6. Решения уравнений в цилиндрических координатах

6.1. Цилиндрические функции

В дальнейшем нам понадобится решать уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах. В ре­зультате разделения переменных появится обыкновенное диффе­ренциальное уравнение:

(6.1)

Оно называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя порядка n. Общее решение уравнения (6.1) записывают в следующей форме:

(6.2)

Оба варианта решений эквивалентны. Здесь:

• J_п(х) - функции Бесселя порядка п,

• N_n(x) - функции Неймана порядка п,

• Н⁽¹⁾_n(х) - функ­ции Ханкеля (Ганкеля) первого рода порядка п,

• Н⁽²⁾_n(х) - функ­ции Ханкеля второго рода порядка п.

Это различные виды цилиндрических функций.

Функции Бесселя, Неймана и Ханкеля связаны соотношением:

(6.3)

Цилиндрические функции не являются периодическими, но они «осциллируют». Функции Бесселя и Неймана с ростом х принима­ют значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой и приближающиеся к тригонометрическим при х → ∞. Существенно то, что J₀(0) = 1, а J_n(0) = 0 при n ≠ 0 и N_n(0) = -∞. Графики цилиндрических функций приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Графики цилиндрических функций

В справочной литературе имеются таблицы цилиндрических функций. Программы для их расчета включены в библиотеки языков программирования с физико-техническим уклоном, например, в СИ++.

Нам понадобятся значения аргументов х, при которых функции Бесселя и их первые производные обращаются в нуль, т. е. корни х = υ_nm уравнения J_n(x) = 0 и корни х = μ_nm уравнения J’_n (х) = 0. Они приведены в таблицах 6.1 и 6.2.

Таблица 6.1						Таблица 6.2
Корни υmn уравнения Jn(x) = 0						Корни μmn уравнения J’n(x) = 0
n	m					n	m
	1	2	3	4			1	2	3	4
0	2.405	5.520	8.654	11.792		0	3.832	7.016	10.173	13.324
1	3.832	7.016	10.173	13.324		1	1.841	5.331	8.536	11.706
2	5.136	8.417	11.620	14.796		2	3.054	6.706	7.969	13.170
3	6.380	7.761	13.016	16.223		3	4.201	8.015	11.346	14.586

Ниже приведены некоторые формулы, часто используемые при операциях с цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции обозначены Z_n(x). При этом подразумеваются функция Бесселя, Неймана или Ханкеля целого порядка.

Формулы дифференцирования:

(6.4)

в частности,

	(6.5)
			(6.6)

Далее из (6.6) следует:

	(6.7)
	(6.8)
	(6.9)

в частности:

(6.10)

Формулы интегрирования:

	(6.11)
	(6.12)

	(6.13)
	(6.14)
	(6.15)

Асимптотические представления:

	(6.16)
	(6.17)
	(6.18)
	(6.19)

Запишем степенной ряд:

(6.20)

При х << 1 отсюда следует:

(6.21)

в частности,

(6.22)

При малых x имеем также:

(6.23)

В (6.23) γ = 1.781......, n > 0.