моделирование экосистем

21

За начальное значение может быть взята любая вариантов, но лучше ее брать на середине вариационного ряда. Критерием правильности выбора начального значения является первый начальный момент (3.3). Чем меньше его значение, тем рациональнее выбрано начальное значение, относительно которого проводится вычисление моментов.

В этом случае при вычислении начальник моментов уменьшается число многозначных цифровых выражений. В рядах симметричных или близких к ним начальное значение равно той варианте, которой соответствует наибольшая численность. В нашем примере начальное значение х0=22 см, интервал i=3 см. Таким образом, в графе 3 диаметры нумеруются от нуля (начальное значение) в сторону уменьшения диаметров с минусом, а в сторону увеличения - с плюсом. Цифры в графе 4 получаются путем перемножения данных второй и третьей граф, в графе 5 - перемножением третьей графы на четвертую, в графе 6 - пятой на третью и, наконец, в графе 7 - шестой на третью. Начальные моменты вычисляет по следующим формулам:

		njkj								14						(3.3)
m														0,070
1					n					200
m2					njk2j							866		4,330		(3.4)
					n					200
m3					njk3j						232			1,160		(3.5)
					n					200
m4					njk4j					10166					50,830	(3.6)
					n							200

В формулах (3.3), (3.5) первого и третьего начальных моментов обязательно ставят знак плюс или минус. Второй и четвертый моменты всегда положительные, поэтому в формулах (3.4), (3.6) знак ставить не обязательно.

3.2. Статистические показатели

На основании начальных моментов вычисляют статистические показатели вариационного ряда.

Среднее значение вычисляют по формуле

M x0 im1	(3.7)
где х0 - условно взятая начальная варианта,	относительно которой вы-
числяются моменты;
i - величине интервала;
m1 - первый начальный момент.

22

В рассматриваемом примере					M 22 3 0,07 21,79 21,8см
Среднее квадратичное отклонение вычисляют по формуле
i m			2	m2			(3.8)
					1
Для нашего примера 3	4,33 0,072						6,24см

Среднее значение и среднее квадратичное отклонение совпадают по величине с аналогичными показателями, вычисленными непосредственным способом, что свидетельствует о правильности вычислений.

Для последующих работ необходимо знать так называемое неименованное среднее квадратичное отклонение, когда интервал ряда распределения принимаются за единицу.

					2	(3.9)
		m			2 m1
Для нашего примера неименованное среднее квадратичное отклоне-
ние равно		4,33 0,07	2		2,08.

Остальные статистические показатели вычисляются по рассмотренным во втором разделе формулам. Основная ошибка среднего значения по формуле 2.3., коэффициент изменчивости по формуле 2.4., точность опыта по формуле 2.5., и, наконец, достоверность среднего значения по формуле

2.7.

3.3. Центральные моменты

Центральные моменты вычисляют, используя начальные моменты. Для этого применяют следующие соотношения между центральными и начальными моментами:

	2	m	2	m2										(3.3)
				1
	3	m	3	3m	2		m 2m3							(3.4)
								1	1
	4	m	4	4m			m		6m	m2		3m	4	(3.5)
						3		1		2	1		1

где µ2, µ3, µ4 – соответственно второй, третий и четвертый центральные моменты. Первый центральный момент не вычисляется, т.к. он равен нулю;

m1, m2, m3, m4 – соответственно первый, второй, третий и четвертый начальные моменты.

Вычислим по формулам (3.3), (3.4), (3.5) центральные моменты для вариационного ряда, если m1=-0,07; m2=4,33; m3=+1,16; m4 =50,83.

µ2=4,325; µ3=2,069; µ4=51,282

23

3.4. Основные моменты

Основные моменты представляют собой отвлеченные числа. Они имеют практическое значение, так как помогают охарактеризовать численно косость и крутость кривых распределения. Основные моменты вычисляют по формуле

ra	a	(3.6)
	2 a

где rа – основной момент некоторой степени а;

µа – центральный момент соответствующей степени а; µ2 – второй центральный момент.

Первый основной момент всегда равен нулю, так как первый центральный момент, входящий в формулу первого основного момента, есть нуль. Второй основной момент всегда равен единице. Поэтому вычисляются только третий и четвертый основные моменты.

Найдем их, если центральные моменты µ2=4,325; µ3=2,069; µ4=51,282

r					3								2,069				0,230
																3
3								3
						2								4,325
r					4						4				51,282			2,741
4							4				22		4,3252
					2

3.5. Мера косости и крутости кривой распределения

Мера косости характеризует степень смещения ряда распределения относительно среднего значения.

Мера косости α1 характеризуется третьим основным моментом, то есть α1=r3. В симметричной вариационной кривой мера косости равна нулю. В ассиметричной кривой с положительной косостью мера косости больше нуля (правая ветвь кривой, начиная от вершины, больше левой). В ассиметричной кривой с отрицательной косостью мера косости меньше нуля (левая ветвь кривой, начиная от вершины, больше правой). Мера косости менее 0,5 считается малой, от 0,5 до 1,0 средней и выше 1,0 - большой.

В нашем примере мера косости равно α1 = 0,23, то есть кривая распределения имеет малую положительную косость.

24

Основная ошибка меры косости приближенно вычисляется по фор-

муле

m

6

Для

ряда

распределения

по

диаметру

N

m

6

0,174.

0,03

200

Достоверность косости

t

1

:m 0,23:0,174 1,33. Вывод недос-

товерный, косость ряда распределения по диаметру не доказана и объясняется случайными причинами.

Мера крутости характеризуется четвертым основным моментом. В нормальной кривой распределения четвертый основной момент равен трем. Если крутость отличается от нормальной, то четвертый основной момент принимает значение больше или меньше трех. Поэтому мера кру-

тости вычисляется
j r4	3	(3.7)
Если мера крутости равна нулю,		то имеем нормальную крутость

кривой. Если мера крутости больше нуля, крутость положительная, кривая распределения высоковершинная, а значения статистической величины очень густо сгруппированы около среднего значения. При отрицательной крутости четвертый основной момент меньше трех, а мера крутости меньше нуля. Кривая низковершинная, приплюснутая.

Пределом меры крутости в отрицательную сторону служит -2, в положительную сторону предела нет. При крутости, равной -2, кривая распределения распадается на две отдельные кривые. Это свидетельствует о том, что исследуемая статистическая совокупность неоднородна.

Вычислим меру крутости, если четвертый основной момент r4= 2,74. Мера крутости будет равна j=r4-3=2,74-3=-0,26. В данном примере кривая распределения имеет незначительную отрицательную крутость.

Основная ошибка меры крутости приближенно вычисляется по фор-

муле mj	2	6	. Для нашего	примера mj 2	6	2 0,174 0,348.
					200
		N
Достоверность меры крутости tj				j:mj 0,26:0,348 0,746. Вывод недос-

товерный. Отклонение крутости данной кривой от нормальной не доказано.

После выполнения задания необходимо ответить на следующие вопросы:

1. Какой показатель является критерием правильности выбора начального значения?

25

2.Изменятся ли результаты вычисления, если за начальное значение взять другую варианту вариационного ряда?

3.Каково практическое значение начальных моментов?

4.Для чего используются основные моменты ?

5.Дать оценку косости и крутости кривой распределения.

26

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ПО СПОСОБУ СУММ

Начальные моменты по способу сумм вычисляются значительно быстрее, так как умножение заменяется сложением и вся работа сводится к простому подсчету при помощи калькулятора.

Для вычисления начальных моментов вариационного ряда по диаметру (m1, m2, m3, m4) по способу сумм составляется табл.4.1. Против наибольшей численности ряда распределения, соответствующей начальному значению х0=22, проводят черту, которая разделяет таблицу на верхнюю и нижнюю части. Далее суммируют отдельно верхнюю и нижнюю части таблицы с нарастающим итогом по направлению от конца столбца к середине. Заканчивается запись в каждом столбце на один интервал раньше, чем в предыдущем. Каждый следующий столбец составляется ив предыдущего.

Далее подсчитывается сумма верхней части столбцов (b1=170, b2=130, b3=54, b4=9) и сумма нижней (a1=156,a2=140, a3=85, a4=35). Кроме того, вычисляют суммы и разности верхней и нижней частей столбцов. При нахождении разности верхняя часть столбцов считается отрицательной.

Таблица 4.1. Вычисление начальных моментов по способу сумм

	Диаметр, хj,	Численность	b1=170	b2=130	b3=54	b4=9
	см	nj, шт
	10	9	9	9	9	9
	13	18	27	36	45	—————
	16	22	49	85	———————————
	19	36	85	—————————————————
	22	41	————————————————————————
	25	30	74	—————————————————
	28	20	44	82	———————————
	31	15	24	38	58	—————
	34	5	9	14	20	27
	37	3	4	5	6	7
	40	1	1	1	1	1
	Всего	200	a1=156	a2=140	a3=85	a4=35

В нашем примере сумма по столбцам равна: S1=a1+b1=156+170=326; S2=a2+b2=140+130=270; S3=a3+b3=85+54=139; S4=a4+b4=35+9=44

Разность по столбцам равна:

27

d1=a1-b1=156-170=-14; d2=a2-b2=140-130=10; d3=a3-b3=85-54=31; d4=a4-b4=35-9=26

До вычисления начальных мементов проверяют правильность составления таблицы сумм. Численность всех единиц наблюдения (Σn=200) должна равняться сумме наибольших значений накопленных численностей столбцов a1, b1 и численности вариационного ряда, стоящей у сплошной линии. В нашем примере Σn=85+74+41=200. Далее проверяется

правильность вычислений столбцов b1, b2, b3, a1, a2, a3.
Верхняя часть стоблца	b1=85+85=170;
нижняя часть стоблца	a1=82+74=156;
Верхняя часть стоблца	b2=45+85=130;
нижняя часть стоблца	a2=57+82=140;
Верхняя часть стоблца	b3=9+45=54;
нижняя часть стоблца	a3=27+58=85;
После проверки правильности составления таблицы сумм
приступают к вычислению начальных моментов:

m						d1				14			0,070												(4.1)
1						n			200
m2						S1		2S2					326 2 270							866	4,330				(4.2)
																				200
								n							200
m3			d1					6d2 6d3								14 6 10 6 31							232	1,160	(4.3)
									n								200			200
m4				S1 14S2 36S3											24S4				326 14 270 36 139 24 44
											n									200					(4.4)
	10166							50,83
		200

По способу сумм получены такие же моменты, что и по способу произведений. Зная первый и второй начальные моменты, по формулам (3.7), (3.8) вычисляют среднее значение и среднее квадратичное отклонение, а затем по формулам (2.3), (2.4), (2.5), (2.7) коэффициент изменчивости, основную ошибку среднего значения, точность опыта и достоверность среднего значения.

Опираясь на вычисленные способом сумм начальные моменты можно определить центральные, основные моменты, меру косости и

28

крутости кривой распределения, используя методические указания в предыдущей работе (разделы 3.2., 3.3., 3.4.).

В заключение необходимо ответить на следующие вопросы:

1.Каково преимущество вычисления начальных моментов по способу сумм и на чем основывается этот способ?

2.Почему центральные моменты вычисляют через начальные мо-

менты?

3.Почему начальное значение берут в середине вариационного ряда?

29

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ВЫБОРКИ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ СПОСОБОМ

Основоположником теории малых выборок является английский ученый В.С.Госсет, печатавшийся под псевдонимом Стьюдент. Оперируя с выборками небольшого объема, содержащим не более 25-30 вариант, в 1908 г. Стьюденту удалось открыть закон распределения выборочных средних в зависимости от объема выборки. Ценность его работы заключалась в том, что описанный им закон распределения оказался применимым к выборочным совокупностям любого размера, включая и малые выборки. Дальнейшее развитие теория малых выборок получила в работах Р.А.Фишера и других ученых, о которых можно ознакомиться в учебных пособиях А.Н.Дьячкова [11], А.К.Митропольского [21], Н.Н.Свалова [25], О.А.Трулля [27], Г.Ф.Лакина [16] и др.

Единицы наблюдения малой выборки не сводятся в вариационный ряд, а обрабатываются непосредственно. Для этого из табл.1.1 берется каждый десятый диаметр и заносят в табл.5.1.

Таблица 5.1. Вычисление статистических показателей малой выборки

№	Диаметр хj, см	хj - М	(хj – М)2	№	Диаметр хj, см	хj - М	(хj – М)2
1	2	3	4	1	2	3	4
1	15,0	-7,7	59,29	11	32,0	9,3	86,49
2	19,5	-3,2	10,24	12	26,0	3,3	10,89
3	15,0	-7,7	59,29	13	18,0	-4,7	22,09
4	18,0	-4,7	22,09	14	22,5	-0,2	0,04
5	19,5	-3,2	10,24	15	21,0	-1,7	2,89
6	23,5	0,8	0,64	16	23,5	0,8	0,64
7	36,0	13,3	176,89	17	36,0	13,3	176,89
8	19,0	-3,7	13,69	18	15,5	-7,2	51,84
9	21,5	-1,2	1,44	19	32,0	9,3	86,49
10	22,0	-0,7	0,49	20	19,0	3,7	13,69
				Всего	454,5	-	806,25

Сначала вычисляется среднее значение диаметра:

M	x	1	x	2	x	3	x	k		xj	(5.1)
					n					n

где x1,x2,…,xк – варианты (в данном случае диаметры); Σn – сумма вариант.

Для нашей малой выборки среднее значение диаметра

M xj 454,5 22,7см

n

20

30

Далее от каждого диаметра вычисляют средний арифметический диаметр (гр.3), возводят эту разность в квадрат (гр.4), подсчитывают сумму квадратов отклонений, а затем вычисляют статистические показатели.

Среднее квадратичное отклонение для малой выборки определяется по формуле

x1 M 2 x2 M 2 xk

M 2

xj M 2

,

(5.2)

n 1

n 1

где

х1,х2,…,.хk – варианты (диаметры);

Σn-1 – сумма численностей малой выборки без единицы.

Среднее квадратичное отклонение для нашего примера

xj M 2

806,25

42,4 6,51

n 1

20 1

Остальные статистические показатели (mM1, C, p, t) вычисляют по формулам (2.3), (2.4), (2.5), (2.7).

Основная ошибка среднего значения

	mM						6,51			6,51	1,45см
			n				n
								4,48

Коэффициент изменчивости

C 100 6,51 100 28,7% M 22,7

Точность опыта

p mM 100 1,45 100 6,4% M 22,7

Достоверность среднего значения

t1		M		22,7	16
		mM
			1,45

Среднее значение достоверно, так как t1>4.

Для последующей оценки малых выборок с различным числом единиц наблюдения необходимо вычислить статистические показатели по выборке, состоящей из 10 деревьев. Для этого из исходного задания (табл.1.1) берется каждый двадцатый диаметр и заносится в табл.5.2.

Вычисление статистических показателей малой выборки из 10 де-

ревьев (табл.5.2) проводится по формулам (5.1), (5.2), (2.3), (2.4), (2.5), (2.7).

По данным формулам вычислены статистические показатели, которые имеют следующие значения: M=20,9 см; σ=3,16 см; mM=1,0 см;

с=15,1%; р=4,8%; t1=21.