753

Q

A1

A2

Рис. 1.13. Уединенный точечный заряд, окруженный сферической поверхностью А1 и поверхностью формы А2

1.6. Теорема Остроградского-Гаусса

Введем понятие потока вектора напряженности. Рассмотрим произвольную поверхность S в электрическом поле (рис. 1.12). Выберем на

ней элемент dS бесконечно малой площади. Ввиду ее малости
площадку dS можно считать плоской, а					Er	nr
поле в ее пределах однородным, то есть						α
одинаковым		по величине	и направле-		dS
нию. Элементарный поток вектора на-
						S
пряженности сквозь площадку dS по
определению		равен скалярному		произ-	Рис. 1.12. К определению
ведению: r r
			dS ,	где	понятия потока вектора
r	dФ = EdS	= EdS cosα = E
	r е	n	поверхности		напряженности
dS	= ndS - вектор элемента
(nr	- единичный вектор нормали к пло-
щадке dS), Еn - проекция вектора E на направление нормали.
	Полный поток вектора напряженности через поверхность
площадью S определится через интеграл
		Фе = ∫EdS = ∫EndS .				(1.15)
			S	S

Заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых ситуаций, которые мы рассмотрим ниже.

Если графически изображать поле так, что напряженность будет численно равной числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку в перпендикулярном к ее поверхности направлении, то поток вектора напряженности через любую площадку можно представить как число силовых линий,

пронизывающих эту площадку.

Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает точное соот-

ношение между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным зарядом, находящимся внутри этой поверхности:

21

		1	N
	Фе = ∫EndS =		∑qi .	(1.16)
		ε0
			i=1

Нетрудно показать справедливость этой теоремы для одного точечного заряда Q, если охватывающая его поверхность является сферой (А1 на рис.1.13), в центре которой находится этот заряд. Линии напряженности направлены по радиусам и в каждой точке сферы перпендикулярны ей, следовательно, Еn = Е. В точках на поверхности напряженность поля одинакова, поэтому величину Е можно вынести из-под знака интеграла в выражении (1.16). Подставив вместо Е напряженность поля точечного заряда из (1.3), а вместо полной площади – площадь сферы S=4πr2, полу-

чим, что Ф =	1	Q .
е	ε
	0		Если выбрать поверхность неправиль-
			ной формы, например поверхности А2 на
			рис. 1.13, то теорема будет справедлива и
			для этой поверхности, так как через эту
			поверхность проходит то же число сило-
			вых линий, что и через сферу A1, следова-
			тельно, поток через А2 равен потоку через
			А1. Таким образом, формула (1.16) спра-
Рис.1.14. К опреде-			ведлива для любой замкнутой поверхно-
лению потока через			сти, окружающей точечный заряд, даже
складчатую поверх-			если эта поверхность имеет складки и не-
ность			которые силовые линии пересекают ее не

один а, скажем, три раза (рис. 1.14). В таком случае каждая из площадок dS', dS",dS'" внесет в общий поток одинаковый по абсолютной величине вклад, но вклад площадки dS" будет отрицательным (отрицательным будет косинус угла между векторами E и n ), поэтому вклад этих площадок в общий поток будет таким же, как у одной площадки dS'.

Из сказанного ясно также, почему заряды, находящиеся вне замкнутой поверхности, не изменяют общего потока – их силовые линии будут пересекать замкнутую поверхность дважды и давать в одном случае отрицательный вклад в общий поток, во втором – положительный.

Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверхности находятся N точечных зарядов q1, q2, … qN. В силу принципа суперпо-

22

зиции полная напряженность электрического поля Е есть векторная суммаr напряженностейr , создаваемых каждым зарядом в отдельности: E = ∑Ei . Поэтому

i

r	r			r	r	r	r
Фe = ∫EdS		= ∫	∑Ei dS			= ∑∫EidS.
S		S	i			i S

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен

		r	r		1	N
	qi/ε0. Следовательно,	Фe = ∫EdS		=		∑qi .
					ε0
		S				i=1

Закон Кулона и теорема Остроградского-Гаусса отражают одно и то же свойство электрического поля – напряженность электрического поля неподвижного точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда.

Вопросы

1.Что такое поток вектора напряженности электрического поля? Как определить его для бесконечно малой площадки, для площадки конечных размеров? Как зависит его величина от ориентации площадки относительно линий напряженности?

2.Как определить поток вектора напряженности графически?

3.Если поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен нулю, означает ли это, что напряженность электрического поля равна нулю во всех точках поверхно-

сти? Справедливо ли обратное, если Е = 0 во всех точках поверхности, то поток через поверхность равен нулю?

4.Точечный заряд окружен сферической поверхностью ра-

диусом r. Изменится ли значение Фе, если сферу заменить кубом со стороной 2r ?

5.Что можно сказать о потоке напряженности электрического поля через замкнутую поверхность, окружающую электрический диполь?

6.Напряженность электрического поля Е равна нулю во всех точках замкнутой поверхности. Значит ли это, что внутри нет зарядов?

7.Если суммарный заряд внутри замкнутой поверхности равен нулю, то обязательно ли равна нулю напряженность электрического поля во всех точках поверхности?

23

Рис. 1.15. К расчету поля бесконечной однородно заряженной плоскости

1.7. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

красчету полей заряженных тел простой формы

Спомощью теоремы Остроградского-Гаусса удается легко найти напряженность поля в случаях, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом стремятся выбрать замкнутую поверхность, окружающую заряды так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна

по всей поверхности или, по крайней мере,

σ		на определенных ее участках.
		Рассмотрим бесконечную	плоскость
	S	Er (рис. 1.15), равномерно заряженную с по-
		верхностной плотностью заряда	σ =∆q ∆S .

Здесь ∆q - заряд, распределенный по площа-

ди ∆S. Вследствие симметрии линии напряженности имеют вид прямых линий, перпендикулярных заряженной плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоско-

сти и имеют площадь S. Так как силовые линии не пронизывают боковую поверхность цилиндра (они скользят вдоль поверхности), поток вектора напряженности через нее равен нулю. Полный поток, следовательно, равен потоку через два основания: Фе = 2ES . Внутри цилиндра находятся заряды, распределенные на

участке заряженной поверхности, вырезанной цилиндром. Площадь этого участка равна площади основания. Поэтому суммарный заряд внутри цилиндра равен: ∑q = σS . Используя теорему

(1.16), получаем выражение для напряженности поля бесконечной заряженной плоскости:

E =	σ	.	(1.17)
	2ε
	0

Напряженность поля не зависит от расстояния: силовые линии параллельны, их густота одинакова на любом расстоянии от заряженной поверхности. Это утверждение и формула (1.17) справедливы для бесконечной плоскости. Для реальных тел в виде плоскости конечных размеров эта формула справедлива только

24

вблизи поверхности, причем для точек, не лежащих вблизи ее края.

Зная связь между напряженностью и потенциалом, легко найти выражение для разности потенциалов двух точек в поле заря-

женной плоскости. Используя формулу (1.14) и то обстоятельство, что напряженность поля во всех точках имеет одинаковое значение, получим:

	ϕ2 −ϕ1 = E (r1 −r2 )=	σ		(r1 −r2 )	(1.18)
		2ε	0

Здесь r1 и r2 − кратчайшие расстояния точек до заряженной поверхности (вдоль силовой линии).

Однородно заряженный шар. Электрический заряд Q равно-

мерно распределен по объему непро-

водящего шара радиусом R (рис. 1.17).

А1

Объемная

плотность заряда

шара

3Q

, где

R

ρ = ∆q ∆V = 4πR3

r

∆V – малый объем, ∆q – заряд, рас-

А2

пределенный по этому объему. По-

скольку

заряд

распределен

внутри

шара равномерно, электрическое поле

также должно быть симметричным.

Рис. 1.17. Сплошной

Напряженность поля Е зависит только

шар с однородной объем-

от r и направлена вдоль радиуса на-

ной плотностью заряда

ружу (или внутрь, если заряд шара отрицателен). Выберем в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом r (r < R) (А2

на рис.1.17). Внутри этой сферы находится заряд q = ρV2 = 43 ρπr3 .

Теорема Остроградского-Гаусса для этой поверхности запишется следующим образом:

	r	r	= E (4πr2 )=	4
	∫EdS					ρπr3
				3ε	0
	S

Мы учли, что на одинаковом расстоянии от центра шара напряженность поля по модулю одинакова и по направлению совпадает с нормалью к сфере в каждой ее поверхности. Из последнего выражения, заменив ρ через его значение, получаем, что внутри шара напряженность поля зависит от расстояния до центра сферы следующим образом:

25

E =	1		Q	r .	(r < R)	(1.19)
	4πε0 R3

Внутри шара напряженность поля с увеличением расстояния от центра растет линейно (рис. 1.18). Это объясняется тем, что при возрастании радиуса сферы, сквозь которую вычисляется поток, увеличивается и заряд, находящийся внутри сферы. Если же сфера интегрирования имеет радиус больше, чем радиус шара (А1 на рис. 1.17), то заряд внутри ее будет постоянным, равным Q. Применение теоремы Остроградского-Гаусса дает следующее выражение:

E (4πr2 )=Qε0 , откуда получим зависимость для напряженно-

сти поля такую же, как для точечного заряда:
E = 4πε1	0 rQ2 (r ≥ R)	(1.20)

Таким образом, с увеличением расстояния r от центра шара поле вначале линейно растет (до r = R), а затем при r>R убывает как 1/r2 (рис. 1.18).

Разность потенциалов между двумя точками внутри шара

равна

	2	r	r	r2	Q	r2	Q	(r22 −r12 ). (1.21)
	ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl			= ∫Edr =		∫rdr =
	1			r	4πε0 r		8πε0
				1		1

В левой части последнего выражения изменен знак разности
E		потенциалов, поэтому перед ин-
		тегралом нет знака
		(-). Разность потенциалов ме-
		жду двумя точками вне шара
R	r	может быть найдена по формуле
Рис. 1.18. Зависимость на-		для потенциала точечного заряда
пряженности электрического		(1.12).
поля от расстояния r до центра		Сферическая поверхность.
однородно заряженного
сплошного шара		Электрический заряд Q	равно-
		мерно распределен по	тонкой

сферической поверхности радиусом R. Поскольку заряд распределен симметрично, электрическое поле также должно быть симметричным. Вне заряженной сферы применение теоремы Остроградского-Гаусса дает такой же результат, как в предыдущем случае. Напряженность поля вне сферы определяется по формуле (1.20), где r – расстояние до центра сферы.

26

Внутри сферы поле также должно быть симметричным, поэтому напряженность поля Е должна иметь одно и то же значение во всех точках сферической поверхности радиуса меньшего, чем

	R. Следовательно, Е можно выне-			Е
	сти из-под знака интеграла, и мы
		r r	= E (4πr2 )= 0, по-
	получим	∫EdS
		S		0
	скольку заряд внутри сферы равен
					R		r
	нулю. Итак, внутри равномерно				Рис. 1.19. Зависимость на-
	заряженной сферы			пряженности электрического
	Е = 0		(r < R).	поля от расстояния r до центра
	График	зависимости напря-		однородно заряженной сферы

женности поля от расстояния до центра сферы приведен на рис. 1.19. Разность потенциалов вне

сферы определяется, как и в предыдущем случае, по формуле для потенциала точечного заряда (1.12):

ϕ	−ϕ		=	Q		1	−	1	.	(1.22)
		2
	1			4πε0
					r1			r2

Положив r1=R, r2=∞, найдем потенциал поверхности сферы:

	ϕ =	Q	(1.23)
		4πε0 R

Разность потенциалов точек внутри сферы равна нулю

(поле отсутствует, значит, нет градиента потенциала), что означает постоянство потенциала внутри сферы. Потенциал точек внутри сферыравенпотенциалуповерхности (1.23).

Бесконечный равномерно заряженный цилиндр с линейной плотностью заряда λ = ∆q / ∆l . В силу симметрии задачи электри-

Er

r

l

Рис. 1.20. К расчету напряженности электрического поля, создаваемого длинным заряженным цилиндром

ческое поле должно быть направлено вдоль радиуса наружу (если заряд положителен) и зависеть только от расстояния до оси цилиндра в перпендикулярном к ней направлении. Выберем замкнутую поверхность в виде прямого кругового цилиндра радиуса r (рис. 1.20).

Благодаря цилиндрической симметрии напряженность электрического поля должна быть постоянна по поверх-

27

ности цилиндра. Поток вектора напряженности через основания цилиндра равен нулю, поскольку вектор E параллелен этим поверхностям. Следовательно, полный поток по теореме Остро-

r r	= E (2πrl)= λl ε0 , где l - высота ци-
градского-Гаусса равен ∫EdS

S

линдра, по поверхности которого проводится интегрирование, λl- суммарный заряд внутри замкнутой цилиндрической поверхности. Отсюда

	E =	1	λ	(1.24)
		2πε0	r

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра равна:

r2	λ		r2	dr	=	λ	r	(1.25)
ϕ1 −ϕ2 = ∫Edr =	2πε		∫	r		2πε	ln r
							2
r		0 r					0 1
1		1

Вопросы

1.Из каких соображений выбирается форма замкнутой поверхности для вычисления напряженности поля заряженных тел с помощью теоремы Остроградского-Гаусса?

2.Почему предполагается, что вектор напряженности ориентирован перпендикулярно поверхности заряженных тел?

3.Можно ли применить теорему Остроградского-Гаусса для определения напряженности поля электрического поля диполя?

4.Почему для точек поля бесконечной заряженной поверхности нельзя определить потенциал, а только разность потенциалов

(см. формулу (1.18))?

5.Как объяснить, что потенциал точек внутри заряженной сферы не равен нулю, хотя напряженность поля равна нулю?

1.8. Проводники в электрическом поле

Как уже отмечалось в разделе 1.2, металлы содержат большое число электронов, способных практически свободно перемещаться по его внутреннему объему. При внесении такого проводника в электростатическое поле наблюдается явление электростатической индукции - под действием поля часть электронов концентрируется в тонком слое вблизи одной из поверхностей (левой на рис.1.21). На противоположной поверхности в тонком слое располагается нескомпенсированный положительный заряд. Поле

28

E

Рис. 1.22. Электрическое поле у поверхности проводника

Рис. 1.21. Разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля

Er

системы этих зарядов направлено против внешнего и полностью его уничтожает. Поскольку электроны в металле могут переме-

щаться под действием как угодно малой силы, даже весьма слабое поле приводит к перемещению зарядов до тех пор, пока суммарное

поле не станет равным нулю. Поле внутри не изменится, если внутреннюю часть проводника удалить, оставив лишь тонкую оболочку. Этим пользуются для устройства электростатической защиты от внешних полей.

Отсутствие поля внутри проводника означает, что его потенциал одинаков во всех точках проводника, следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной, и вектор напряженности поля вблизи поверхности направлен перпендикулярно к ней (рис.

1.22). Если проводник, вносимый во

внешнее поле, имел заряд, то последний

также перераспределяется, пока не вы-

ровняются потенциалы во всех точках

проводника.

Для определения напряженности поля вблизи поверхности воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности интегрирования

выберем поверхность цилиндра малой высоты (на рис. 1.22 изображен штриховыми линиями). Одно основание цилиндра едва возвышается над поверхностью проводника, другое находится под поверхностью, а боковая поверхность перпендикулярна проводнику. Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, поток напряженности проходит только через наружное основание цилиндра. Площадь S основания выберем достаточно малой, чтобы напряженность поля Е можно было считать в его

пределах		постоянной.	Тогда		по	теореме	Гаусса
r r
∫EdS	= ES =Q ε0 =σS ε0 , откуда
S				σ
			E =		,		(1.26)
				ε
				0

где σ - поверхностная плотность заряда.

29

Этот результат справедлив для проводников любой формы. Может возникнуть вопрос, почему поле у поверхности заряженной плоскости (формула (1.17)) имеет напряженность Е = σ/2ε0, а у поверхности проводника Е = σ/ε0. Различие обусловлено тем, что мы по-разному определяем поверхностную плотность заряда в этих случаях. В случае проводника мы учитываем заряд, сосредоточенный только на одной поверхности. Этот заряд составляет только половину полного заряда. На плоском тонком проводнике (заряженной плоскости) заряд располагается по обе стороны, поэтому поверхностная плотность заряда, учитываемая формулой (1.17), в два раза выше, чем поверхностная плотность в формуле (1.26). Таким образом, формулы (1.17) и (1.26) различаются только тем, что в них σ определяется по-разному.

Поле внутри проводника равно нулю и потенциал всех точек одинаков в случаях, когда проводник имеет собственный заряд и когда он находится во внешнем электростатическом поле. Однако заряд на поверхности проводника может распределяться неравномерно. Рассмотрим заряженный проводник, образованный двумя шарами, соединенными проводником (рис. 1.23). Учтем, что потенциалы шаров одинаковы, и применим формулу (1.23):

r	ϕ	=ϕ	2	=	Q1	=	Q2	= σ1 R =	σ2 R
E	1				4πεR1		4πεR2	1	2
						.		ε0	ε0
	Здесь σ = Q/(4πR2) – поверхно-
	стная плотность заряда. Из полу-
	ченного выражения следует, что за-
Рис. 1.23. Заряженный	ряд каждого шара пропорционален
проводник, образованный	его радиусу, а поверхностные плот-
двумя шарами	ности зарядов на шарах обратно
	пропорциональны							радиусам:

σ1/σ2=R2/R1, поэтому, как следует из формулы (1.26), напряженность поля вблизи поверхности с малым радиусом кривизны выше. Весьма малыми радиусами кривизны обладают острия. Вблизи острия наблюдается «стекание» зарядов из-за того, что в воздухе под действием сильного поля наблюдается ионизация. Обычно такая утечка нежелательна, поэтому в электроустановках избегают заостренных проводников. Заостренные проводники, соединенные с землей и возвышающиеся над защищаемым объектом, применяются в качестве молниеотводов. Они способству-

30