1. Элементы векторного анализа

1.1. Действия над векторами

Разложение вектора А на составляющие в декартовой системе координат:

(1.1)

Сложение векторов сводится к сложению их компонент:

(1.2)

Скалярное произведение векторов А и В равно произведению их модулей на косинус угла между векторами:

(1.3)

Здесь α - угол между направлениями векторов.

Результат скалярного умножения есть скаляр.

Скалярное произведение (А, В) может равняться нулю и при не равных нулю А и В, если cos α = 0. Такие векторы называются ортогональными, так как они направлены под прямым углом.

Векторное произведение векторов А и В вычисляется по следующей формуле:

(1.4)

Здесь ν₀ - орт, направленный по нормали к плоскости, образуемой векторами А и В. Направление орта выбирается так, чтобы, из его начала минимальный угол соответствовал движению от А к В по часовой стрелке. В формуле (1.4) этот угол обозначен α.

Результат векторного умножения двух векторов есть вектор.

Если раскрыть определи­тель, получим, например, что [А, B]_х = A_yB_z - A_zB_y и т. д. Изме­нение порядка сомножителей приводит к изменению знака вектор­ного произведения: [В, А] = -[А, В].

Для трех векторов А, В, Е определено следующее произведение:

Оно называется векторно-скалярным, или смешанным: один из векто­ров составляет скалярное произведение с векторным произведени­ем двух оставшихся. Очевидно, что справедливо следующее соотношение:

(1.5)

При составлении смешанного произведения должен быть сохранен циклический порядок следования векторов: А, В, Е, А, В, Е...

Двойное векторное произведение трех векторов А, В, Е раскрывается по следующей формуле:

(1.6)

Здесь скалярные произведения обозначены посредством круглых скобок. Они участвуют в умножении как числа.

1.2. Линейные преобразования векторов

Под умножением вектора А на скаляр m понимается получение такого вектора В, модуль которого увеличивается в m раз, а направление не меняется:

(1.7)

Это равенство равносильно трем скалярным:

(1.7а)

Вектора A и В коллинеарны. Если m - положительное число, то векторы А и В направлены одинаково, а при отрицательном m - противоположно.

В общем случае под однородным линейным преобразованием векторов понимают сопоставление вектору А такого вектора В, компоненты которого определяются по формулам:

	(1.8)

Здесь m_хх, m_ху, ..., m_zy, m_zz - некоторые числа.

Однородность - это свойство, в силу которого В = 0, если А = 0. Векторы А и В, компоненты которых связаны соотношениями (1.8), уже не коллинеарны. Следовательно, записанное преобразование определяет не только изменение абсолютного значения вектора, но и его поворот.

(1.9)

Коэффициенты при компонентах вектора А можно свести в таблицу:

С точки зрения линейной алгебры таблица чисел (1.9) образует матрицу. Равенства (1.8) определяют операцию умножения матрицы ||m|| на вектор-столбец (А_х, А_у, А_z). Эта операция приводит к получению нового вектора-столбца (В_х, В_у, B_z). В частном случае, задаваемом формулой (1.7), отличны от нуля только диагональные компоненты матрицы ||m||, причем m_xx = m_yy = m_zz = m.

Введем единичную матрицу следующего вида:

(1.10)

Это позволяет определить матрицу ||m|| в варианте (1.7а) как mI. С учетом сделанных преобразований систему равенств (1.8) можно записать в сокращенной форме:

(1.11)