моделирование экосистем

11

удобнее использовать интервалы в полной записи с указанием их пределов

(см.табл.1.3, 1.4).

Таблица 1.7. Распределение деревьев по диаметру и высоте

Интервалы					Интервалы высоты у, м
диаметра х, см	9 -	11 -	13 -	15 -	17 -	19 -	21 -	23 -	25 -	27 -	29 -	Всего
8,5 -	1	6	1	1								9
11,5 -	2	1	4	5	6							18
14,5 -				10	7	5						22
17,5 -				2	10	12	11	1				36
20,5 -					3	11	19	7	1			41
23,5 -						2	10	16	2			30
26,5 -							3	14	3			20
29,5 -								1	12	2		15
32,5 -							2	1	2			5
35,5 -									1	1	1	3
38,5 -										1		1
Всего	3	7	5	18	26	30	45	40	21	4	1	200

На основании вариационного ряда распределения путем последовательного суммирования численностей по интервалам получают суммарную численность (табл.1.8). Такой ряд строится следующим образом: численность первой варианты остается без изменения (например, по диаметру 9) против второй варианты ставится сумма первой и второй численностей (9+18=27), против третьей варианты ставится сумма накопленной численности второй варианты и численности третьей (27+22=49) и т.д. В последней варианте накопленная численность будет равна сумме всех численно-

стей (200).

По суммарной численности вычисляют суммарные частости. Для этого накопленные численности каждой варианты относят к общей численности и выражают в процентах, то есть умножают на 100 (табл.1.8).

Таблица 1.8. Суммарные численность и частость по диаметру

	Интервал, см	Численность, шт	Суммарная	Суммарная
			численность, шт	частость, %
	8,5 -	9	9	4,5
	11,5 -	18	27	13,5
	14,5 -	22	49	24,5
	17,5 -	36	85	42,5
	20,5 -	41	126	63,0
	23,5 -	30	156	78,0
	26,5 -	20	176	88,0
	29,5 -	15	191	95,5
	32,5 -	5	196	98,0
	35,5 -	3	199	99,5
	38,5 -	1	200	100,0

12

Аналогичным способом составляется таблица суммарных численностей и частостей по высоте.

Для наглядности цифровые данные вариационных рядов наносят на график. При этом на оси абсцисс откладывают варианты, а на оси ординат

– численности или частости.

Вариационному ряду соответствует кривая распределения (рис.1.1), а ряду последовательного суммирования численностей – кривая суммарных численностей, которая называется кумулятой (рис.1.2).

Для кумуляты свойственна более обтекаемая форма, чем это наблюдается в эмпирических вариационных кривых, которые обычно представлены ломанными линиями. Это свойство позволяет иногда отдавать предпочтение этим графикам перед эмпирической кривой распределения. В частности, кумулянта позволяет лучше сравнивать одновременно несколько эмпирических распределений неравного объема, когда последние выражаются в процентах от общего числа наблюдений.

При построении кумулянты на оси ординат откладывается накопленная частость из точек, соответствующих максимальному значению интервала. Например, суммарная частость по диаметру (табл.1.8) равная 4,5% находится в интервале 8,5-11,4 см, где наибольшее значение интервала 11,4 см; суммарная частость 13,5% находится в интервале 11,5-14,4 см, где наибольшее значение интервала 14,4 см и т.д.

Взаключение необходимо ответить на следующие вопросы:

1.Что такое наблюдение, какие этапы включает работа по проведению наблюдений?

2.Какие существуют способы наблюдения по охвату единиц статистической совокупности?

3.Какие существуют способы случайного отбора единиц наблюдения?

4.Что такое генеральная и выборочная статистические совокупности?

5.Как устанавливаются число и величина интервалов при составлении вариационных рядов?

13

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ СПОСОБОМ

Вариационные ряды дают наглядное представление об изменчивости того или иного количественного признака. Но они недостаточны для полной характеристики статистической совокупности, поскольку содержат много деталей, охватить которые без применения обобщенных количественных показателей невозможно. Количественные показатели, которые позволяют судить о качественном своеобразии варьирующих объектов и сравнивать их между собой, называются статистическими характеристиками. Наиболее важные среди них средние величины и показатели вариации признаков. Для их вычисления применяют различные способы. Наиболее простой и широко применяемый – непосредственный способ.

Вычисление статистических показателей этим способом рассмотрим на примере вариационного ряда по диаметру (табл.2.1). Во всех последующих заданиях вариационный ряд по диаметру взят в качестве примера для вычисления статистических показателей различными способами.

Таблица 2.1. Вычисление статистических показателей непосредственным способом

Диаметр хj,						Численность										хj nj						хj - М			2	2
	см						nj , шт																		(хj – М)	(хj – М) nj
	1								2							3						4			5	6
	10								9							90						-11,8			139,24	1253,16
	13							18								234						-8,8			77,44	1393,92
	16							22								352						-5,8			33,64	740,08
	19							36								684						-2,8			7,84	282,24
	22							41								902						0,2			0,04	1,64
	25							30								750						3,2			10,24	307,20
	28							20								560						6,2			38,44	768,80
	31							15								465						9,2			84,64	1279,60
	34								5							170						12,2			148,84	744,20
	37								3							111						15,2			231,04	693,12
	40								1							40						18,2			331,24	331,24
Всего								200								4358						-			-	7795,20
	2.1. Среднее значение
	Среднее значение вычисляется по формуле
		x		n		1	x	2	n	2	x	3	n		3	x	k	n	k			xjnj
	M		1																					,		(2.1)
							n1 n2 n3 nk															n
где	х1,х2,…,.хк – варианты (в данном примере диаметры);

n1,n2,…,.nк – численности.

14

Для вычисления среднего диаметра находят произведение диаметра на численность (табл.2.1, гр.3), подсчитывают сумму произведений и сумму численностей. Подставляя цифровые значения в формулу (2.1), получают средний диаметр:

M xjnj 4358 21,79 21,8см

n

200

Среднее значение характеризует однородную статистическую совокупность в целом и не может отражать отдельные его части. Средняя арифметическая величина определяет положение вариационного ряда на горизонтальной оси в системе координат.

Среднее значение обладает рядом свойств, главные из которых следующие:

а). сумма отклонений отдельных значений от среднего равна нулю; б). сумма квадратов отклонений отдельных значений от среднего яв-

ляется наименьшей, по сравнению с суммой квадратов отклонений от какого либо иного значения.

2.2. Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное, или основное, отклонение вычисляется по формуле

x

1

M 2n

1

x

1

M 2n

2

x

k

M 2n

k

xj M 2nj

, (2.2)

n1 n2 nk

n

где

х1,х2,…,.хk – варианты (в данном примере диаметры);

n1,n2,…,.nk – численности по интервалам.

Для вычисления среднего квадратичного отклонения находят разность диаметров ряда распределения и среднего значения (табл.2.1,гр.4). Отклонения диаметров от среднего значения возводят в квадрат (гр.5). Возведенные в квадрат отклонения умножают на численность каждого диаметра и подсчитывают сумму произведений (гр.6).

Для нашего примера среднее квадратичное отклонение

		xj M 2nj
						7795,20
									39,0 6,24см
		n				200

Среднее квадратичное отклонение характеризует степень рассеяния ряда распределения, показывает отклонение (для 68 случаев из 100) статистических величин от среднего значения.

В нашем примере среднее квадратичное отклонение равно 6,24 см. Это означает, что диаметры 68% единиц выборочной совокупности (136

15

деревьев) отклоняются от среднего арифметического диаметра не более чем на ±6,3 см. Это положение справедливо для симметричных и близких к ним вариационных рядов.

2.3. Основная ошибка среднего значения

Основная ошибка среднего значения вычисляется по формуле

mM (2.3)

n

Для нашего примера

mM 6,24 6,24 0,44см

200 14,1

Основная ошибка является величиной, на которую отличается среднее значение выборочной совокупности от среднего значения генеральной совокупности при условии, что распределение изучаемого признака приближается к нормальному.

Следовательно, среднее значение диаметров равно 21,79±0,44 см, то есть 21,35 или 22,23 см (при вероятности 0,68).

Среднее значение необходимо записывать с основной ошибкой (M±mM=21,79±0,44), только в этом случае можно судить о точности опыта.

2.4. Коэффициент изменчивости

Коэффициент изменчивости - это основное отклонение, выраженное в процентах от среднего значения.

C		100	(2.4)
	M

Для вариационного ряда по диаметру

C 6,24 100 28,7% 21,79

Коэффициент изменчивости удобен для сравнений различных статистических совокупностей, так как его величина не зависит от единиц, употребляемых при измерениях, и представляет собой отвлеченное число.

Изменчивость бывает малой, средней и большой. Проф.А.В.Тюрин [28] дает следующие придержки: малая изменчивость – до 10, средняя - от 10,1 до 30, большая - от 30,1% и выше. Следовательно, в приведенном примере имеем среднюю изменчивость.

2.5. Точность опыта

Точность опыта определяется по формулам

16

p	mM		100,			(2.5)
	M
p		C			,	(2.6)
		n

Результаты, вычисленные по формулам (2.5,2.6) одинаковы. Точность нашего опыта

p mM 100 0,44 2,0% M 21,79

Точность опыта показывает процент расхождения между выборочной и генеральной средними и представляет собой ошибку наблюдения. В 68 случаях из 100 расхождение между выборочной и генеральной средними не будет превышать однократного значения точности опыта.

2.6. Достоверность среднего значения

После вычисления любого статистического показателя проверяют его надежность путем деления величины этого показателя на его ошибку. Достоверность среднего значения

t1		M		21,79	50,	(2.7)
		mM
			0,44

Среднее значение достоверно, так как t1>4.

Если значение t1 больше четырех, то среднее значение показателя является достоверным. Таким показателем можно пользоваться для сопоставления и выводов. Часто о достоверности показателя судят, если t1 3. Если же это отношение меньше трех, то по таким показателям нельзя делать категорические заключения и тем более проводить сопоставления.

2.7. Вычисление числа единиц наблюдения

Число единиц наблюдения определяют для вычисления среднего значения с заданной точностью. Если точность указывается в процентах, то потребное число наблюдений определяют по формуле

	n	C2		(2.8)
		p	2

Если точность дается в абсолютных величинах , то применяют фор-

мулу

	n	2	(2.9)
		mM2

В задании необходимо определить число единиц наблюдения для вычисления среднего значения с различной точностью. Для этого используют

17

вычисленный в работе коэффициент варьирования и среднее квадратичное отклонение.

Вычислим число наблюдении для определения среднего диаметра с различной точностью, если коэффициент изменчивости его С=28,7%, а среднее квадратичное отклонение σ= 6,24. Точность исследования принимаем согласно табл.2.2.

Таблица 2.2. Число деревьев для определения среднего диаметра с различной точностью в спелом лесу

Точность исследо-	Число единиц на-	Точность исследо-	Число единиц на-
вания, %	блюдения, шт.	вания, см	блюдения. шт.
1	824	0,1	3906
2	206	0,5	156
5	33	1,0	39
10	8	2,0	10

Число единиц, вычисленное по формулам (2.8, 2.9) и приведенное в табл.2.2 позволяет определить среднее значение с указанной точностью и вероятностью 0,68. При другой вероятности число наблюдений определяется по формулам

		c2x2
n				(2.10)
		p2
n		2x	2		(2.11)
		m2

Величина х берется в зависимости от той степени достоверности, какая считается необходимой при проведении опытов (табл.2.3)

Таблица 2.3.Величина коэффициента надежности х при различной вероятности

Вероятность	0,68	0,90	0,95	0,99	0,997	0,999
Величина х	1,0	1,65	0,96	2,58	3,0	3,29

В практике исследования обычно ограничиваются вероятностью 0,68, поэтому число единиц наблюдения определяют по формуле (2.8) или

(2.9).

2.8. Вычисление медианы и моды вариационного ряда

Срединным значением, или медианой, называется то значение изменяющегося признака, при котором вариационный ряд делится пополам. Срединное значение определяется арифметическим и графическим способами. При арифметическом способе составляется ряд из накопленных чис-

18

ленностей. В ряду определяется тот интервал, где накопленная численность составляет половину числа единиц вариационного ряда.

Срединное значение вычисляется по формуле

	Me xmin	i	0,5N n	(2.12)
			ne
где	хmin - минимальное значение предела интервала, где находится
	срединное значение;
	i - величина интервала;

N - численность выборочной совокупности;

∑n - суммарная численноcть до интервала, в котором находится срединное значение;

ne - численность интервала, где находится срединное значение.

В нашем примере 200 единиц наблюдения (деревьев). Сначала определяем, в каком интервале находится срединное значение. По табл.1.8 определяем, что сотая варианта (половина объема выборки) находится в ин-

тервале 20,5 - 23,4 см.

Минимальное значение этого интервала хmin=20,5 см, величина интервала i=3см. Численность выборки N=200. Суммарная численность до интервала, где находится срединное значение, ∑nj=85. Численность интервала, где находится срединное значение, ne=41.

Подставим цифровые значения в формулу (2.12) и получим срединное значение вариационного ряда по диаметру

			0,5N nj		0,5 200 85
	Me xmin	i		20,5 3		21,6см
			ne		41

При графическом методе срединное значение определяется по кумуляте. Из точки, лежащей на оси ординат и соответствующей 50% всех численностей выборки (в нашем примере 100), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения о кумулятой. Далее опускается перпендикуляр на ось абсцисс, где берется срединное значение. При точном построении кумуляты графический метод дает хорошие результаты. Срединное значение (медиана) исследуемого ряда по графику равно 21,6 см

(рис.2.1).

При построении графика суммарной численности количество деревьев соответствующего интервала откладывается в точке максимального значения интервала. Например, для интеграла по диаметру 8,5-11,4 см суммарную численность 9 (см.табл.1.8) откладывают против 11,4 см, для интервала 11,5-14,4 суммарную численность 27 откладывают против

14,4 см и т.д.

19

Наиболее частым значением, или модой, называется та варианта ряда распределения, которая имеет наибольшую численность. Правильное вычисление моды возможно в том случае, когда известен закон распределения значений статистической величины. По данному ряду распределения можно найти моду лишь приближенно по формуле Пирсона:

	Mo 3Me 2M 3 21,6 2 21,8 21,2см (2.13)
где	Ме - медиана ряда распределения;

М- среднее значение диаметра, см.

Врядах симметричных (нормальных) среднее значение, медиана и мода совпадают. В действительных рядах такое совпадение мало вероятно, так как фактическое распределение численностей биологических явлений природы отличается oт нормального, имеет ту или иную косость.

Взаключение необходимо ответить на следующие вопросы:

1.Какими основными свойствами обладает среднее значение?

2.Что такое медиана и мода вариационного ряда?

3.Что такое основная ошибка среднего значения?

4.Что называется средним квадратичным отклонением?

5.Что представляет собой коэффициент изменчивости и какое практическое значение он имеет?

6.Что характеризует точность опыта?

7.Что такое достоверность среднего значения, в каких случаях среднее значение является достоверным?

20

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ПО СПОСОБУ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

3.1. Начальные моменты

Начальные моменты по способу произведений вариационного ряда вычисляют по формуле

ma	xj	x0	a nj	(3.1)
		n

где mа - начальный момент некоторой степени а. Обычно определяют моменты четырех степеней: m1 - первый, m2 - второй, m3 - третий, m4 - четвертый начальные моменты. Значение соответственно равно

1,2,3,4;

xj - варианты ряда распределения;

x0 - начальное значение, относительно которого вычисляются начальные моменты;

nj - численности ряда распределения по интервалам; ∑n - сумма численностей.

Вычисление начальных моментов разберем на примере вариационного ряда по диаметра. Этот ряд заносится в табл.3.1(гр.1,2). В графе 3 записываются разности диаметров от условно взятого начала, выраженные в долях интервала.

		k	xj		x0					(3.2)
					i
где	xj - диаметры ряда распределения;
	i - величина интервала.
Таблица 3.1. Вычисление начальных моментов по способу произведений
Диаметр, хj, см		Численность nj, шт			kj			njkj	njkj2	njkj3	njkj4
	1	2			3			4	5	6	7
	10	9			-4			-36	144	-576	2304
	13	18			-3			-54	162	-486	1458
	16	22			-2			-44	88	-176	352
	19	36			-1			-36	36	-36	36
	22	41			0			0	0	0	0
	25	30			1			30	30	30	30
	28	20			2			40	80	160	320
	31	15			3			45	135	405	1215
	34	5			4			20	80	320	1280
	37	3			5			15	75	375	1875
	40	1			6			6	36	216	1296
	Всего	200			-			-14	866	+232	10166