27. Законы логики

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении. Она находит свое выражение в схемах правильных форм, сложившихся в процессе многовековой практики мышления. Эти схемы легко выражаются в формулах, принимающих значение«истина», при всех наборах значений, входящих в них переменных. Такие формулы в логике высказываний называются тождественно-истинными. Так, формула (А→А) является тождественно-истинной,поскольку любые значения ее переменных дают значение «истина». Закон тождества:

А	А	А→A
И	И	И
Л	Л	И

Данная формула является логической формой закона тождества и означает, что всякое высказывание является тождественным самому себе.

Известный в логике закон двойного отрицания выражается формулой ¬¬ А ≡ A. Согласно этому закону, любое утверждение можетбыть выражено в форме двойного отрицания. Например, суждение«Это решение правильное» эквивалентно суждению «Неверно, чтоэто решение не является правильным». Число тождественно-истинных формул не ограничено, а потому количество законов в логике бесконечно.

Закон логики – это сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы принимает значение «истина».В традиционной логике, восходящей к Аристотелю, выделяется четыре основных закона.

1. Закон тождества. В классической логике выражается формулой

А → А (Если А, то А),

или А ≡ А (А тогда и только тогда, когда А).

Его содержательная формулировка такова: «Один и тот же термин в одном и том же рассуждении должен употребляться в одном и том же отношении, в одном и том же смысле и применительно к одному итому же времени». Это означает, что используемые нами понятия не должны подменяться в ходе одного и того же рассуждения. Это естественное требование ко всякому честному спору, обсуждению и т. п. Подмена понятий – один из основных источников логических ошибок, а если это делается сознательно, то рассматривается как софизм.

Приведем анекдотический пример такого сознательного нарушения: «По окончании с Персиею войны многие из придворных, желая посмеяться над Балакиревым (любимый шут Петра Первого), спрашивали его: что он там видел, с кем знаком и чем занимался? Шут все отмалчивался. Вот однажды в присутствии государя и многих вельмож один из придворных спросил его: «Да знаешь ли ты какой у персиян язык?».

– И очень знаю, – отвечал Балакирев. Все вельможи удивились. Даже и государь изумился. Но Балакирев то и твердит, что «знаю».

– Ну и какой же он? – спросил шутя Меньшиков.

– Да такой красный, как и у тебя, Алексаша, – ответил шут. Вельможи все засмеялись, и Балакирев был доволен тем, что верх остался на его стороне».

Применительно к суждениям закон тождества означает, что суждения должны быть неизменными на протяжении данного рассуждения:

а) по количеству и качеству (для простых), б) по логическим связям(для сложных суждений). Данный закон является основанием правильного ведения споров.Если спорящий высказал какую-либо мысль и обещал ее доказать, то он должен иметь дело именно с этой мыслью на протяжении всего спора и не пытаться подменить ее более легко доказуемой. Если же он видит невозможность доказательства, то должен честно признаться в этом.

2. Закон непротиворечия. Формула закона непротиворечия такова: ¬(А&¬А), т. е. «Неверно, что А и не-А».

Содержательная его формулировка дается Аристотелем (Метафизика, кн. 4, гл. 3): «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении».

Формула (А&¬А) называется противоречием. Закон указывает на недопустимость противоречия в наших рассуждениях, т. е. нельзя одновременно что-либо утверждать и это же отрицать. В средневековой логике было сформулировано правило – «Из лжи следует все, что угодно», являющееся выражением закона не противоречия.

В классической логике это высказывание формализуется как закон Дунса Скотта: (А&¬А)→В, где В – любое суждение. Шутливую интерпретацию данного закона предложил выдающийся английский математик и философ Б. Рассел. Он взялся доказать,что если 2*2=5, то он – папа Римский. «Доказательство» строилось следующим образом: дано, что 2*2=5. Это значит, что 4=5. Вычтем из каждой части равенства 3 (это допускается правилами математики). Получим 1=2. Поменяем части равенства местами (также допустимая операция): 2=1. Папа Римский и я – нас двое. Но мы доказали, что 2=1. «Значит, я и есть папа Римский» завершил свое «доказательство» Рассел.

Закон непротиворечия выражает важное требование к нашему мышлению: если в ходе рассуждения мы пришли к противоречию, значит, наше мышление идет по ложному пути. Необходимо вернуться обратно и устранить источники противоречия.

3. Закон исключенного третьего. Этот закон часто называют по-латыни tertium non datur, что значит – «третьего не дано». Логическая запись закона: А или ¬А.

Здесь имеется в виду, что мир или таков, каким он описывается в А, или таков, каким он описывается в ¬А, третья возможность исключена.

Содержательная его формулировка: из двух суждений А и ¬А истинным следует считать только одно.

Важная роль закона исключенного третьего проявляется в доказательствах от противного, весьма распространенных в математике:желая доказать А (допустим, какую-либо математическую теорему), мы предполагаем, что ¬А. Затем выводим из ¬А противоречие, что свидетельствует о ложности ¬А (согласно закону непротиворечия).

Делаем вывод: если ¬А – ложно, значит А – истинно (третьего не дано). Уже сам Аристотель замечал, что этот закон не применим к некоторым высказываниям. Например, «Завтра будет морское сражение» -ни само это высказывание, ни его отрицание не являются ни истинными, ни ложными. Именно закон исключенного третьего чаще всего подвергается пересмотру в неклассических логиках.

Тем не менее этот закон продолжает играть важную роль как вклассической логике, так и в математике, и в нашем естественном мышлении.

4. Закон достаточного основания.

Это один из наиболее спорных законов логики. Некоторые авторы даже отказывают ему в логическом характере. Другие, напротив,отмечают, что только благодаря этому закону стало возможным развитие современной математической логики.

Сам закон был сформулирован много позже остальных Г. Лейбницем, хотя имеются указания, что Аристотелю он также был известен.

Содержательная его формулировка такова: «Никакое высказывание А не может утверждаться без достаточного основания».

Под «достаточным основанием» мы понимаем основания, позволяющие считать данное суждение истинным или ложным. Объективно достаточными основаниями будут аксиомы, удостоверенные факты, т. е. все то, что позволяет всякому разумному существу убедиться в истинности или ложности суждения А. Такие суждения относятся к сфере знания (как, например, все научные высказывания).

Если же основания суждения убедительны только для самого человека, но не для других, то мы имеем дело с верой («Я верю, что существуют информационные поля и они материальны»).

Если же человек и сам сомневается в достоверности своего высказывания, то это называется мнением («Я думаю, что инопланетяне существуют»).

Таким образом, закон достаточного основания позволяет нам классифицировать суждения по типу обоснованности на знание, веру и мнение.

Ярким примером применения этого закона является математическая практика, где математик не может что-либо утверждать, предварительно не доказав этого.

28. Основные законы логики

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении

Закон логики – это сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы принимает значение истины.

Выделяют 4 основных закона логики. Три из которых, были сформулированы Аритотелем

1.Закон тождества. А→А(Если А, то А) или А≡А( А тогда и только тогда А, когда А)

Его содержательная формулировка такова: один и тот же термин в одном и том же рассуждении должен употребляться в одном и том же отношении, в одном и том же смысле и применительно к одному и тому же времени. Это означает, что используемые нами понятия не должны подменяться в ходе одного и того же рассуждения. Этот закон является основанием правильного ведения споров.

2.Закон непротиворечия. ¬(А&¬А) (Неверное, что А и не А)

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Закон непротиворечия выражает важное требование к нашему мышлению: если в ходе рассуждения мы пришли к противоречию, значит, наше мышление идет по ложному пути. Необходимо вернуться обратно и устранить источники противоречия.

3. Закон исключенного третьего. А V¬А(Из двух суждений А и ¬А истинным может считаться только одно)

Важная роль закона исключенного третьего проявляется в доказательствах от противного, весьма распространенных в математике. Желая доказать А( например какую-нибудь теорему), мы предполагаем, что ¬А. Затем выводим из ¬А противоречие, что свидетельствует о ложности ¬А( согласно закону непротиворечия). Делаем вывод: если ¬А – ложно, значит А-истинно(третьего не дано)

Но этот закон не может быть применим к некоторым высказываниям. Например: Завтра будет морское сражение – ни само это высказывание, ни его отрицание не являются ни истинным, ни ложным. Именно закон исключенного третьего чаще всего подвергается пересмотру в неклассических логиках.