4.3. Виды волн

Выше рассматривались скалярные волны: процесс описывался скалярной величиной u. Если волновой характер имеют компоненты некоторого вектора, то говорят о векторной волне.

Рассмотрим величину

(4.12)

Поверхность постоянной фазы такой волны задается выражением:

(4.13)

В общем случае поверхности постоянной фазы не являются параллельными плоскостями, как это было ранее. То есть волна может быть неплоской. Если к тому же на этих поверхностях фронта амплитуда не принимает постоянного значения, то волна является неоднородной.

Рис. 4.4. Последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны

Неплоская и неоднородная волна может быть локально плоской или локально однородной в некоторой области пространства. Это значит, что рассматриваемый участок фронта близок к элементу плоскости или амплитуда на нем практически постоянна. Оба этих свойства участка фронта волны могут наблюдаться одновременно.

Уравнение поверхности фронта (4.13) может принимать простой вид в той или иной криволинейной системе координат. Пусть φ(х, у, z) = γr. Если r - координата цилиндрической или сферической системы, то мы имеем цилиндрическую или сферическую волну. На рис. 4.4 показаны последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны, распространяющейся от источника Q.

Такие волны называют расходящимися, поскольку можно представить себе также сходящуюся волну, направление распространения которой везде противоположно изображенному. В этом случае поверхности фронта сходятся к точке.

4.4. Простейшие решения волновых уравнений

Рассмотрим однородное скалярное волновое уравнение:

(4.14)

Если процесс, описываемый уравнением (4.14), зависит только от t и z, уравнение принимает более простую форму:

(4.15)

Можно убедиться, что рассматривавшаяся ранее плоская однородная волна является решением уравнения (4.15). Это легко сделать путем подстановки формулы (4.1) в (4.15). При этом функция φ в формуле (4.1) может рассматриваться как любая дважды дифференцируемая функция.

Решением будет также обратная волна, получаемая при смене знака фазовой скорости. Общее решение волнового уравнения (4.15) можно представить в виде наложения прямой и обратной волн:

(4.16)

Здесь u⁺(ξ) и u^-(ξ) - произвольные дважды дифференцируемые функции.

Перейдем к гармоническим колебаниям и используем метод комплексных амплитуд, т. е. будем рассматривать временную зависимость вида exp(jωt + φ). Тогда в формуле (4.14) можно сделать замену д²/дt² → -ω² и оно примет следующий вид:

(4.17)

Здесь γ = ω/v.

Это однородное уравнение Гельмгольца. Для одномерного процесса, зависящего от одной координаты z уравнение Гельмгольца примет вид:

(4.18)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение отвечает волновому уравнению (4.15). Общее решение уравнения (4.18) имеет вид:

(4.19)

5. Математический аппарат анализа продольно-однородных структур