753

	Элементарным потоком вектора магнит-
	ной индукции, или магнитным потоком,
	сквозь малую площадку dS (рис. 3.9) назы-
	вается физическая величина, равная произ-
Рис. 3.9. К опре-	ведению величины этой площадки и проек-
делению магнитно-	ции Вп вектора B на направление нормали n
го потока	к площадке dS:

dФм = BdS = BdS cosα = BndS .

(3.14)

Полный поток через площадку S:

Фм = ∫BdS = ∫BndS .

S S

Если поле однородное, а площадка S плоская то Вп = const и

Фм=BScosα.(3.15)

Магнитный поток можно наглядно истолковать как величину, пропорциональную числу линий магнитной индукции, пронизывающих данную площадку. Формула (3.15) позволяет установить

единицу измерения магнитного потока − вебер: 1Вб=1Т м2.

Для магнитного поля справедлива теорема Гаусса: Магнит-

ный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: ∫BndS = 0 . Эта теорема является следствием того, что в

природе нет магнитных «зарядов» и		n
линии индукции любого магнитного	B			I
поля представляют собой замкнутые		90°-α		r
кривые.		α		dF			dl
Вычислим работу dA, совершае-
мую силой Ампера при перемеще-		dx
нии элемента dl проводника с током
I в магнитном поле индукциейB .	Рис. 3.10. Перемеще-
Для простоты предположим, что	ние проводника с током в
элемент проводника перемещается в		магнитном поле
направлении действующей на него

силы dF (рис. 3.10). В этом случае

работа dA равна произведению силы dF и перемещения dx, то есть:

dA = dFdx = IBdldx sinα .

(3.16)

61

Сила dF и перемещение dx направлены перпендикулярно к элементу проводника dl. Следовательно, произведение dl dx = dS представляет собой площадь поверхности, описанной элементом проводника dl при его перемещении на расстояние dx. Из рис. 3.10 видно, что

Bn = B cos (90o −α)= B sinα ,

где Вп − проекция вектора B на направление нормали nr к площадке dS. Следовательно, произведение BndS=Bdldx sinα равно магнитному потоку dФм сквозь поверхность dS. Поэтому формулу (3.16) можно переписать в виде:

dA = I dФм

(3.17)

Интегрируя это выражение и, полагая силу тока постоянной,

получаем:	(3.18)
A = I Фм

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнитном поле проводника, ток в котором постоянен, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, которую описывает проводник при своем движении.

Вопросы

1.Чтотакоемагнитныйпоток ивкакихединицахонизмеряется?

2.Как графически можно интерпретировать магнитный поток через некоторую площадку?

3.Чему будет равен поток магнитной индукции через замкнутую поверхность? Учтите, что магнитные силовые линии являются замкнутыми, поскольку магнитных зарядов не существует.

4.Как, используя понятие потока, можно определить работу по перемещению проводника с током в магнитном поле?

3.5. Замкнутый контур с током в магнитном поле

Рассмотрим замкнутый прямоугольный контур (рамку) (рис. 3.11) длиной а и шириной b. По рамке течет ток силой I; рамка расположена в горизонтальном однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого составляет угол α с нормалью к плоскости рамки. Она может свободно вращаться относительно вертикальной оси.

Токоподводящие провода (в верхней части контура) расположены очень близко друг к другу и скручены, так что действую-

62

щими на них со стороны магнитного поля силами можно пренебречь. Сила тока, втекающего в рамку, и сила тока, вытекающего из рамки, равны по величине и противоположны по направлению; оба подводящих проводника расположены очень близко друг к другу.

Силы, действующие на горизонталь-		I
ные участки рамки (длиной b), равны по			nr
		r
величине и противоположны по направ-	а	F	α
лению (направлены вверх и вниз по вер-		Fr	B
тикали); эти силы взаимно уравновеши-		r	I
ваются и не создают ни результирующей		M
силы, ни вращающего момента.		b
Силы Fr , действующие на каждый из		Рис. 3.11.
вертикальных участков рамки длиной а,	К расчету вращающего
согласно формуле (3.5), равны по моду-	момента, действующего на
люF = IaB , поскольку эти участки пер-	контур с током в магнит-
пендикулярныB ; одна из сил направлена		ном поле

в плоскость чертежа, другая − из плоскости (по правилу правой руки; см. раздел 3.2) причем обе силы не лежат на одной прямой. Таким образом, эти силы создают вращающий момент. Плечо (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения) каждой из сил равно (b sinα)2 , и результирующий вращаю-

щий момент двух сил

M = 2(Fb sinα)/ 2 = IabB sinα = ISB sinα ,

(3.19)

где S = ab − площадь рамки. В данном случае вращающий момент сил (см. раздел «Механика») направлен вниз. Произведение IS называется магнитным моментом витка с током и представляет собой вектор prм = ISnr, направленный перпендикулярно плоскости

витка (направление вектораpм связано с направлением тока в контуре правилом буравчика). Таким образом, вектор вращающего

момента равен векторному произведению:
	r	r						(3.20)
M = pм ,B .
Если рамка содержит N витков, то суммарный ток в каждом
участке равен NI и вращающий момент					r	r		. Эта фор-
				M = N pм ,B

мула, полученная здесь для прямоугольной рамки, справедлива для любой плоской катушки.

Найдем работу dA, совершаемую моментом сил Ампера M по повороту контура на угол dα. Работа при вращательном движе-

63

нии определяется как произведение (см. раздел «Механика»): dA = −Mdα . Знак (-) означает, что силы, действующие на виток в магнитном поле, стремятся уменьшить угол α между положительной нормалью к контуру, определяемой по правилу буравчика, и вектором магнитной индукции.

При повороте контура на конечный угол работа определится как интеграл:

α2	α2
A12 = −∫Mdα =− IBS ∫sinα dα =IBS (cosα2 −cosα1 ).
α1	α1

Здесь использовано выражение (3.19) и учтено, что ток, индукция магнитного поля и площадь контура неизменны. Если учесть формулу (3.15), то последнее выражение можно представить в виде:

A12 = I (Фм2 −Фм1 ).

(3.21)

Эта формула пригодна для расчета работы при любом перемещении контура, когда меняется пронизывающий его поток, а не только приповоротеконтура.

Вопросы

1.В какое положение магнитное поле стремится установить замкнутый контур с током?

2.Есть ли у замкнутого контура с током положения равновесия – устойчивое и неустойчивое?

3.Что такое магнитный момент витка и в каких единицах он измеряется?

4.Как определить направление магнитного момента витка?

5.Есть ли существенное различие в формулах (3.18) и (3.21), по которым определяется работа в контуре?

64

Заключение

Магнитное поле создается движущимися зарядами. Силы, действующие в магнитном поле, не являются центральными – линии действия сил не проходят через центры взаимодействующих тел. Магнитное поле не потенциально – циркуляция вектора магнитной индукции не равна нулю: ∫Bl dl =µ0 ∑Ik . Теорема Гаусса

L k

для магнитного поля гласит, что магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю: ∫BndS = 0 . Это является следствием

S

отсутствия магнитных зарядов и замкнутости линий магнитной индукции.

4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Рассмотренные выше магнитные явления были исследованы в 1820-1821 гг. Затем ученые задались вопросом, если электрический ток создает магнитное поле, то не может ли магнитное поле создавать электрический ток? Десять лет спустя Майкл Фарадей (1791-1867) обнаружил этот эффект1.

4.1.Опыты Фарадея. ЭДС индукции

В1831 г. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, заключающееся в возникновении тока под действием переменного магнитного поля. Схема опытов Фарадея приведена на рис. 4.1. Он установил, что ток в первой

	катушке	возникает:	а	б
	при движении по-
			Рис. 4.1. Схемы опытов Фарадея
	стоянного	магнита

относительно катушки (рис.4.1а); при изменении тока во второй катушке (рис.4.1б); при движении катушек относительно друг друга (во второй при этом существует постоянный ток). Чем бы-

1 Имеются сведения, что Джозеф Генри (1797-1878) сделал открытие раньше Фарадея, но Фарадей первым опубликовал свои результаты и провел более детальные исследования.

65

Рис. 4.2. Демонстрация правила Ленца

стрее движется магнит или вторая катушка, тем больше сила тока. Отсюда можно было сделать вывод: в замкнутом контуре воз-

никает ток при изменении потока магнитной индукции, пронизывающегоконтур.

Это означает, что в контуре возникает ЭДС индукции:

E i = −	dФм	.	(4.1)
	dt

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур (точнее, производной от потока по времени). Если в контуре имеется N витков с плотной намоткой, то индуцированные в каждом витке ЭДС будут складываться, и формула (4.1) принимает вид:

E i = −N	dФм	.	(4.2)
	dt

Знак (-) в правой части формул отражает правило Ленца: воз-

никающий в замкнутом контуре ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван (т.е. противодействует причине, его породив-

шей). На рис. 4.2 показан опыт с внесением магнита в замкнутое кольцо. Возникающий в кольце индукционный ток создает магнитное поле, препятствующее внесению магнита, и отталкивает кольцо от магнита. При внесении магнита в разрезанное кольцо эффект отсутствует.

Посмотрим, что происходило бы, если бы правило Ленца не выполнялось. Индукционный ток в этой ситуации создавал бы магнитный поток, направление которого совпадало бы с исходным изменением; возрастающее изменение потока привело бы к еще большему увеличению индукционного тока, что сопровождалось бы еще большим изменением потока. В результате ток продолжал бы нарастать до бесконечности, выделяя мощность (Р= I2 R) даже после прекращения первоначального изменения. Это означало бы нарушение закона сохранения энер-

гии. Таким образом, правило Ленца является следствием закона сохранения энергии.

Поскольку ЭДС определяется как циркуляция напряженности электрического поля сторонних сил (см. раздел 2.1), возникновение

66

ЭДС индукции можно трактовать как появление вихревого электрического поля, способного перемещать заряды в замкнутой цепи.

Вопросы

1.Опираясь на понятие магнитного потока (3.15), назовите способы, которыми можно изменять поток, пронизывающий контур.

2.Можно ли, вдвигая магнит в катушку и выдвигая его, получить в ней постоянный ток?

3.Выразите, используя формулу (4.1), единицу магнитного потока (вебер) через единицы напряжения и времени.

4.Какие преимущества в опытах Фарадея (рис. 4.1) дает использование катушек с большим числом витков?

5.Имеется два проволочных витка (не соединенные между собой). В какой-то момент к первому витку подключается батарея и

внем возникает ток. Возникнет ли ток во втором витке? Если да, то в какой момент он возникнет? Когда он прекратится?

6.Действует ли между двумя витками (см. вопрос 5) сила? Если да, то в каком направлении?

7.Почему говорят, что правило Ленца есть следствие закона сохраненияэнергии?

4.2. Взаимная индукция

Рассмотрим опыты Фарадея более подробно. Если две катушки расположены поблизости друг от друга (рис. 4.3.), то изменение тока под действием источника пере-

менной ЭДС E1 в одной из них приведет к	1	2
появлению ЭДС индукции в другой. Это			I2
явление называют взаимной индукцией.
Согласно закону Фарадея ЭДС индукции	I1
E2 в катушке 2 пропорциональна скорости	E1
	Рис. 4.3. К описанию
изменения пронизывающего магнитного	явления взаимной
потока. Магнитное поле, линии которого		индукции

пронизывают катушку 2, создается током

I1. При этом каждый виток катушки 2 пронизывает магнитный поток Ф21. Величина N2Ф21 называется потокосцеплением катушки 2, содержащей N2 витков плотной намотки.

67

Поскольку индукция магнитного поля, создаваемого током, всегда пропорциональна силе тока, потокосцепление катушки 2 также будет пропорционально силе тока I1 в катушке 1:

N2Ф21 I1.

Коэффициент пропорциональности называется взаимной индуктивностью М21 (коэффициентом взаимной индукции) катушек 1 и 2:

L21 = N2Ф21 I1 .

(4.3)

Единица измерения взаимной индуктивности в СИ – генри: 1Г=1Вб/А или с учетом формулы (4.1) связи потока с ЭДС:

1Г=1 В с/А= 1 Ом с.

Всоответствии с формулой (4.2), и с учетом формулы (4.3)

ЭДС E2, возбуждаемая в катушке 2 изменяющимся током в ка-

тушке 1, равна	E 2	= −N2	dФ21	= −L21	dI1	.
			dt
					dt

Мы получили выражение, связывающее ЭДС индукции в катушке 2 с током в катушке 1. Взаимная индуктивность L21 катушки 2 по отношению к катушке 1 зависит от размеров, формы, числа витков и взаимного расположения двух катушек, Например, чем ближе катушки на рис. 4.3 друг к другу, тем больше силовых линий пройдет через катушку 2 и тем больше будет коэффициент взаимной индукции L21.

Взаимная индуктивность зависит также от материала сердечника − железа или другого ферромагнетика. При заполнении поля такой средой взаимная индуктивность увеличивается в µ раз, где µ - относительная магнитная проницаемость вещества. Физический смысл этой величины будет рассмотрен в разделе 5.2.

Рассмотрим теперь обратный случай, когда изменяющийся под действием внешней переменной ЭДС ток в катушке 2 возбуждает ЭДС в катушке 1. В этом случае:

		E 1 = −L12	dI2	, где L12 − коэффициент
	Рис. 4.4. К вычислению		dt
		взаимной индукции катушки 1 по от-
	взаимной индуктивности
	двух катушек	ношению к катушке 2. Можно пока-
		зать, что L12 = L21.

Найдем взаимную индуктивность длинного тонкого соленоида длиной l с площадью поперечного сечения S, содержащего N1

68

витков плотной намотки и намотанной поверх него изолированным проводом катушки с числом витков N2 (рис. 4.4), считая, что весь магнитный поток соленоида (катушки 1) проходит через катушку 2.

Как следует из формулы (4.3), для этого необходимо найти поток Ф21, пронизывающий плоскость каждого витка катушки 2. По определению поток равен Ф21=B1S, где B1 = µµ0 N1I1 l − индук-

ция магнитного поля, созданного соленоидом (см. (3.13)), имеющим сердечник, выполненный из материала с относительной магнитной проницаемостью µ. Подставив выражение для потока в формулу(4.3), получим:

	L	=	N2Ф21	= µµ	N	N		S	(4.4)
			I1				2 l
	21			0	1

Взаимная индукция используется в трансформаторах, а также во всех случаях, когда необходимо передать электрический сигнал на малое расстояние без использования гальванической (проводной) связимеждуцепями.

Иногда, однако, из-за индуктивной связи возникают проблемы. Цепи переменного тока (линии передачи электроэнергии, трансформаторы) способны возбуждать ЭДС в других цепях. Даже если взаимная индуктивность невелика, слабый сигнал частоты переменного тока 50 Гц (фон), наведенный на вход усилителя музыкального комплекса, может испортить впечатление от прослушивания музыкального произведения. Для ослабления наводок обычно применяют экранированные кабели, внутренний проводник в которых окружен заземленным цилиндрическим металлическим экраном, а также стремятся уменьшать длину защищаемой от наводок цепи с целью уменьшения взаимной индуктивности.

Вопросы

1.Что такое потокосцепление? В каких единицах измеряется эта величина?

2.Что такое взаимная индуктивность двух катушек и как она зависит от расстояния между катушками?

3.Через какие единицы выражается единица измерения индуктивности?

69

B = µµ0 NI l

4.Как следует расположить две круглые плоские катушки, чтобы их взаимная индуктивность была: а) максимальна; б) минимальна (не разнося их на большое расстояние)?

5.Какие меры принимают для ослабления нежелательных токов, наводимых через взаимную индуктивность?

4.3. Явление самоиндукции.

Ток при замыкании и размыкании цепи

Магнитный поток, создаваемый магнитным полем любого проводника, пропорционален силе тока в этом проводнике (как и магнитная индукция − см. формулы (3.9) и (3.10), (3.13)):

Фм I.

Коэффициент пропорциональности L =Фм / I называется ин-

дуктивностью проводника. Как и взаимная индуктивность, индуктивность измеряется в генри. Значение индуктивности зависит от геометрии проводников и наличия ферромагнитного материала. Для увеличения индуктивности проводник наматывают в виде катушки, индуктивность которой зависит от числа витков и магнитной проницаемости сердечника (если он помещен в катушку). В принципе, индуктивность можно определить для любой цепи или ее части.

Найдем индуктивность длинного соленоида. Поток через один виток равен Фi=BS, где − индукция магнитного

поля, созданного соленоидом (см. формулу (3.13)). Поток, пронизывающий все витки соленоида, равен Фм =NФi, тогда

L = N	Ф		N	2	S = µµ0n2V ,	(4.5)
	i	= µµ0
			l
	I

где n=N/l – число витков на единицу длины соленоида, V=Sl – объемсоленоида.

Явление возникновения ЭДС в проводнике с током при изменении собственного магнитного потока, создаваемого этим током, называется самоиндукцией. Возникающую при этом ЭДС называют ЭДС самоиндукции:

	E S = −	d	(LI ).	(4.6)
		dt

ЭДС самоиндукции возникает как при изменении тока, так и при изменении индуктивности. Если индуктивность не зависит от

70