моделирование экосистем

31

Таблица 5.2. Вычисление статистических показателей малой выборки

№	Диаметр хj, см	хj - М	(хj – М)2
1	19,5	-1,4	1,96
2	18,0	-2,9	8,41
3	23,5	2,6	6,76
4	19,0	-1,9	3,61
5	22,0	1,1	1,21
6	26,0	5,1	26,01
7	22,5	1,6	2,56
8	23,5	2,6	6,76
9	15,5	-5,4	29,16
10	19,0	-1,9	3,61
Всего	208,5	-	90,05

После вычисления статистических показателей из 20 и 10 деревьев (табл.5.1; 5.2), необходимо установить различие между средними значениями и средними квадратичными отклонениями двух малых выборок. В принципе показатель различия может быть вычислен для любых статистических величин, если известны основные ошибки сравниваемых показателей. В этом случае вычисляются основные ошибки среднего квадратичного отклонения, коэффициента варьирования, точности опыта двух малых выборок и определяется достоверность различия этих статистических величин по критерию Стьюдента.

Основная ошибка среднего квадратичного отклонения

m				;	(5.3)
		2N

основная ошибка коэффициента изменчивости

mс			С		;	(5.4)
			2N

основная ошибка точности опыта

mр			Р		;	(5.5)
			2N

где N – численность выборки.

В работе необходимо определить достоверность различия только двух показателей, M и σ.

При определении достоверности различия средних значе-

ний двух выборок используют формулу

t	M1 M2				tst ;	(5.6)
		m2	m2
	1		2

где M1,M2 - средние значения соответственно первой и второй выборок;

32

m1, m2 - основные ошибки;

tst - стандартное значение по Стьюденту

Стандартное значение tst находится по таблице Стьюдента (прил.2) на основании числа степеней свободы для заданного уровня вероятности безошибочного заключения): Р=0,95; Р=0,99; Р=0,999. При этом число степеней свободы равно V=n1+n2-2.

Если фактическое значение t больше стандартного tst для данного уровня вероятности, различие существенное, достоверное и его нельзя объяснить случайными причинами.

Если фактическое значение t меньше стандартного tst для данного уровня вероятности, различие недостоверно.

В нашем примере для первой малой выборки (n1=20); M1=22,7; m1=1,45. Для второй малой выборки (n2=10); M2=20,9; m2=1,00.

t	M1		M2			22,7 20,9					1,8	1,02
										1,76
		m2 m2				1,452 1,02
1			2

Число степеней свободы V=n1+n2-2=20+10-2=28.

Согласно прил.2 при числе степеней свободы V=28 стандартное значение критерия Стьюдента для трех уровней вероятности безошибочного заключения составляет 2,1; 2,8; 3.7. Фактическое значение t меньше стандартного по Стьюденту (t<tst). Следовательно, различие между двумя средними не доказано.

Когда сравнивают статистические показатели двух больших выборок существенность различия можно оценивать по табл.5.3

Таблица 5.3. Стандартное значение критерия t для оценки различия двух больших выборок

	Значение t	1	1,65	1,96	2,58	3,0	4
	Вероятность	0,68	0,90	0,95	0,99	0,997	1,0
	правильности
	Уровень	32	10	5	1	0,3	0
	значимости, %

Если показатель различия между двумя средними значениями 3 и больше, то различие можно считать существенным и вероятность составляет 0,997. При значении t меньше трех вероятность правильности уменьшается. Например, если показатель различия окажется равным 2, то возможность ошибки нашего заключения о существенности различия составила бы 5%, что для практических целей иногда бывает достаточно.

Уровень значимости - это вероятность того, что значение варьирующего признака находится вне указанных пределов. Чем больше вероят-

33

ность, тем меньше уровень значимости. При вероятности 0,95 уровень значимости 0,05 (5%). Это означает, что в 95 случаях из 100 наши выводы будут обоснованными и лишь в 5 случаях не подтвердятся.

Оценку различия средних квадратичных отклонений

двух малых выборок следует провести по критерию Фишера

		2	,	(5.7)
F	1
		2
		2

где σ1, σ2 - средние квадратичные отклонения первой и второй выборок,

а 12и 22 их дисперсии.

Отношение дисперсий берут таким, чтобы в числителе была большая, а в знаменателе меньшая дисперсия. Поэтому критерий Фишера всегда больше единицы.

Первая малая выборка, из 20 единиц, имеет σ1=6,51,а 12 =42,4. Вто-

рая малая выборка, из 10 единиц, имеет σ2=3,16,а 22 =10,0.

Критерий Фишере равен

F 12 42,4 4,2422 10,0

Р.А.Фишер получил значение F - критерия для разных уровней значимости и для различного числа степеней свободы. Число степеней свободы равно численности выборки без единицы (n-1).

Вприложении 3 при различном числе степеней свободы двух выборок приведены стандартные значения критерия Фишера для 5 и 1%-ных уровней значимости.

Впримере число степеней свободы первой малой выборки V1=n1- 1=20-1=19, второй выборки V2=n2-1=10-1=9. Из прил. 3 находим критерий F0,05=2,9, который меньше фактического F=4,24 (F>F0,05). Следовательно, можно считать доказанным различие дисперсии двух малых выборок при 5%-ном уровне значимости. Если ответственность вывода повысить и оценить различие дисперсий двух выборок при 1%-ном уровне значимости, то F0,01=4,8. Фактическая величина F =4,24, меньше стандартного (F<F0,01). Следовательно, различие дисперсий при 1%-ном уровне значимости не доказано.

Взаключение необходимо ответить на следующие вопросы:

1.Что называется малой выборкой? Чем отличается способ обработки малой и большой выборок?

34

2.Какие показатели характеризуют различие между двумя средними значениями? Как эти показатели вычисляются, и какие значения они принимают при различной вероятности?

3.Какое различие между статистическими показателями (М, σ) двух малых выборок?

4.Что такое уровень значимости? Какое значение принимает уровень значимости при различной вероятности?

35

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧИСЛЕННОСТЕЙ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В большинстве эмпирических распределений биологических явлений проявляется определенная закономерность - более частая встречаемость в центральных классах и постепенное убывание их частот по мере удаления от центра вариационного ряда. Такое распределение значений признака принималось за норму любого массового случайного проявления признаков и в соответствии с этим получило название – нормальное распределение. На это впервые обратили внимание выдающиеся математики Муавр и Ламберт (Англия), Гаусс (Германия), Лаплас (Франция) в начале 19-го столетия. В широкой научной и производственной практике он получил название закона нормального распределения Гаусса-Лапласа. В нормальной кривой распределения численности относительно среднего значения располагаются симметрично, а левая ветвь кривой не отличается от правой. Мера косости и мера крутости в таком распределении равны нулю, а среднеарифметическое, срединное (медиана) и наиболее частое значение (мода) совпадают между собой.

Теоретические численности нормального распределения обычно вычисляют при помощи функций Гаусса-Лапласа или основной функции нормального распределения.

6.1. Вычисление теоретических численностей нормального распределения и использованием функции Гаусса-Лапласа

	f x		1		e	x2	(6.1)
						2
			2

где π – коэффициент 3,14; е – 2,71828 (неперово число);

х – нормированное значение.

Нормированное значение определяется как частное от деления разности вариантов ряда распределения и среднего значения выборки на среднее квадратичное отклонение

	x	xj M	(6.2)

По формуле (6.2) нормированное значение вычисляется для каждого интервала вариационного ряда изучаемой выборочной совокупности.

Среднее значение M вариационного ряда определяется по рассмотренным ранее формулам (2.1) или (3.7), среднее квадратичное отклонение

36

σ по формуле (2.2) или (3.8). Кроме этого, для вычисления теоретических численностей по функции Гаусса-Лапласа необходимо знать неименованное среднее квадратичное отклонение σ', которое определяется по формуле

(3.9).

Для нашего вариационного ряда по диаметру перечисленные показатели уже вычислены и равны: М=21,8 см; σ=6,24 см; σ'=2,08.

В табл.6.1 отступив сверху 2-3 строки, записывают численности фактического ряда распределения по диаметру (гр.1,2). Дополнительные строки могут потребоваться для численностей теоретического вариационного ряда.

Таблица 6.1. Вычисление теоретических численностей нормального распределения при помощи функции Гаусса-Лапласа (М=21,8 см; σ=6,24 см; σ'=2,08)

Диаметр,			xj M		f(x)		f(x)			f(x)		~	nj
												nj
xj ,cм	nj, шт.										N
1	2		3		4	5				6		7	8
4	-		-2,85		0,00687	0,003				0,6		0,3	-
7	-		-2,37		0,02406	0,012				2,4		1,2	-
10	9		-1,89		0,06687	0,032				6,4		3,2	4,5
13	18		-1,41		0,14764	0,071				14,2		7,1	9,0
16	22		-0,93		0,25888	0,125				25,0		12,5	11,0
19	36		-0,45		0,36053	0,174				34,8		17,4	18,0
22	41		0,03		0,39876	0,192				38,4		19,2	20,5
25	30		0,51		0,35029	0,168				33,6		16,8	15,0
28	20		0,99		0,24439	0,117				23,4		11,7	10,0
31	15		1,47		0,13542	0,065				13,0		6,5	7,5
34	5		1,96		0,05844	0,028				5,6		2,8	2,5
37	3		2,43		0,02083	0,010				2,0		1,0	1,5
40	1		2,91		0,00578	0,003				0,6		0,3	0,5
Всего	200		-		2,07876	1,000				200		100	100

Примечание. nj – фактическая численность; f(x) –функция нормального распределения;

N – суммарная численность выборки, шт.; ~ - теоретическая частость. nj

Перед расчетами определяют минимальный и максимальный диаметры теоретического ряда распределения по правилу трех сигм, так как в в пределах утроенного среднего квадратичного отклонения в таких рядах заключены практически все единицы статистической совокупности

(99,7%).

Минимальный диаметр теоретического ряда равен М - 3σ = 21,8 – 3·6,24 = 21,8 - 18.8 = 3 см.

Округлив его до ближайшего среднего значения интервала, получим минимальное среднее значение интервала теоретического ряда 4 см.

37

Максимальный диаметр нормального ряда распределения М + 3σ = 21,8 + 18,8 = 40,6 см, с округлением 40 см.

Таким образом, численности теоретического ряде распределения надо определять для диаметров от 4 до 40 см через каждые 3 см, то есть для диаметров 4,7,10,13,16 см и т.д.

Далее определяют нормированное значение диаметра по формуле

				x		xj M			(6.3)
где	хj - диаметры ряда распределения, см;
	М - среднее значение диаметра, М = 21,8 см;
	σ- именованное среднее квадратичное отклонение, σ=6,24 см.
	Нормированное значение для интервалов равно:
	x1	4 21,8	2,85;x2		7 21,8		2,37;…x13			40 21,8	2,91
	6,25			6,25					6,25

Нормированное значение вычисляют для всех тринадцати интервалов с точностью до сотых и заносят в табл.6.1, гр.3.

На основании нормированного значения каждого интервала из прил.4 выписывают значения f(x) и заносят в графу 4.

Для проверки расчетов находят сумму четвертой графы, которая должна быть равна или близка к неименованному среднему квадратичному отклонению (σ'=2,08), при том условии, что пределы нормированного отклонения (гр.3) близки к ±3.

Сумма значений графы 4 Σf(x)=2,07876, а σ'=2,08. Практически эти величины равны, если их округлить до сотых.

Проверку можно сделать иначе. Разделить цифровые значения графы 4 на неименованное среднее квадратичное отклонение (σ'=2,08) и результаты, с точностью до тысячных, записать в гр.5.

Сумма значений графы 5 должна равняться единице при условии, что пределы нормированного отклонения (гр.3) близки к ±3. После такой проверки необходимо вычислить численности кривой нормального распределения. Для этого данные графы 5 перемножить на общую численность выборки (N=200) и результаты записать в графу 6.

Первая численность нормального распределения, для диаметра 4 см,

	~			f(x)
	n1					N 0,003 200 0,6
Вторая численность, для диаметра 7 см,
~		f(x)					и т.д.
n2					N 0,012 200 2,4

38

Суммы численностей фактического и нормального вариационных рядов должны быть равны. Численности фактического и нормального рядов распределения выражают в процентах и записывают в гр.7 и 8. Для наглядности по фактическим и теоретическим частностям (гр.7 и 8) строится график – кривые распределения (рис.6.1).

6.2. Вычисление теоретических численностей нормального рас-

х 2

пределения при помощи основной функции f x 2

Наиболее легкий путь вычисления численностей – при помощи основной функции нормального распределения (прил.5). Этот способ обычно применяют, когда извесны среднее значение и среднее квадратичное отклонение. Сначала определяют размах нормальной кривой распределения по правилу трех сигм (М±3σ) и добавляют недостающие интервалы теоретического ряда (табл.6.2)

Таблица 6.2. Вычисление теоретических численностей при помощи основной функции нормального распределения

Диаметр,	Фактичес-		xj M		f(x)	~	~	nj
						nj n0f(x),	nj
xj ,cм	кая числен-					шт.
	ность nj, шт.
1	2		3		4	5	6	7
4	-		-2,85		0,01723	0,7	0,3	-
7	-		-2,37		0,06030	2,3	1,2	-
10	9		-1,89		0,16762	6,4	3,2	4,5
13	18		-1,41		0,37007	14,2	7,1	9,0
16	22		-0,93		0,64892	24,9	12,5	11,0
19	36		-0,45		0,90371	34,7	17,4	18,0
22	41		0,03		0,99955	38,4	19,2	20,5
25	30		0,51		0,87805	33,7	16,8	15,0
28	20		0,99		0,61260	23,5	11,7	10,0
31	15		1,47		0,33944	13,0	6,5	7,5
34	5		1,96		0,14649	5,6	2,8	2,5
37	3		2,43		0,05221	2,0	1,0	1,5
40	1		2,91		0,01449	0,6	0,3	0,5
Всего	200		-		-	200	100	100

В графе 3 находят разность между диаметром и средним значением, которую делят на среднее квадратичное отклонение согласно формуле (6.3). По нормированному значению гр.3 из приложения 5 выписывают ординаты основной нормальной кривой и заносят в гр.4.

Численность нормального распределения определяют по формуле

39

~		N
nj					f(x),	(6.4)
			2

где N – общая численность выборки;

σ' – неименованное среднее квадратичное отклонение; π – постоянная, равная 3,14;

f(x) – ординаты основной нормальной кривой.

Выражение

N

n определяет наибольшую численность нор-

2

~

мального распределения, поэтому можно записатьnj n0f(x)

В нашем примере наибольшая численность нормального распределе-

ния n0

N

200

38,37

2,08 6,28

2

Численность нормального распределения для диаметра 4 см равна

~

nj n0f(x) 38,37 0,01723 0,7

для диаметра 7 см	~	и т.д.
	nj n0f(x) 38,37 0,06030 2,3

Результаты вычислений записывают в гр.5.

Теоретические численности, вычисленные при помощи ординаты основной нормальной кривой, совпадают с численностями, определенными по функции Гаусса-Лапласа, что используется для проверки конечных результатов. Небольшие расхождения (в пределах 0,1) неизбежны при округлении нормированных значений до сотых.

Взаключение необходимо ответить на следующие вопросы:

1.Что является критерием правильности вычисления теоретических численностей рассмотренными способами?

2.Каково практическое значение выравнивания численностей вариационных рядов ?

3.Как определяется нормированное значение ?

4.Какое соотношение среднего значения, медианы и моды в рядах нормального распределения.

40

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧИСЛЕННОСТЕЙ КРИВОЙ ОБОБЩЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО УРАВНЕНИЮ ШАРЛЬЕ (ТИПА А)

Биологические явления природы не всегда подчиняются закону нормального распределения. Часто распределение численностей значительно отклоняется от нормального. В таких случаях для вычисления теоретических численностей применяют функцию обобщенного распределения Шарлье (кривая типа А):

fA f(x)	r3	fIII(x)	r4 3	fIV(x)	(7.1)
6		24

где f(x) – функция нормального распределения;

fIII(x), fIV(x) – третья и четвертая производные функции нормального распределения;

r3,r4 – третий и четвертый основные моменты.

Первый член формулы показывает нормальное распределение, второй отражает влияние косости, а третий – влияние крутости кривой. Опыт применения уравнения Шарлье показал, что данный метод выравнивания опытных рядов распределения дает удовлетворительные результаты при косости вариационного ряда не более 0,80.

При определении численностей кривой типа А значения f(x), fIII(x), fIV(x) берут из приложения 4, а третий и четвертый основные моменты вычисляют, как это показано в работе «Вычисление начальных моментов по способу сумм, центральных и основных моментов».

Технику определения численностей обобщенной кривой рассмотрим на примере вариационного ряда по диаметру (табл.7.1).

В гр.1,2 записывают фактический вариационный ряд, в гр.3 – норми-

	xj M
рованные значения		, методика вычисления которых приведена ра-

нее.

Значения функции f(x), fIII(x), fIV(x) (гр.4,5,6) берут из приложения 4 по нормированному значению графы 3. В прил.4 приведена величина fIII(x) для положительных значений. Поэтому для отрицательных значений знак нужно менять на обратный. Величины f(x), fIV(x) берут с теми знаками, которые указаны в прил.4, независимо от знака нормированного значения

(гр.3).

Сумма данных графы 4 должна быть равна неименованному основному отклонению, при условии, что предельные нормированные значения