моделирование экосистем

					81
В нашем примере Dф=219,3.
Таблица 12.3. Вычисление фаториальной дисперсии (М0=18,0)
Градация	Средние значе-	Число повто-	Центральные	(МГ-М0)2	(МГ-М0)2n
		рений по гра-
фактора (воз-	ния высоты по	дациям	отклонения
раста), лет	градациям МГ, м		МГ-М0
		n
80	12,6	5	-5,4	29,16	145,8
120	18,0	7	0	0	0
160	20,5	6	2,5	6,25	37,5
200	21,0	4	3,0	9,00	36,0
Итого	-	22	-	-	219,3

Случайная (внутригрупповая) дисперсия определяется как сумма квадратов центральных отклонений отдельных значений результативного признака данной градации от своей средней. Случайная дисперсия рассчитывается сначала по каждой градации:

	Dc y MГ 2	(12.5)
где	у – результативный признак;
	МГ – среднее значение градации.

Затем определяется дисперсия для каждого комплекса как сумма дисперсий всех градаций.

В пределах одной градации отдельные показатели результативного признака разнообразны. Например, в пределах градации возраста 80 лет высоты составили 14, 15, 10, 8, 16 м (см. табл.12.2). Изменчивость внутри групп дисперсионного комплекса характеризует влияние случайных (неорганизованных) причин, которые в эксперименте не учтены (неизвестны). Так как неорганизованных факторов, действующих на результативный признак в разных направлениях много, их влияние рассматривается как случайное, не вытекающее из закономерности действия организованных факторов.

Для нашего примера имеем

Dc1 14 12,6 2 15 12,6 2 10 12,6 2 8 12,6 2 16 12,6 2 47,2 Dc2 23 18 2 21 18 2 20 18 2 14 18 2 17 18 2 12 18 2

19 18 2 92,0

Dc3 24 20,5 2 20 20,5 2 17 20,5 2 23 20,5 2 16 20,5 2

23 20,5 2 57,5

Dc4 22 21 2 19 21 2 22 21 2 21 21 2 6,0

82

Случайная дисперсия всего комплекса

DC DC1 DC2 DC3 DC4 47,2 92,0 57,5 6,0 202,7

Общая дисперсия складывается из факториальной и случайной дисперсий: D0=Dф+DC=219,3+202,7=422,0.

Общая дисперсия определяется так же, как сумма квадратов центральных отклонений отдельных значений результативного признака по общей средней по всему комплексу. Она характеризует рассеяние всех вариант комплекса относительно общей средней (табл.12.4).

Таблица 12.4. Вычисление общей дисперсии (М0=18,0)

Высота у, м	14	15	10	8	16	23	21	20	14	17	12		19
Центральное	-4	-3	-8	-10	-2	5	3	2	-4	-1	-6		1
отклонение
уi-M0
(уi-M0)2	16	9	64	100	4	25	9	4	16	1	36		1
Высота у, м	24	20	17	23	16	23	22	19	22	21	Итого
Центральное	6	2	-1	5	-2	5	4	1	4	3		0
отклонение
уi-M0
(уi-M0)2	36	4	1	25	4	25	16	1	16	9		422

Общая дисперсия по табл.12.4 равна 422, т.е. не отличается от дисперсии, определенной по формуле (12.1).

12.2.4. Вычисление дисперсий комплекса упрощенным способом

Непосредственное вычисление дисперсий наглядно, но требует выполнения сложных арифметических действий. В вариационной статистике разработаны более простые способы вычисления дисперсий. Сначала выполняются вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления дисперсий.

Произведем вспомогательные расчеты применительно к нашему примеру (см.табл.12.2):

1.Сумма всех высот комплекса ΣΣу=63+126+123+84=396.

2.Количество деревьев в комплексе N=22.

3. Средний квадрат суммы всех высот комплексов

S y 2 3962 7128. N 22

4. Сумма средних квадратов суммы по градациям комплекса

S S1 S2 S3 SK (12.6)

где ΣS1, ΣS2, ΣS3,…,ΣSК – средние квадраты суммы вариант комплекса по отдельным градациям.

83

		y 2			632									3969
В нашем примере имеем S		1																	793,8
1			n1		5									5
S2	y2 2							1262										15876				2268,0
			n2		7									7
S3			y3 2				1232										15129				2521,5
			n3
					6									6
S4	y4 2							842								7056				1764,0
			n4		4									4

S 793,8 2268,0 2521,5 1764,0 7347,3

5.Сумма квадратов всех высот по комплексу

y 2	y2	y	2	y	2	y	2	(12.7)
	1		2		3		k

где y1, y2, y3,…,yk – высота деревьев.

В нашем примере Σ(y)2=(142+152+102+82+162)+(232+212+202+142+172+122+ +192)+(242+202+172+232+162+232)+(222+192+222+212)=841+2360+2579+1770 =7550.

Вспомогательные расчеты используются для вычислений дисперсий:

Dф S ( y)2 7347,3 7128 219,3 N

Dc (y)2 S 7550 7347,3 202,7

D0 (y)2 ( y)2 7550 7128 422. N

12.2.5. Вычисление показателя силы и достоверности влияния Показатель силы влияния вычисляется как отношение факто-

риальной дисперсии к общей. Он характеризует отношение влияния изучаемого фактора к общей сумме влияния всех факторов, определяющих величину и разнообразие результативного признака.

Сила влияния вычисляется по формуле

	2	Dф	(12.8)
		D0

В нашем примере η2 = 219,3 : 422 = 0,52.

Полученный показатель силы влияния η2 вскрывает достаточно сильную зависимость высоты деревьев от возраста. Показатель силы влияния равен квадрату корреляционного отношения, поэтому показатель силы влияния всегда больше нуля и не может быть отрицательным. Если из-

84

влечь квадратный корень из показателя, получится корреляционное отношение, характеризующее зависимость между двумя величинами. В нашем примере среди всех факторов, определивших увеличение высоты деревьев, 52% приходится на действие возраста.

Показатель достоверности влияния определяется по критерию Фишера

2
F	ф	(12.9)
2
	с

где F - эмпирический критерий достоверности силы влияния; σф - факториальная варианса; σс - случайная варианса.

Расчет показателя достоверности влияния начинается с вычисления факториальной и случайной варианс.

Факториальная (межгрупповая) варианса

ф2 Dф g 1

где g - число градаций изучаемого фактора; g - 1 - число степеней свободы.

Для нашего примера факториальная варианса

2 219,3ф 4 1 73,1

Случайная (внутригрупповая) варианса

2с Dс N g

где N – численность всего комплекса; N-g – число степеней свободы.

(12.10)

(12.11)

Для нашего примера

2 202,7

с 22 4 11,26

Достоверность силы влияния

F ф2 73,1 6,5с2 11,26

Эмпирический критерий достоверности силы влияния сравнивается со стандартным критерием Фишера при разном уровне значимости. Стандартное значение критерия Фишера Fst берется из прил.3 по числу степеней свободы. Число степеней свободы в примере v1= g – 1 = 4 – 1 = 3; v2= N –

85

g = 22 – 4 = 18. Стандартное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости F0,05=3,2. Эмпирический критерий больше стандартного F> Fst ,(6,5 > 3,2). Влияние возраста деревьев на увеличение высоты доказано: достоверно при 5%-ном уровне значимости. На основе этого можно сделать вывод, что установленная закономерность свойственна всей генеральной совокупности, но с градациями возраста изучаемого дисперсионного комплекса.

Ошибка показателя силы влияния определяется по формуле

m (1	2	)	g 1	(12.12)
			N g

В нашем примере основная ошибка m (1 0,52) 3 0,08 18

Итак, показатель силы влияния с основной ошибкой η2±mη=0,52±0,08.

12.2.6.0пределение оптимальной величины действующего фактора

Для определения оптимальной величины действующего фактора используются средние значения результативного признака (групповые средние). В эксперименте обычно предусматриваются контрольные варианты, где действие изучаемого фактора не планируется. С контрольным вариантом сравнивают каждую факториальную группу, используя групповые средние значения с основной ошибкой. Существенность различия средних значений устанавливается по критерию Стьюдента.

Когда в эксперименте нет контрольного варианта, проводят сравнение смежных (соседних) групповых средних. В этом случае определяется та градация факториального признака, за пределами которой действие его не приводит к существенному изменению результативного признака.

В нашем примере при увеличении возраста высота деревьев в одних случаях стала больше, а в других осталась без изменения или уменьшилась, т.е. зависимость четко не просматривается. Из рисунка 12.1 видно, что более отчетливо влияние возраста на высоту отражают групповые средние, через точки которых проведена линия регрессии. Сначала видно заметное увеличение высоты, а после 160 лет высота практически не изменяется. Эти данные свидетельствуют о наличии возрастного периода, когда влияние действующего фактора на результативный признак отсутствует. Дисперсионный анализ позволяет точно установить этот период

(табл.12.5).

Оценку разности групповых средних проведем по критерию Стьюдента:

86

t

M1 M2

d

(12.13)

md

md

где

М1, М2 – средние значения высоты по градациям;

d – разность между средними значениями;

md – ошибка разности средних значений.

md

2

n1 n2

(12.14)

c

n n

2

1

где

c2- случайная (внутригрупповая) варианса;

n1, n2 – численности сравниваемых групп.

Вычислим ошибку разности средних высот в возрасте 80 и 120 лет;

5 7

md 11,26

1,96

5 7

Аналогичные расчеты выполнены для остальных возрастных групп и занесены в табл.12.5.

Таблица 12.5. Групповые средние по градациям факториального признака

		Число					Стан-
	Града-		Среднее	Разность		Критерий	дартное
		повторе-			Ошибка
				между сред-			значение
	ции	ний по	значение			Стьюден-		Оценка
				ними значе-	разности		критерия
	фактора	градаци-	высоты по	ниями	средних	та (фак-	Стьюден-	разницы
	(возрас-	ям (де-	градациям	смежных	md	тический)	та при
	та), лет	ревьев)	МГ, м	групп, м		t	вероятно-
		n
							сти 0,95 tst
	80	5	12,6	5,4	1,96	2,8	2,1	достоверна
	120	7	18,0
				2,5	1,86	1,3	2,1	недосто-
	160	6	20,5					верна
				0,5	2,16	0,2	2,1	недосто-
	200	4	21,0					верна

Критерий Стьюдента, оценивающий различие средних высот в возрасте 80 и 120 лет

t	M1 M2		18 12,6			5,4	2,8
	md				1,96
		1,96

При вероятности 0,95 и числе степеней свободы случайной вариансы N-g=22-4=18 стандартное значение критерия Стьюдента tst=2,1 (см.прил.2). Различие между групповыми средними значениями в возрасте 80 и 120 лет достоверно, так как t>tst (2,8>2,1).

87

Аналогичные расчеты, выполненные для других групповых средних значений смежных возрастных групп, приведены в табл.12.5. По критерию Стьюдента можно сделать вывод, что, начиная с возраста 160 лет, в исследуемом разновозрастном еловом лесу средние высоты увеличиваются очень мало, а различие становится недостоверным.

12.2.7. Результаты однофакторного дисперсионного анализа

Итоговые данные однофакторного дисперсионного анализа могут быть представлены в различной форме, в зависимости от того, насколько подробные сведения требуются. Наиболее приемлемая форма представления результатов дисперсионного комплекса приведена в табл.12.6.

Таблица 12.6. Результаты дисперсионного анализа однофакторного комплекса

Разнообразие при-	Дисперсия	Степень	Варианса	Показатель силы влияния и
знаков		свободы		его достоверность
Факториальное	219,3	3	73,1	η2±mη=0,52±0,08
(межгрупповое)
Случайное (внутри-	202,7	18	11,26	F=6,5
групповое)
Общее	422	21	-	F0,05=3,2

12.3.Дисперсионный анализ двухфакторного комплекса

12.3.1. Подбор факторов и разделение их на градации

При организации двухфакторных комплексов имеются ограничения в выборе факторов. Они должны быть независимы друг от друга. Факторы могут иметь количественные и качественные градации. Количественные градации выражаются цифрами: температура 10,15,20°С; доза удобрений 200, 250, 300 кг/га и т.д. Качественные градации относятся к неизмеримым показателям (состояние, цвет, область, условия местопроизрастания, типы структуры древостоев и т.д.).

При двухфакторном комплексе каждый фактор разделяется на градации. Для каждой градации первого фактора должно быть подобрано одинаковое число градаций второго фактора.

Объекты для дисперсионного анализа подбираются методом случайного отбора. По количеству они распределяются по градациям факторов поровну, пропорционально или неравномерно. В соответствии о этим различают равномерные, пропорциональные и неравномерные дисперсионные комплексы.

88

12.3.2.Построение дисперсионного комплекса

Построение дисперсионного двухфакторного равномерного комплекса разберем на конкретном примере. В сомкнутых таежных ельниках выполнен эксперимент по изучению количества елового подроста в зависимости от широтной зональности (первый фактор) и типа возрастной структуры (второй фактор). Для каждой градации фактора взяты пять пробных площадей. Первый фактор А - подзона тайги: градации А1- северная, А2- средняя. Второй фактор В - тип возрастной структуры: В1- одновозрастные древостой, В2- разновозрастные древостои. Результативный признак - количество елового подроста на 1га (табл.12.7).

Формирование комплекса начинается с вычисления групповых средних по всем градациям (с учетом их сочетаний) МГ. Средние арифметические величины вычисляют как частное от деления суммы результативного признака в пределах каждой градации на число повторений (опытных объектов).

Таблица 12.7.Двухфакторный равномерный дисперсионный комплекс

		Градации подзон тайги при различных типах возрас-
	Показатели		тной структуры
		Северная А1		Северная А2
		одновозра-	разновозра-	одновозра-	разновозра-
		стные В1	стные В2	стные В1	стные В2
	Количество подроста ели на	1,5	1,8	1,2	3,4
	1га, тыс.шт у	1,2	2,4	1,7	2,9
		1,4	1,5	1,3	2,8
		1,0	2,0	1,8	2,2
		1,3	1,9	1,4	2,0
	Число опытных участков n	5	5	5	5
	Сумма численностей подроста	6,4	9,6	7,4	13,3
	Σу
	Среднее количество подроста	1,28	1,92	1,48	2,66
	ели на 1га , тыс.шт МГ

При рассмотрении средних величин по градациям в пределах факторов А1 и А2 видно, что количество подроста ели по мере усложнения возрастной структуры увеличивается. С другой стороны, широтная зональность также оказывает влияние на количество подроста. Количество подроста ели в ельниках северной подзоны для одного и того же типа структуры древостоя меньше, чем в средней. Рассмотрение ряда групповых средних – первая фаза дисперсионного анализа.

Наиболее важным этапом дисперсионного анализа является получение численных характеристик и точных мер влияний в дисперсионном

89

комплексе. В двухфакторном дисперсионном комплексе анализируются влияния:

первого фактора А; второго фактора В;

сочетаний градаций факторов АВ; суммарного действия организованных двух факторов А+В+АВ=Х;

суммарного действия неорганизованных (случайных) факторов Z; суммарного действия всех факторов (организованные и неорганизован-

ные), определяющих величину результативного признака X+Z=Y.

12.3.3.Вычисление дисперсий комплекса

Вычисление дисперсий – одна из важных составных частей анализа двухфакторного комплекса. Однако сначала вычисляются вспомогательные величины.

Средний квадрат суммы всех вариант комплекса

			S		( y)2									36,7			2			1346,89										67,34		(12.15)
						N								20							20
	Сумма средних квадратов суммы по всем градациям комплекса
	( y )2		( y	2	)2		( y				3		)2									( y		k	)	2
S	1																															(12.16)
	n1		n2					n3														nk
						6,42							9,6				2			7,4			2			13,32
В нашем примере S																															72,95
																				5									5
						5							5
	Сумма квадратов всех вариант (количества подроста на 1 га) по ком-
плексу
			(y)			2 y2					y2 y3										y								2			(12.17)
						1							2				3												k

Следует предварительно рассчитать сумму квадратов отдельно для каждой градации, а затем эти частные суммы сложить. В данном эксперименте

Σ(у)2=(1,52+1,22+1,42+12+1,32)+(1,82+2,42+1,52+2,02+1,92+1,22+1,72+1,32+ +1,82+1,42)+(3,42+2,92+2,82+2,22+2,02)=8,34+18,86+11,22+36,65=75,07.

При дисперсионном анализе двухфакторных комплексов сначала вычисляют шесть исходных дисперсий (сумм квадратов центральных отклонений) по шести изучаемым влияниям.

Дисперсии комплекса можно вычислить как сумму квадратов центральных отклонений. Приведем боле простой способ их расчета [23].

1. Дисперсия по первому фактору А(табл.12.8)

DA SA S

(12.18)

90

где SA – сумма средних квадратов по каждой градации первого фактора,

SA ( yA)2 ; nA

ΣSA – сумма средних квадратов сумм каждой градации первого фактора;

SΣ – средний квадрат суммы всех вариант комплекса, SΣ=67,34.

Таблица 12.8. Вычисление SA ,ΣSA, DA

Градация			n		Σy		SA	DA
фактора А
	А1		5+5=10		6,4+9,6=16,0		16,02:10=25,60	DA SA S
	А2		2+5=10		7,4+13,3=20,7		20,72:10=12,85	=68,45-67,34=1,11
Итого			20		36,7		68,45	-
	2.	Дисперсия по второму фактору В						(12.19)
				DВ SВ S
где	SВ – сумма средних квадратов по каждой градации второго фактора,

SВ ( yВ)2 ; nВ

ΣSВ – сумма средних квадратов суммы по каждой градации второго фактора;

SΣ – средний квадрат суммы всех вариант комплекса.

Для вычисления SВ необходимо выбрать данные из табл.12.9., которые относятся к каждой градации второго фактора, из всех градаций первого фактора (табл.12.10).

3. Дисперсия по сочетанию факторов АВ
DAB DX DA DB	(12.20)

где DX – дисперсия по суммарному действию, DХ=ΣS-SΣ; DА, DВ – дисперсии по первому и второму факторам.

Для нашего примера DАВ=5,61-1,11-4,14=0,36.

4. Дисперсия по суммарному действию обоих факоров

DX S S

(12.21)

где ΣS – сумма средних квадратов суммы по всем градациям комплекса; SΣ – средний квадрат суммы всех вариант комплекса.