еr	= χ	ε	0	Еr	Д	.	(5.4)
0 ei	0		Д	e

Здесь n0 – число диполей в единичном объеме диэлектрика, χе = n0β − диэлектрическая восприимчивость вещества. При выводе

(5.4) мы учли, что дипольный момент каждой молекулы пропорционален напряженности поля E' в точке, где находится молекула (5.2), и заменили поле E' на среднее поле внутри диэлектрика ЕД1.

Найдем связь поляризованности с поверхностной плотностью

Pr

связанных зарядов. Выделим в диэлек-

S

трической пластине, ориентированной

α

под углом к внешнему полю (рис. 5.3),

L

Pn

ее часть в виде наклонной призмы с ос-

Er0

нованием S и ребром L, параллельным

Рис. 5.3. К определению

внешнему полю Е0. В соответствии с

поляризованности

формулами (5.3) и (5.1) вектор поляри-

зованности также будет параллелен полю Е0. Эту призму можно рассматривать как диполь с электрическим моментом ре=qL=σ'SL, где σ' – поверхностная плотность связанных зарядов, и объемом V=SLcosα. Тогда поляризованность вещества этой призмы равна: P = ре/ V =σ'/cosα.

Отсюда получаем соотношение:

Pn=σ'. (5.5)

Нормальная (относительно поверхности диэлектрика), со-

ставляющая вектора поляризованности (Pn = Pcosα,) равна поверхностной плотности связанных зарядов.

Подставив в формулу (5.5) формулу (5.2), получаем для слу-

чая, изображенного на рис. 5.2: ЕД = Е0 − Рn . Можно показать, что

ε0

при любом расположении границ диэлектрика относительно внешнего поля справедливо векторное соотношение:

r	r		Р	.				(5.6)
ЕД = Е0		−
			ε
			0
Используя формулу (5.4), имеем: ЕД = Еr0					− χe ЕrД или ЕrД =			Е0	.
						1
								+ χe

Сопоставляя с формулой (5.2), получаем, что

1 В плотных диэлектриках напряженность поля в точке, где находится молекула, лишь приближенно равна средней напряженности поля в диэлектрике.

79

ε = (χе + 1)

(5.7)

Макроскопическая картина поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами принципиальных отличий не имеет. Основное различие имеется в температурной зависимости диэлектрической проницаемости. У диэлектриков с полярными молекулами она уменьшается с повышением температуры, так как тепловое хаотическое движение препятствует выстраиванию молекулярных диполей вдоль внешнего поля. У диэлектриков с неполярными молекулами диэлектрическая проницаемость уменьшается с повышением температуры очень слабо, в основном по причине теплового расширения диэлектрика (и уменьшения числа молекул в единице объема).

При снятии внешнего поля связанные заряды через время 10-15 −10-10 с исчезают, лишь у отдельных веществ, называемых электретами, связанные заряды сохраняются долгое время при отсутствии внешнего поля.

Вопросы

1.Какова основная причина, по которой напряженность электрического поля в диэлектрике меньше напряженности внешнего поля? Обоснуйте ответ с молекулярной точки зрения.

2.Назовите два типа молекул диэлектрика. В чем различие их электрических свойств?

3.Чем связанные заряды на поверхности диэлектрика отличаются от свободных зарядов на поверхности проводника? Почему заряды не проявляются в объеме диэлектрика?

4.Запишите формулу для вычисления напряженности поля, создаваемого связанными зарядами на поверхностях диэлектрической пластины.

5.Какая величина характеризует поляризацию диэлектрика? В каких единицах она измеряется? Как она связана с поверхностной плотностью связанных зарядов и напряженностью поля в диэлектрике?

6.Что показывает диэлектрическая восприимчивость диэлектрика? Как она связана с диэлектрической проницаемостью?

7.По каким причинам диэлектрическая проницаемость веществ зависит от температуры? Как проявляется эта зависимость?

80