753

Напряжение, как и ЭДС и разность потенциалов, измеряется в вольтах.

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из (2.6). Если на участке цепи отсутствуют источники ЭДС: E 1,2=0 , то напряжение

равно разности потенциалов на концах участка цепи. Если ток равен нулю (цепь разомкнута), то разность потенциалов на концах участка цепи равна ЭДС с обратным знаком.

Вопросы

1.В каких единицах в СИ измеряются сила тока, ЭДС, напряжение?

2.Почему электрическое поле неподвижных зарядов не может создать тока в замкнутой цепи?

3.Чем напряжение отличается от разности потенциалов? В каком случае эти величины одинаковы?

4.Если для существования тока в проводнике необходимо наличие поля, то будут ли разные точки проводника иметь одинаковый потенциал?

5.Во внешней цепи электроны движутся от отрицательного полюса к положительному. Внутри же гальванического элемента электроны движутся к отрицательному электроду. Как это объяснить?

6.Электродвижущая сила – это силовая характеристика источника тока или энергетическая?

7.Как можно просто измерить ЭДС элемента, имея прибор для измерения разности потенциалов (вольтметр)? Какие требования предъявляются в этом случае к вольтметру?

2.2.Закон Ома. Сопротивление. Последовательное и параллельное соединение проводников

Немецкий физик Георг Симон Ом (1787-1854) эксперимен-

тально доказал, что сила электрического тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению на участке цепи 1-2 и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка:

	I =	U1,2	,	(2.7)
		R
	1,2

где U1,2 определяется из формулы (2.6).

Это утверждение называют законом Ома. Обнаруженная Омом закономерность, строго говоря, состоит в утверждении, что

41

сила тока в металлическом проводнике пропорциональна напряжению. Это утверждение в общем случае несправедливо применительно к таким веществам, как газы, электролиты, полупроводники и т. п. Закон Ома поэтому не относится к таким фундаментальным законам природы, как законы Ньютона, начала термодинамики или закон Кулона. Он лишь характеризует определенные материалы - металлические и подобные им проводники.

Закон Ома для однородного участка цепи. Если участок цепи не содержит ЭДС, выражение для закона Ома упрощается:

I =	ϕ1 −ϕ2	.	(2.8)
	R

Сопротивление проводника - физическая величина, характеризующая электрические свойства проводника. Сопротивление проводника может быть определено экспериментально с помо-

щью закона Ома через значения тока и напряжения: R = ∆Iϕ . Со-

противление измеряют в омах. 1Ом =1В/А. Сопротивление однородного проводника цилиндрической формы:

	R = ρ	l	,	(2.9)
		S

где l − длина, S − площадь поперечного сечения проводника,

ρ − удельное сопротивление проводника (сопротивление одно-

родного цилиндрического проводника, изготовленного из данного материала, имеющего единичную длину и единичную площадь поперечного сечения). Удельное сопротивление зависит от рода вещества, а также от внешних условий, например, температуры.

Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между векторами плотности тока j и напряженности

	dS	j	поля в среде E . В изотропной среде упорядо-
		E	ченное движение носителей происходит в на-
	dL		правлении вектора E , поэтому направления
			векторов j и E совпадают. Мысленно выделим
Рис. 2.1. К выводу
связи между		rj иE	в окрестности некоторой точки элементарный

цилиндрическийr объем с образующими, параллельными вектору j (рис 2.1). Через поперечное сечение цилиндра течет ток jdS, напряжение на концах цилиндра EdL, сопротивление цилиндра ρdL/S. Подставив эти значения в формулу

42

	(2.7), получим: jdS =	EdL	или j =	1	E =σE . Здесь σ =1/ρ -
		ρdL / dS		ρ

электропроводность среды. Учитывая направления векторов, можно записать

	j =σE			(2.10)
Последовательное соединение проводников (рис. 2.2). При
таком соединении сила тока в ка-			I
ждом из проводников одна и та же
I = I1 = I2 K= I ;	разность потенциа-	∆ϕ	∆ϕ2	∆ϕ3
		1
лов на концах	цепи равна сумме	Рис. 2.2.	Последовательное

разностей

потенциалов на каждом

соединение проводников

из проводников:

∆ϕ = ∆ϕ1 + ∆ϕ2 +K+ ∆ϕn . Применяя

закон Ома

(2.8), получаем:

IR = ∆ϕ = ∆ϕ1 + ∆ϕ2 +K+ ∆ϕn = IR1 + IR2 +...+ IRn ,

откуда следует, что

R = R1 + R2 +K+ Rn .

(2.11)

При параллельном соединении проводников (рис. 2.3) ток че-

рез эту цепь равен сумме токов, проте-

I

I3

кающих

по

каждому проводнику в от-

I1

I2

∆ϕ

дельности:

I = I1 + I2 +K+ In ,

а разность

потенциалов на каждом проводнике одна

Рис. 2.3. Параллельное

и та же:

∆ϕ = ∆ϕ1 = ∆ϕ2 =K. Выражая об-

соединение проводников

щий ток и токи в проводниках из закона

Ома,

получаем:

∆ϕ

= ∆ϕ1 +

∆ϕ2

+K+ ∆ϕn . Учитывая

равенство

R

R

R

R

1

2

n

разностей потенциалов, имеем:

1

1

1

1

=

+

+K+

.

(2.12)

R

R

R

R

1

2

n

Закон Ома для неоднородного участка цепи (участка, содер-

жащего ЭДС) получим, если в формулу (2.7) подставим выражение для напряжения (2.6)

IR1,2 = (ϕ1 −ϕ2 )+E1,2

(2.13)

Знаки входящих в это выражение величин определяются следующим правилом. Ток считается положительным, если протекает от точки с потенциалом ϕ1 к точке с потенциалом ϕ2. ЭДС принимается положительной, если поддерживает ток в том же

43

направлении. На рис. 2.4, где показана часть цепи, по которой протекает ток, источник ЭДС изображается символом − l−, при-

E1	r2	E	2	R	чем вывод, имеющий по-
r1					ложительный	потенциал,
ϕ	I			ϕ2
1					изображается	более тон-
Рис. 2.4. Применение закона Ома					кой линией. Источник E1
для неоднородного участка цепи					поддерживает	ток в на-

правлении от точки с потенциалом ϕ1 к точке с потенциалом ϕ2, поэтому ЭДС E1 берется со знаком (+). Источник E2 включен в

обратном направлении, поэтому ЭДС E2 берется со знаком (-). Проиллюстрируем применение закона Ома для участка цепи,

содержащего ЭДС, на примере схемы рис. 2.4.

Дано: R=3 Ом, r1=1 Ом, r2=2 Ом , E1=1,5 В, E1=4,5 В, ϕ1 - ϕ2 =

−3В. Необходимо определить ток I.

Произвольно выбираем направление тока от точки с потенциалом ϕ1 к точке с потенциалом ϕ2. Подставляем данные нам значения в формулу (2.13), учитывая, что полное сопротивление участка равно сумме последовательно соединенных сопротивлений:

I (1+ 2 +3 )Ом = −3B +1,5B −4,5B .

Из этого уравнения находим величину тока: I = −1 A. Полученный нами знак минус, означает, что на самом деле ток направлен противоположно выбранному нами направлению.

Закон Ома для замкнутой цепи. На	–	+
рис. 2.5 приведена схема простой замк-	r
нутой цепи, содержащей источник тока с	E

ЭДС E с внутренним сопротивлением r
		R
(на схеме источник изображен участком	Рис. 2.5. Простая
цепи между двумя зажимами), нагру-	замкнутая цепь
женный на внешнее сопротивление R.

Данную цепь можно рассматривать как некий вариант цепи, изображенной на рис. 2.4, у которой концы соединены в одной точке. Разность потенциалов, соединенных в одной точке проводников будет равна нулю, и из формулы (2.13) следует:

IR + Ir =E .

(2.14)

44

Поскольку в левой части выражения (2.13) стоит напряжение, полученный результат можно сформулировать следующим обра-

зом: ЭДС, действующая в замкнутой проводящей цепи, равна

сумме напряжений во внешней части цепи и внутри источника тока.

Вопросы

1.Что такое сопротивление проводника и в каких единицах оно измеряется?

2.Могут ли медный и алюминиевый провода одной длины иметь одинаковое сопротивление? Объясните.

3.В чем особенности применения закона Ома для однородного

инеоднородного участков цепи?

4.Как определяется общее сопротивление при последовательном и параллельном соединении нескольких проводников?

5.Имеется набор проводников различных сопротивлений. Как соотносится сопротивление, получаемое при их параллельном соединении, с наибольшим (наименьшим) сопротивлением из набора?

6.Замкнутая цепь содержит несколько источников тока. В чем особенность применения закона Ома в форме (2.14) для этого случая?

7.Пользуясь законом Ома, определите, как зависит разность потенциалов на внешнем участке цепи (рис. 2.5) от величины его сопротивления R.

2.3. Работа и мощность тока. КПД источника

Перенос заряда сопровождается совершением работы электростатическими и сторонними силами. Из определения напряжения (2.6) следует, что эта работа, которую называют работой тока, равна:

A = qU = IUt .

(2.15)

Мощность постоянного тока численно равна работе, совершаемой в единицу времени. Мощность, развиваемая током на некотором участке 1-2, равна:

	P12 =	A12	= IU12 = I (ϕ1 −ϕ2 )+ IE 12 .	(2.16)
		t

Эта мощность может расходоваться на совершение работы над внешними телами (при механическом перемещении проводника),

45

на протекание химических реакций, на нагревание данного участка цепи. Формула (2.16) так же, как и закон Ома (2.1), может применяться и к однородному участку цепи и к замкнутой цепи. В частности, мощность, выделяемая на участке цепи, не содержащей ЭДС, определится как

P	= I (∆ϕ)	= I 2 R =	U 2	.	(2.17)
12	12		R

В случае, когда проводник неподвижен и в нем не совершается химических реакций, работа тока (2.15) затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, то есть на его нагрев. Количество теплоты, выделяемое током в проводнике, определя-

ется законом Джоуля-Ленца:

Q = IUt = I 2Rt .

(2.18)

Если сила тока изменяется со временем, то выделяющееся за время t количество теплоты определяется по формуле:

t
Q = ∫I 2Rdt .	(2.19)
0

С точки зрения практики важен вопрос об использовании энергии источника тока. Рассмотрим замкнутую цепь (рис. 2.5). Используя формулы (2.17) и (2.14), найдем мощность, выделяе-

	мую во внешней цепи (на сопротивлении R):	P = I 2 R =	E 2 R	.
			(R + r)2
		12

Для того чтобы найти сопротивление R, при котором во внешней цепи выделяется максимальная мощность, найдем производную

dP12/dR и приравняем ее нулю:		dP	=E	2	r2 − R2	= 0	. При положи-
		12
		dR			(R + r)4
тельных R и r это возможно при
	R = r.						(2.20)

Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наи-

большего значения, если сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника. При этом ток в цепи Im=

E /2r, а максимальное значение мощности равно

Pmax = Im2 r =E 2 4r .

Важно знать также коэффициент полезного действия источника. Ток, протекающий внутри источника, приводит к бесполезному нагреву источника. Внутри источника выделяется мощность

46

Pi=I2r. Коэффициент полезного действия (КПД) определится как отношение мощности, выделяемой во внешней цепи, к пол-

ной мощности:	η =	P	=	I 2 R	=	R
		P + P		I 2 (R + r)		R + r .
		12
		i 12

Высокий КПД возможен только при больших R (R>>r). В режиме максимальной мощности, выделяемой во внешней цепи, (R=r) КПД равен ½.

Можно найти выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Мысленно выделим в окрестности некоторой точки проводника элементарный цилиндрический объем (рис. 2.1). Согласно закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделится количество теплоты:

dQ = RI 2dt = ρ dSdl ( jdS )2 dt = ρ j2dVdt , где dV=dSdl – объем выде-

ленного цилиндра. Отсюда найдем количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени:

P =

dQ

= ρ j2 .

(2.21)

уд dVdt

Эта величина называется удельной тепловой мощностью тока.

Вопросы

1.На что расходуется работа, совершаемая при перемещении зарядов в проводнике?

2.Используя выражение (2.16), найдите мощность, выделяемую в замкнутой цепи. В каких частях простой цепи (рис. 2.5) выделяется эта мощность? Определите мощность во внешнем и внутреннем участках цепи и сопоставьте полученные выражения с выражением для мощности во всей замкнутой цепи.

3.Из формулы (2.17) мощность можно выразить как I2R, так и U2/R. Так как же мощность зависит от R? Нет ли здесь противоречия?

4.В какой из двух ламп мощностью 100 Вт и 75 Вт протекает больший ток?

5.Если две лампы мощностью 100 Вт и 75 Вт соединить последовательно, то в какой будет выделяться большая мощность?

47

				2.4. Правила Кирхгофа
Применяя закон Ома, можно рассчитать силу тока в относи-
тельно простых цепях. Для анализа сложных цепей пользуются
правилами Кирхгофа. Немецкий физик Густав Кирхгоф (1824-
1887) сформулировал их в середине позапрошлого века. В слож-
ных разветвленных цепях выделяют узлы - точки, в которых схо-
дится не менее трех проводников (точки А, B на схеме рис. 2.6) и
		C		ветви - участки цепи между двумя сосед-
I1	E1		R1	ними узлами. Во всей ветви ток один и
A I2			B	тот же. На рис. 2.6 ветвь ACB содержит
	E2	D	R2	источник тока с ЭДС		E1 и резистор R1.
I3
			R3	Ток, протекающий по этой ветви, I1. Если
Рис. 2.6. Применение				направления токов в ветвях неизвестны,
правил Кирхгофа				их выбирают произвольно.
				Первое правило (правило узлов) отра-
жает сохранение заряда. Весь входящий в узел заряд должен вы-
ходить из него. Заряды не должны накапливаться в узловой точ-
ке, поскольку потенциал ее со временем не меняется. Правило
утверждает, что для любого узла цепи сумма токов, втекающих в
узел, должна быть равна сумме токов, вытекающих из узла, или:
алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
					∑Ii = 0 .
					i
Считая токи, входящие в узел, положительными, а выходящие
отрицательными, получаем для узла А следующее уравнение:
				I1 + I2 − I3 = 0 .
Уравнения, составляемые для каждого следующего узла, бу-
дут независимыми, если в узел входит хотя бы один новый ток. В
узел В на рис. 2.6 входят те же токи, что и в узел А, поэтому для
этой цепи на основании первого правила Кирхгофа можно составить
толькооднонезависимое уравнение.
Второе правило (правило					контуров): в любом выделенном в
разветвленной цепи замкнутом контуре алгебраическая сумма
произведений токов на сопротивление равна алгебраической
сумме ЭДС:				∑Ii Rk = ∑E i .
				ik	i
Для составления уравнений по второму правилу Кирхгофа в
разветвленной цепи необходимо выбрать замкнутый контур, на-

48

пример, контур ACBD на рис. 2.6, и произвольно направление его обхода, например, против часовой стрелки. Если направление обхода контура совпадает с направлением тока в ветви, то соответствующее произведение Ii Rk включаем со знаком плюс, в про-

тивном случае − со знаком минус. Если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС (направление ЭДС совпадает с направлением тока, который этот источник поддерживает во внешней

цепи, на рис. 2.6 показано стрелкой у E1 ), эта ЭДС считается положительнойинаоборот.

Для выбранного направления обхода контура ADBC получаем

следующее уравнение: I1R1 − I2 R2 =E 1 - E 2 .

Каждый следующий контур выбираем так, чтобы в него входила хотя бы одна новая ветвь. Для цепи (рис. 3.15) можно выбрать еще только один контур, включающий нижнюю ветвь.

Задача может быть решена, если число составленных на основании правил Кирхгофа уравнений не меньше, чем число неизвестных. Если в результате решения будет получено отрицательное значение для какого-либо тока, это означает, что в действительности ток имеет направление, противоположное выбранному.

Вопросы

1.Дайте определения узла и ветви для разветвленной цепи.

2.Объясните, почему первое правило Кирхгофа (правило узлов) эквивалентно закону сохранения электрического заряда.

3.Объясните, почему второе правило Кирхгофа (правило контуров) является следствием закона сохранения энергии. На что расходуется работа, совершаемая при перемещении зарядов в проводнике?

4.Как используется правило знаков при составлении уравнений по первому и второму правилам Кирхгофа? Зависит ли знак, с которым ЭДС источника войдет в уравнение при применении второго правила Кирхгофа, от направления тока через источник?

Заключение

Электростатическое поле не может поддерживать ток в замкнутой цепи. Для этого необходимы сторонние силы, которые характеризуются ЭДС, определяемой как циркуляция напряженно-

49

сти поля сторонних сил: ∫El*dl =E . Для металлических проводни-

L

ков справедлив закон Ома: I =U1,2 R1,2 .

За счет энергии тока может совершаться механическая работа, могут протекать химические реакции. Если же проводник неподвижен и реакций не происходит, работа тока расходуется на нагрев проводника. В соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяемая теплота пропорциональна квадрату силы тока: Q = I 2Rt .

2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

История магнетизма уходит корнями в глубокую древность, к античным цивилизациям Малой Азии. Именно на территории Малой Азии, в Магнезии, находили горную породу, образцы которой притягивали друг друга. По названию местности такие образцы и стали называть «магнитами». До 1820 г. учения об электричестве и магнетизме развивались раздельно. И если к этому моменту электричество действительно было наукой: изучено взаимодействие неподвижных зарядов, созданы конденсаторы – лейденские банки, определен электрический характер молнии, созданы источники тока и обнаружено его тепловое действие, то магнетизм фактически наукой не был. Природа магнетизманебылавыяснена, иэтимширокопользовалисьвсякогородашар-

латаны.

Сегодня нам совершенно ясно, что между магнетизмом и электричеством существует тесная связь, впервые ее обнаружили в позапрошлом веке.

3.1.Опыт Эрстеда. Магнитное взаимодействие токов

В1820 г. Эрстед обнаружил действие проводника с током на магнитную стрелку, ориентирующее стрелку в определенном направлении. Магнитная стрелка, как известно, отклоняется магнитным полем. Таким образом, Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнитное поле, и установил существование связи между электричеством и магнетизмом.

50