753

ют утечке зарядов с объекта и предотвращают удар молнии. Если же наведенный грозовой тучей заряд не успевает покинуть проводник, разряд молнии, как правило, происходит через молниеотвод, в области которого наиболее высока напряженность электрического поля.

Вопросы

1.Почему напряженность электростатического поля внутри проводника равна нулю? От чего зависит его потенциал? Может ли он быть равным нулю?

2.Можно ли, считая Землю проводником, принимать ее потенциал равным нулю?

3.Как ориентированы линии напряженности поля вблизи поверхности проводника?

4.У какой части заряженного проводника конической формы напряженность поля будет выше?

5.Предположим, что поле внешних зарядов изображалось параллельными линиями. Как изменится форма силовых линий после внесения в это поле незаряженного проводника?

1.9.Электроемкость. Энергия электрического поля

Сувеличением заряда уединенного проводника увеличивается

иего потенциал (см., например, формулу (1.23)). Электроемкость проводника - величина, численно равная величине заряда

q, вызвавшей повышение его потенциала ϕ на единицу: C = ϕq .

Отсюда q = Cϕ . Чем больше электроемкость проводника, тем больший заряд ему можно передать при заданном увеличении потенциала. В СИ электроемкость измеряется в фарадах. 1Ф=1Кл/В. Один фарад – очень большая величина. На практике используют доли этой величины: 1мкФ = 10-6Ф, 1пФ = 10-12Ф.

Конденсатор - система, состоящая из двух разделенных ди-

электриком проводников (обкла-

+

+

+ + +

+ +

+

+

+ +

ε

d

док), на которых могут накапли-

ваться заряды

противоположных

- -

-

- - -

- -

-

-

- -

Рис. 1.24. Плоский

знаков (рис. 1.24). Электроемкость

конденсатор

конденсатора

определяется по

формуле C =

q

,

∆ϕ

31

где ∆ϕ – разность потенциалов между обкладками. Электроемкость зависит от его формы, размеров и от свойств

среды, находящейся между обкладками. Пусть емкость конденсатора, между обкладками которого вакуум (или, что почти то же самое, воздух), равна С0. Пусть С – емкость того же конденсатора, если пространство между обкладками заполнено однородным изолятором. Отношение

С/С0 = ε

(1.28)

называют относительной диэлектрической проницаемо-

стью изолятора (диэлектрика). Диэлектрическая проницаемость зависит от рода вещества и его состояния (температуры, давления и т.п.).

Конденсаторы могут накапливать значительный заряд и сохранять его достаточно длительное время. Новейшие, специально разработанные конденсаторы обладают энергией, достаточной для запуска двигателя автомобиля. Конденсаторы малой емкости широко применяются в электронике.

Электроемкость плоского конденсатора может быть найде-

на с помощью выражений (1.18) и (1.27), если учесть, что напряженность поля внутри конденсатора создается двумя разноименно заряженными пластинами с одинаковой поверхностной плот-

ностью заряда и поэтому равна:	E =	σ .	Тогда разность потен-
		ε
		0

циалов: ϕ2 −ϕ1 = σ d , где d - расстояние между пластинами. Заряд

ε0

на пластинах: q = σS , где S - площадь пластин. Подставив заряд и разность потенциалов в (1.27), получим: C = εd0S . Если про-

странство между обкладками заполнено диэлектриком, формула для емкости плоского конденсатора будет иметь вид:

C =	εε0S	.	(1.29)
	d

Электроемкость сферического конденсатора, обкладки ко-

торого образованы вставленными одна в другую проводящими сферами разного радиуса, может быть найдена с помощью вы-

ражений (1.22), (1.27) и (1.28):

32

C =	4πεε0		(1.30)
	1 r −1 r
	1	2

Если радиус внешней сферы гораздо больше, чем внутренней, формула (1.30) упрощается: C = 4πεε0 r1 . Этот результат справед-

лив и в том случае, если внешняя обкладка имеет не сферическую, а какую угодно форму, при условии, что ее размеры много больше радиуса внутренней сферы. В этом случае можно говорить о емкости уединенного шара, имеющего радиус r1. Расчет по

этой формуле дает величину электроемкости земного шара, равную

7 10-4Ф.

Если, наоборот, величина зазора между обкладками r2 - r1 = d многоменьшерадиусовсфер, то(1.30) можнопредставитьввиде:

C = 4πεε		r1r2		≈ 4πεε		r2	=εε		S	, где S = 4πr2	- площадь поверх-
						d		0 d
	0 r		−r		0
	2		1

ности обкладок. Мы видим, что при малой величине зазора емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают.

Аналогичным образом можно найти и электроемкость ци-

линдрического конденсатора:

C =	2πεε l		,	(1.31)
		0
	ln (r	r )
2		1

где l – длина цилиндрических обкладок. Если разность радиусов обкладок r2 - r1 = d мала, то формула (1.31) переходит в фор-

мулу (1.29).

Соединение конденсаторов. Параллельное соединение конденсаторов показано на рис. 1.25а. (На принципиальных схемах конденсатор обозначается символом — —).

			q		q		q
		∆ϕ	∆ϕ	1	∆ϕ	2	∆ϕ3
q1	q2	q3			∆ϕобщ

а б

Рис. 1.25. Параллельное (а) и последовательное (б) соединения конденсаторов

Общий заряд системы qобщ = q1 + q2 +... + qn , а разность потенциалов на всех конденсаторах одинакова (все обкладки соединены между собой проводником), ее же можно считать разностью

33

потенциалов общей емкости: ∆ϕобщ = ∆ϕ1 = ∆ϕ2 = ... .	Применяя
формулу (1.27), получаем:
Cобщ = C1 + C1 +L + Cn .	(1.32)

При последовательном соединении (рис. 1.25б) подача зарядов на крайние обкладки приводит к тому, что в результате электростатической индукции происходит разделение зарядов на внутренних проводниках системы, и все обкладки приобретают одинаковый по модулю заряд, то есть qобщ = q1 = q2 =... = q . Разность же потенциалов между крайними обкладками равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого конденсатора: ∆ϕобщ = ∆ϕ1 + ∆ϕ2 +... . Это нетрудно понять, если вспомнить, что разность потенциалов измеряется работой по переносу единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Применяя формулу (1.27), получаем:

		1	=	1	+	1		+L+	1		(1.33)
	C	общ		C		C	2		C	n
				1

Вопросы

1.Дайте определение электроемкости. Поясните это понятие по аналогии с емкостью сосуда для хранения жидкости.

2.В каком случае получается большая электроемкость – у одного проводника или у системы из двух проводников? Поясните на примере сферического конденсатора.

3.Предложите простой способ измерения относительной диэлектрической проницаемости с помощью конденсатора.

4.Какими способами можно увеличивать электроемкость конденсаторов, не увеличивая их размеров?

5.Объясните, почему при параллельном соединении разность потенциалов между обкладками у всех конденсаторов одна и та же.

6.Объясните, почему при последовательном соединении обкладки внутренних конденсаторов приобретают такой же заряд, как

иобкладки внешних.

7.Имеется набор конденсаторов различной емкости. Как соотносится емкость, получаемая при их параллельном соединении, с наибольшей (наименьшей) емкостью из набора?

8.Как соотносится емкость, получаемая при последовательном соединении нескольких конденсаторов, с наибольшей (наименьшей) емкостью из набора?

34

1.10. Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия системы зарядов. Уединенный за-

ряд не обладает энергией. Для того чтобы система могла совершать работу, необходимо, чтобы она содержала, как минимум, два заряда. Из формул (1.9) и (1.12) следует, что энергия одного точечного заряда (q2) в поле другого точечного заряда (q1) может

быть найдена из выражения W =ϕ1q2 = 4πε1 0 qr1 q2 . Фактически это

взаимная энергия, то есть энергия системы двух зарядов, поэтому формулу, определяющую эту энергию, логично переписать в сле-

дующем виде: W =ϕ1q2 =ϕ2q1 = 12 (ϕ1q2 +ϕ2q1 ). Здесь ϕ1 – потенциал в

той точке поле, где находится заряд q2 и наоборот. Для большего удобства в последней формуле изменим индексацию. Обозначим через ϕ2 потенциал поля, созданного зарядом q1, в той точке поля, где находится заряд q2, и наоборот, через ϕ1 – потенциал поля, созданного зарядом q2 в той точке поля, где находится заряд q1. Тогда формула для взаимной энергии двух зарядов примет вид:

W == 12 (ϕ1q1 +ϕ2q2 ). Можно показать, что аналогичная формула

имеет место для энергии любого числа N взаимодействующих зарядов:

		1	N
	W ==		∑ϕi qi	(1.34)
		2 i=1

Здесь ϕi – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме qi, в той точке, где находится заряд qi.

Энергия заряженного проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как совокупность точечных зарядов qi. Применим формулу (1.34) к данной системе, учитывая, что поверхность проводника является эквипотенциальной и потенциалы тех точек, где находятся заряды qi, одинаковы и рав-

		1	N	1
	ны потенциалу проводника ϕ. Получим: W =		ϕ∑qi =		ϕq . Учи-
		2		2
			i=1

тывая, что электроемкость проводника C=q/ϕ, можем записать:

	W =	ϕq	=	q2	=	Cϕ2	.	(1.35)
		2		2C		2

Энергия заряженного конденсатора. В заряженном конден-

саторе накоплена электрическая энергия, которую можно опреде-

35

лить как работу, совершаемую при зарядке конденсатора. Процесс зарядки конденсатора состоит, по сути, в том, что заряд с одной пластины переносится на другую. Сначала, когда конденсатор не заряжен, для переноса первой порции заряда не требуется работы. Но, когда на каждой из пластин уже имеется заряд, для пополнения его приходится совершать работу против сил электрического отталкивания. Чем больше накопленный пластинами заряд, тем большую работу необходимо совершить для его увеличения. Если на пластинах существует разность потенциалов, работа по переносу элемента заряда dq равна dА=∆ϕdq. Поскольку ∆ϕ=q/C (см. (1.27)), энергия конденсатора определится как

	q	1	q	q2	(1.36)
	W = ∫dA =∫∆ϕdq =		∫qdq =
		C		2C
	0		0

С учетом формулы (1.27) можно получить эквивалентные выражения для энергии:

W =	∆ϕq	=	C (∆ϕ)2	(1.37)
	2
		2

Энергия и плотность энергии электрического поля. Энер-

гию заряженного конденсатора можно выразить через напряженность электрического поля. Сделаем это для плоского конденсатора. Ранее мы показали, что в таком конденсаторе напряженность электрического поля Е связана с разностью потенциалов

соотношением ϕ2 −ϕ1 = σ d = Ed , где d - расстояние между пла-

ε0

стинами. Кроме того, согласно (1.29), емкость плоского конденсатора равна

	С = εε0S/d.		C (∆ϕ)2
	Тогда	W =		=	1	εε0S	E2d 2	=	εε0 E2	V ,	(1.38)
			2		2
						d			2

где V= Sd – объем, занимаемый электрическим полем Е. Полученная формула связывает энергию конденсатора с на-

пряженностью поля, а формула (1.36) – с зарядом на его обкладках. Что же является носителем энергии – заряды или поле? В рамках электростатики ответить на этот вопрос невозможно, поскольку электростатическое поле неразрывно связано с зарядом. Как мы увидим позже, переменные поля могут существовать независимо от породивших их зарядов. Логично поэтому связывать энергию с полем.

36

Разделив обе части формулы (1.38) на объем, получим выражение для энергии, запасенной в единице объема, или плотно-

сти энергии:

	w =	εε0 E2	(1.39)
		2

Плотность энергии электрического поля, запасенной в любой части пространства, пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в этой области. Выражение

(1.39) получено для частного случая плоского конденсатора. Можно показать, однако, что оно справедливо для любой области пространства, в которой существует электрическое поле.

Вопросы

1.Энергию системы двух зарядов можно определить, считая, что один заряд создает поле, в котором находится второй заряд. Есть ли разница, какой из зарядов считать создающим поле и как определить общую энергию взаимодействующих зарядов?

2.Из трех одинаковых конденсаторов собирают батарею. При каком соединении конденсаторов: параллельном или последова-

тельном − батарея будет аккумулировать больше энергии, если она заряжается до одинаковой разности потенциалов?

3.Если у заряженного плоского конденсатора раздвинуть пластины, то как при этом изменится энергия конденсатора и почему? Считать, что заряд пластин остается неизменным.

4.Если к заряженному конденсатору параллельно присоединить такой же незаряженный, то как изменится общая энергия системы двух конденсаторов?

5.Почему энергию заряженных проводников лучше связывать с полем?

6.Что такое плотность энергии электрического поля и от чего она зависит?

Заключение

В электростатическом поле работа по перемещению заряда по замкнутому пути равна нулю, следовательно, равна нулю и цир-

куляция вектора напряженности: ∫El dl = 0 . Электростатическое

L

поле потенциально, поэтому каждую точку поля, кроме напряженности, можно характеризовать и потенциалом. Связь между

37

этими величинами следующая: E = −grad ϕ . Для электростатиче-

	ского	поля		справедлива теорема Остроградского-Гаусса:
		1	N
	∫EndS =		∑qi .	В соответствии с законом Кулона напряженность
		ε0
	S		i=1

поля точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Электрическое поле обладает энергией, объем-

ная плотность которой определяется выражением: w = εε02E2 . Это

выражение справедливо для любого электрического поля, а не только для электростатического.

2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

До 1800 г. разделение электрических зарядов производилось с помощью трения. Были построены машины, позволяющие достигать таким способом довольно высоких потенциалов. С помощью этих машин удавалось получать сильные разряды, но практического значения они не имели. Только в XVIII в. стала ясной электрическая природа таких природных явлений, как молнии или огни св. Эльма. Наконец, в 1800 г. произошло событие огромного практического значения. Алессандро Вольта (1745-1827) изобрел электрическую батарею и впервые получил с ее помощью постоянный электрический ток. Это открытие знаменовало начало новой эпохи, полностью преобразившей нашу цивилизацию: вся современная электротехника основана на использовании электрического тока.

2.1. Электрический ток. Сила тока. Электродвижущая сила

Электрический ток - это упорядоченное движение электрических зарядов. Для существования тока необходимо наличие в данной среде (теле) носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться в пределах всего тела. В металлах носителями тока являются электроны, в электролитах - ионы, в газах - ионы и электроны. Ток возникает при условии, что внутри тела существует электрическое поле.

38

Силойтоканазывается физическая величина, равная отношениюзаряда, переносимому черезпоперечное сечениепроводниказа некоторый промежуток временикдлительностиэтогопромежутка:

I =	q	.	(2.1а)
	t

Если ток не является постоянным, силу тока определяют следующим образом:

	I =	dq	(2.1б)
		dt

За положительное направление тока принимают направление движения положительных зарядов. Силу тока в СИ изме-

ряют в амперах. Один ампер - это основная единица в СИ, она определяется по силе магнитного взаимодействия токов. За еди-

ницу принимают силу такого неизменного тока, который, протекая по двум параллельным проводникам ничтожно малого кругового сечения, находящимся на расстоянии 1 м друг относительно друга в вакууме, вызывает взаимодействие между ними с силой 2 10-7 Н на каждый метр длины. Через единицу силы тока определяются другие электрические единицы, например

1 Кл = 1А с.

Электрический ток может быть распределен по сечению проводника неравномерно. Плотность тока в любой точке сечения проводника определяется как отношение силы тока dI через расположенную в окрестности этой точки перпендикулярно направлению тока площадку к величине этой площадки:

	j =	dI	(2.2)
		dS

Вектор плотности тока совпадает с направлением движения положительных носителей.

Для поддержания тока в замкнутой цепи необходимо наличие сил неэлектростатической природы (сторонних сил), способных совершать работу по переносу заряда в замкнутой цепи. Известно, что электрическое поле неподвижных зарядов не может заставить заряд перемещаться по замкнутому пути (см. раздел 1.5). Сторонние силы действуют обычно лишь на части замкнутой цепи − в источнике тока. Происхождение этих сил в разных источниках различно. В гальванических элементах и аккумуляторах эти силы имеют химическую природу, в фотоэлементах разделение зарядов происходит в результате действия света на полупро-

39

водник, в генераторах − за счет движения проводников в магнитном поле. Чем больший заряд перемещается по проводнику, тем большая работа совершается.

Электродвижущая сила (ЭДС) источника − физическая величина, численно равная работе, которую совершают сторонние силы при перемещении единого положительного заряда по замкнутому контуру:

E =	A*	.	(2.3)
	q

Стороннюю силуr rF*, действующую на заряд q, можно представить в виде F* = E * q . Векторную величину E* называют напряженностью поля сторонних сил. Работа сторонних сил по перемещению заряда q на участке цепи 1-2 равна

2 r	r	2 r	r	. Разделив эту работу на заряд, получим выра-
A12* = ∫F	*dl	= q∫E*dl
1		1
жение для ЭДС, действующей на участке 1-2:
				2 r	r	(2.4)
				E 12=∫E*dl .
				1

Аналогичный интеграл, вычисленный по замкнутому контуру,

даст ЭДС, действующую в этой замкнутой цепи:
E = ∫E*dl .	(2.5)

Таким образом, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил.

При движении заряда по проводнику на него могут действовать как силы электростатического происхождения FE, так и сторонние силы. Результирующая сила, действующая на заряд, равна Fr = FrE + Fr* = q (ErE + Er* ). Полная работа по перемещению единич-

ного положительного заряда на участке 1-2 под действием этой

силы:	2	r	r	2	r	r	= q(ϕ1 −ϕ2 )+ qE 12
	A12 = q∫EE dl			+ q∫E*dl
	1			1

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением U на данном

участке цепи:
U1,2 = (ϕ1 −ϕ2 )+E 1,2 .	(2.6)

40