моделирование экосистем

41

42

(гр.3) приблизительно равны ±3. В нашем примере неименованное среднее квадратичное отклонение (σ'=2,08) равно сумме Σf(x)=2,07876=2,08. Следовательно, вычисления сделаны правильно.

В гр.7 записывают произведение r3 f III(x) с обратным знаком по

6

сравнению со значениями графы 5, при условии положительной косости (в нашем примере r3=0,23). При отрицательной косости знаки в графах 5,7 совпадают. Частное от деления третьего основного момента на шесть для

данного примера равно: r3 0,23 0,0383. В каждом интервале это от-

6 6

ношение перемножается на f(x). Для первого интервала находим произве-

дение	r3	f III(x) 0,0383 0,10034 0,00384, для второго	интервала –
6
0,0383·0,14919=-0,00571 и т.д. В гр.8 записывается			произведение

r4 3f IV(x). При этом знак определяется мерой крутости i=r4-3.

24

Если мера крутости положительная, r4>3, третий член уравнения обобщен-

ной нормальной кривой r4 3f IV(x) получает знак четвертой производной,

24

то есть знак, указанный в прил.4. Если мера крутости отрицательная, r4<3, то знак берется обратный тому, который указан для fIV(x).

В рассматриваемом примере мера крутости отрицательна: j=r4-3=2,741-3=-0,259.

Найдем выражение r4 3 0,259 0,01079 24 24

Перемножая найденную величину (-0,01079) на четвертую производную fIV(x) (rp.6), получают четвертый член обобщенного уравнения кривой типа А (гр.8). Так, для первого интервала четвертый член обоб-

щенного уравнения равен: - 0,01079·0,13910 = - 0,00150; для второго интервала - 0,01079·0,02040= - 0,00022 и т.д.

В графе 9 приведена алгебраическая сумма данных граф 4,7,8. Для вариационного ряда значения функции fA(х) по интервалам будут равны:

fA1(х) = 0,00687 - 0,00384 - 0,00150 = 0,001; fA2(х) = 0,02406 - 0,00571 - 0,00022 = 0,018;

……………………………………………..

fA13(х) = 0,00578 + 0,00352 - 0,00149 = 0,007;

Сумма значений графы 9 должна быть равна неименованному среднему квадратичному отклонению, то есть ∑fA(x)=σ'. В нашем примере ∑fA(x)=2,084, а σ'=2,08, то есть до второго знака результаты совпадают, что свидетельствует о правильности расчетов. Последним этапом работы явля-

43

ется нахождение численностей обобщенного нормального распределения по формуле

~	N
nj		fА(x),	(7.2)

где N – общая численность выборки;

σ' – неименованное среднее квадратичное отклонение; fА(x) – функция обобщенного нормального распределения.

Для нашего вариационного ряда численности обобщенного нормального распределения равны:

	~			200			;
	n1					0,001 96,1 0,001 0,1
				2,08
	~			200				;
	n2					0,018 96,1 0,018 1,7
				2,08
	~			200				;
	n3					0,068 96,1 0,068 6,5
				2,08

……………………………………

	~		200	0,007 96,1 0,007 0,7.
	n13
			2,08

Вычисленные теоретические численности кривой типа А записывают в графу 10. В графе 11 приводят численности обобщенной кривой распределения в процентах, которые для наглядности наносят на график.

Взаключение следует ответить на следующие вопросы:

1.Какие характеристики необходимы для вычисления численностей обобщенной нормальной кривой?

2.В каких случаях применяется для выравнивания вариационных рядов уравнение Шарлье?

З. Что характеризуют первый, второй и третий члены уравнения Шарлье?

4.Как проверяется правильность вычисления теоретических численностей по уравнению Шарлье?

44

8. КРИТЕРИИ ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЯ ФАКТИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

При вычислении теоретических численностей распределения разными способами необходимо дать заключение о пригодности того или иного метода для выравнивания данной статистической совокупности. Ожидать полного совпадения фактических и вычисленных численностей нельзя, так как мы имеем дело с выборочной совокупностью. Такое совпадение мало вероятно даже в том случае, когда генеральная совокупность подчиняется закону распределения, который мы применяем для выравнивания частичной совокупности. Закон больших чисел показывает, что выборочная совокупность отражает свойства генеральной совокупности с той или иной вероятностью, которая при увеличении численности выборки возрастает. Чтобы судить, насколько пригоден установленный тип кривой для выравнивания данного ряда распределения, определяют критерии Пирсона или Колмогорова-Смирнова.

8.1. Критерий Пирсона

Критерий предложен Карлом Пирсоном для определения степени отличия численностей фактического распределения от теоретического. Величина его вычисляется по формуле

	2		~	2
			n n	,	(8.1)
			~
			n

где n - фактическая численность;

~ - теоретическая численность. n

Эмпирическое значение χ2 определяется при условии, что интервалы не имеют очень малой численности. Поэтому для правильного применения критерия χ2 рекомендуется объединять крайние интервалы теоретического и фактического рядов, чтобы численности их составляли не менее пяти. Фактические и теоретические численности записывают в табл.8.1. предварительно объединив численности крайних интервалов. Теоретические численности в данном примере взяты из табл.6.1, где они вычислены способом Гаусса-Лапласа.

Находят разность между фактической и теоретической численностями для каждого интервала (гр.4), возводят ее в квадрат (гр.5) и квадрат разности каждого интервала делят на теоретическую численность данного интервала (гр.6).

45

Суммы положительных и отрицательных разностей четвертой графы должны быть равны, если вычисления сделаны правильно. Итоговые данные шестой графы χ2=2,88.

Таблица 8.1. Вычисления меры совпадения фактического и теоретического вариационных рядов (по Пирсону)

Диа-	Численности, шт										~		2
				~	~	2			n	j	n	j
метр	Фактическая	Теоретическая	nj	nj	(nj nj)		2
											~
xj, см	nj	n~j									nj
1	2	3		4	5			6
≤10	9	9,4	-0,4		0,16			0,02
13	18	14,2	+3,8		14,44			1,01
16	22	25,0	-3,0		9,00			0,36
19	36	34,8	+1,2		1,44			0,04
22	41	38,4	+2,6		6,76			0,18
25	30	33,6	-3,6		12,96			0,39
28	20	23,4	-3,4		11,56			0,49
31	15	13,0	+2,0		4,00			0,31
≥34	9	8,2	+0,8		0,64			0,08
Всего	200	200		0	-			2,88

Когда найдено эмпирическое значение χ2, надо произвести его оценку путем сравнения со стандартными значениями этого критерия (прил.6). Стандартные значения χ2 приведены для разного числа степеней свободы и трех уровней вероятности безошибочных прогнозов.

	Подсчет числа степеней свободы производят по формуле
	V = к - q,	(8.2)
где	к - число образованных интервалов (классов);
	q - число ограничений.

Внашем примере к = 9 (табл.8.1). Число ограничений в нормальном распределении q=3, а при подборе кривой распределения Шарлье q=5.

Впроцессе вычисления теоретической кривой Гаусса-Лапласа использованы число единиц, среднее значение и среднее квадратичное отклонение, то есть потеряно три степени свободы (число ограничений равно трем). Поэтому число степеней свободы, применительно к данным табл.8.1, будет равно V = к – q = 9 – 3 = 6.

При вычислении теоретической кривой Шарлье (кривая типа А) использованы число единиц, среднее значение, среднее квадратичное отклонение, третий и четвертый основные моменты, то есть потеряно пять степеней свободы, поэтому V = к - 5.

46

При определении различий между фактическим и теоретическим распределениями обычно применяют три уровня надежности (вероятности безошибочных прогнозов), которые приводятся в табл.8.2.

Таблица 8.2. Три уровня надежности (вероятности безошибочных прогнозов)

Уровни	Минимальная вероятность	Ответственность исследований при ана-
(пороги)	безошибочных прогнозов	лизе расхождений фактических и теоре-
		тических распределений
I	0,95	Повышенная
П	0,99	Обычная
III	0,999	Пониженная

Согласно прил.6 стандартное значение χ2st для степеней V=к-3=9-3=6 равно 12,6; 16,8; 22,5. Стандартное значение χ2 I уровня надежности 12,6;

для II уровня 16,8; для III – 22,5.

Фактическое значение χ2 = 2,88 меньше стандартного χ2st =12,6. Различие недостоверно. Опытное распределение можно считать нормальным, а отличие его от теоретического является случайным, так как эмпирический критерий χ2 = 2,88 не достигает I уровня надежности χ2st =12,6.

8.2. Критерий Колмогорова и Смирнова

Критерий предложен учеными А.Н.Колмогоровым и Н.В. Смирновым для оценки различий между фактическими и теоретическими распределениями. Для применения критерия необходимо иметь достаточно большую численность сравниваемых распределений (несколько десятков).

Для сравнения фактического и теоретического распределений при одинаковом числе интервалов и численностей критерий определяется по формуле

~	max ,	(8.3)
n n

N

где ~ max - максимальная разность между накопленными факти- n

n

ческими и теоретическими численностями одного и того же класса (без учета знака);

N – общая численность фактического распределения.

Эмпирический критерий оценивается по трем постоянным стандартным значениям: 1,36; 1,63; 1,95. Различие считается случайным (недостоверным), если эмпирический критерий не достигает требуемого уровня надежности (табл.8.3).

47

Таблица 8.3. Стандартные значения критерия λ

Уровни	Минимальная вероятность	Критерий	Ответственность
(пороги)	безошибочных прогнозов	λ	исследований
I	0,95	1,36	Повышенная
П	0,99	1,63	Обычная
Ш	0,999	1,95	Пониженная

Для определения критерия ламбда составляются ряды накопленных фактических (гр.2) и теоретических (гр.5) численностей, находится разность накопленных численностей (гр.4), а затем ее максимальное значение

(табл.8.4).

Таблица 8.4. Вычисление критерия λ. (ламбда)

Диаметр хj,	Численность, шт.		Накопленная численность,			~
			шт.			n n
см
	фактическая	теоретиче-	фактическая		теоретиче-
	n	~	n		~
		ская n			ская n
1	2	3	4		5	6
4	-	0,6	-		0,6	0,6
7	-	2,4	-		3,0	3,0
10	9	6,4	9		9,4	0,4
13	18	14,2	27		23,6	3,4
16	22	25,0	49		48,6	0,4
19	36	34,8	85		83,4	1,6
22	41	38,4	126		121,8		4,2
25	30	33,6	156		155,4		0,6
28	20	23,4	176		178,8	2,8
31	15	13,0	191		191,8	0,8
34	5	5,6	196		197,4	1,4
37	3	2,0	199		199,4	0,4
40	1	0,6	200		200	0
Всего	200	200	-		-	-

Примечание. Максимальная разность накопленных численностей заключена в рамку.

В нашем примере

~				max		4,2					4,2
	n n											0,30
		N				200				14,1

Эмпирический критерии ламбда меньше стандартного (0,30<1,36). Следовательно, различие фактического и теоретического рядов по ГауссуЛапласу недостоверно. Нет достаточных оснований считать, что изучаемое распределение стволов по диаметру отличается от нормального.

В заключение следует ответить на следующие вопросы:

I. Как оценивается достоверность различия двух рядов распределений с одинаковым числом единиц наблюдения?

48

2. Какому закону распределения подчиняется изучаемая статистическая совокупность и почему?

49

9. ПОКАЗАТЕЛИ МЕРЫ СВЯЗИ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ СТАТИСТИЧСЕКИХ ВЕЛИЧИН

Биологические явления природы могут быть поняты, если они рассматриваются в неразрывной связи с окружающей средой, то есть на системном уровне. Поэтому выявление тесноты и характера этой связи имеет важное практическое и теоретическое значение. Каждый признак любого явления обусловлен рядом факторов. На практике приходится анализировать связь двух или более самых существенных признаков в общей связи явлений. Конкретную связь между признаками приходится изучать изолированно, чтобы лучше выявить влияние интересующих нас явлений.

Вбиологических исследованиях изучают корреляционную связь, когда общему значению независимой переменной х соответствует несколько значений зависимой переменной y.

Вкачестве независимого признака берут такое явление, которое легко можно определить и использовать его значение для вычисления наиболее трудно определимого зависимого признака. В этом заключается практический смысл нахождения связей. Показателем тесноты связи служат коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Вычисление этих показателей большой и малой выборки методически отличается. Для вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения большой выборки, единицы статистической совокупности сводят в корреляционную таблицу (см.табл.1.7), малая выборка до 25-30 единиц обрабатывается иначе.

9.1. Вычисление коэффициента корреляции, корреляционного отношения и других численных характеристик корреляционной таблицы

Коэффициент корреляции и корреляционное отношение определяют для установления тесноты связи между двумя статистическими величинами. Коэффициент корреляции характеризует линейную корреляционную связь двух статистических величин. Для измерения нелинейной связи применяется корреляционное отношение. Обычно эти два показателя вычисляются одновременно. При криволинейной связи корреляционное отношение всегда больше коэффициента корреляции и тем больше последнего, чем сильнее изогнута кривая линия связи между двумя статистическими величинами. При прямолинейной связи оба показателя равны или разница между ними не превышает их основных ошибок. Если связь прямая, то с увеличением значений одного признака возрастают значения другого. При

50

обратной связи с увеличением значений одного признака другой признак уменьшается.

Коэффициент корреляции изменяется от 0 до +1 при прямой связи и от 0 до -1 при обратной связи. Корреляционное отношение всегда положительная величина, изменяющаяся от 0 до +1. Чем ближе к единице значение коэффициентов, тем теснее связь между изучаемыми статистическими величинами.

По величине коэффициента корреляции для линейной связи и корреляционному отношению для линейной и нелинейной связей устанавливается теснота связи. Для этого проф. М.Л. Дворецкий [9] дает следующие придержки (табл.9.1).

Таблица 9.1. Оценка тесноты связи

	Коэффициент корреляции или	Теснота связи
	корреляционное отношение
	До 0,30	Слабая
	0,31-0,50	Умеренная
	0,51-0,70	Значительная
	0,71-0,90	Высокая
	0,91 и более	Очень высокая

Для вычисления численных характеристик единицы выборочной совокупности сводят в корреляционную таблицу относительно двух статистических величин (диаметра и высоты). Рассмотрим выборочную совокупность из двухсот деревьев. Для этого подготовляется рабочая таблица. Значения независимого признака х записывают в столбцы, а зависимого у - в строчки. В качестве независимой переменной обычно принимают показатель, который легко можно измерить и на основе его найти вероятные размеры зависимого признака, измеряемого с большим трудом. В табл.9.2 зависимый признак - высота, независимый - диаметр. В соответствии с установленными интервалами по диаметру и высоте последовательно заносят деревья в таблицу распределения.

После этого образуют с правой стороны восемь столбцов, а внизу восемь строк.

Встолбце 1 и строчке 1 находят суммы численностей по интервалам,

азатем всей совокупности. Столбцы 2, 3, 4, а также строчки 2, 3, 4 заполняют в соответствии с правилами вычисления первого и второго начальных моментов по способу произведений.

Встолбце 5 записывают суммы произведений каждого отклонения по высоте ку на соответствующие численности nxy, которые находятся в клетках данной строчки. Например, число -34 (см. табл.9.2, столбец 5,