electrodynamics

§15.Ответы

291

4.12. ρ = −ε αE

/(ε

+ αx)2 , где α =

ε 2 − ε1

;

0

1

0

a

плотность заряда в центре пластины

ρ

= −

4ε 0 E0

(ε 2

− ε1 )

= −0,59

мкКл / м

2

.

0

a(ε1

+ ε 2 )2

4.13. σ

max

= (ε − 1)ε

0

E = 3,5нКл/ м2

,

Q

+

= σ

max

πR 2 = 1,1 10−10 Кл.

4.14. ω =

2

3PE

ρ

l

r

κ

2

ε

2

− ε

1

v

r

4.15. F =

n , где

n

- единичный

вектор, направленный к

4πε 0ε1d ε 2 + ε1

поверхности раздела

4.16. σ (ρ ) = −

1

ε − 1

qL

,

здесь ρ

-

расстояние

от основания

2π ε + 1 (ρ 2 + L2 )3 / 2

перпендикуляра, опущенного от заряда на границу раздела, до произвольной

точки поверхности.

Q = −

ε − 1

q , заряд притягивается к диэлектрику с силой

ε + 1

F =

1 ε − 1 q 2

.

4πε 0

ε + 1

4L2

4.17. а) нет;

б) да.

0

r > R .

4.18.

ρ = 3aε 0 ,

если

R

3

r < R

4.19. В начале координат находится точечный заряд q = 4πε 0 a , внутри сферы

находится заряд с объемной плотностью ρ = − 3ε 0 a .

R 3

292						§15. Ответы
4.20. ρ =	0		r > R
	12aε 0 r	если	r < R , на сфере радиуса R			распределен заряд		с
поверхностной плотностью σ = −3aε				0	R 2 .
4.21. В	начале	координат находится заряд q = 4πε 0 a , сфера					радиуса	R
заряжена
4.22. В начале координат находится точечный заряд						q = 4πε 0 b ,	вне - заряд

распределен непрерывно с поверхностной плотностью ρ (r ) = − ba 2ε 0 exp(− ar ) . r

Q1

4.23.E(r) = 2 , где r – расстояние от центра сферε Ω + ε Ω

1 1

2 2 ε 0 r

§5. Электроемкость. Энергия электрического поля

	5.1.	C =		4πεε 0 R1			.
			1 +		R1	(ε − 1)
					R2

5.2.W = −2πε 0 R1U 2 .

			d
5.3.		+			= 3C0 .
	C = C0 1		d1

5.4. C = ε 0 S (ε1 − ε 2 ) .

dln ε1

ε2

5.5.а) напряжение не изменится; б) напряженность уменьшится вдвое

5.6. C =	4πε 0ε a a	,	W =	2πε 0ε a a	U 2 .
	ln(b / a)
				ln(b / a)

§15.Ответы

293

5.7. C0

=

πε 0

≈

πε 0

.

ln

a − r

ln(a / r )

r

5.8.

E =

Q

,

где

r - расстояние от оси

конденсатора,

ε 0 lr(ε1ψ 1 + ε 2ψ 2 )

C = ε

ψ 1ε1 + ψ 2 ε 2

l .

0

ln(R2 / R1 )

5.9. Не изменится.

U

=

n − 1

-- уменьшится

U 0

n

5.10. 1)

емкость батареи, включенной по схеме а), больше; 2)

C4 =

C1C2

,

C1 + C2

C3 может быть любой.

5.11.емкости равны.

5.12.C1 .

5.13.W2 = εW1 -- энергия увеличилась за счет работы по удалению

диэлектрика.
5.14.
		R R		2		(ϕ		1		− ϕ			2	)2 + R R			3	(ϕ	1	− ϕ	3	)2	+ R	2	R	3	(ϕ	2	− ϕ	3	)2		= 4,5 1014 Дж
Q = 2πε 0		1												1																							.
															(R1 + R2 + R3 )
5.15. 1)		W = −								Sε	0	(ε − 1)U 2							A = −2				W ;						W =			A =		Sε	0	ε (ε − 1)U 2
																,											2)											.
														2d																						2d
5.16. A =		q 2					(d 0 − d ) , за счет энергии электрического поля конденсатора.
		2ε 0 S
5.17. x =							d								.
		εε			0		S	ε 2 −
		ε												1
		2dA

294

§15. Ответы

q 2

1

1

5.18. W =

−

.

8πε 0ε a

b

5.19.

W =

q 2 (ε + 1)

.

16π R ε ε 0

5.20. A =

q 2

= 0,9нДж .

40πε 0 r

5.21.

A1

=

d

.

A2

d − s

5.22. α = 1 .

5.23. C = ε

(ε

Ω

+ ε

Ω

)

R1 R2

.

0

1

1

2

2

R

− R

2

1

5.24.

M =

ε

0 (ε − 1)U 2 R

2

.

4d

§6. Квазистационарные токи

6.1.

U1

=

UR2

,

U

2 = −

UR1

.

R1 + R2

R1 + R2

6.2.tgα1 = λ1 , где α1 ,α 2 - углы, образованные линией тока с нормалью к tgα 2 λ2

поверхности раздела в первой и во второй среде.

6.3.R =

6.4.R ≈

1				1			1
					−			+
2πλ2 a							b
1			1				1
					+				.
2πλ							a2
	a1

1 1 .

2πλ1 b

§15.Ответы																											295
6.5.				N1		=				λ1	= 10 .
										λ2
				N 2
6.6.			N			=				ε02 R1							,	N			=			ε02 R2				,
					1				(R		+ R				)2					2			(R		+ R		)2
														2												2
										1														1
где R	=			d1		ρ				,	R			=		d		ρ		.
													2						2
1				2S				1								2S
6.7.		σ =						2ε0ε 0 (ε 2 λ1 − ε1λ2 )														.
											d (λ1 + λ2 )
6.8.			R =							1		.

2πλr

6.9.R = εε 0 (C1 + C2 ) .

											λC1C2
											U 2 R																		U 2 R					2
6.10.		N1 =													1							,		N		2 =												,
							(R + R											2		)2								(R + R						2		)2
											1																	1
			1							1						1												1				1					1
где R =													−										R			=										−				.
																				,					2
1		4πλ1					r1									r2											4πλ2 r2										r3
											U 2 R																		U 2 R					2
6.11.		N1 =													1							,		N		2 =												,
							(R + R											2		)2								(R + R						2		)2
											1																	1
где R =			1					ln				r2			, R								=			1			ln	r3			.
																						2
1		2πlλ1											r1												2πlλ2						r2
				I																l
6.12. U		=								ln 1					+								= 14,9В .
																			r0
	ш			πλL
		R =					1						l					+ ln					D
6.13.																								.
					πδλ D																		d

296												§15. Ответы
		θ	0						θ
	ln tg				− ln tg
6.14. ϕ = U		2							2			, ток течет от точки А к точке В, потенциал
						θ	0
	2 ln tg
						2

точки А принят равным нулю.

1θ

6.15.R = δπλ ln tg 0 .2

6.16.	E(r ) =				2U 0 r						, ρ (r )		=	4εε 0U 0
																	.
				(R 2				− R		2 )				(R	2	− R 2 )
				2					1						2	1
6.17.	λ(r ) ~			1			.
				r 4
6.18.	λ ~ j ~				1	.
					r
6.19. ρ = εε 0 lj								λ1 − λ2				,	где			x − текущая координата, отсчитываемая от
		[λ l + (λ							2	− λ )x]2
				1						1

точки А по направлению к точке В.

					λ	n
	6.20.	N =				∑qk ϕ k .
				εε 0
						=
						k 1
					4πλU			2
	6.21.	P =						0		.
					1			1
						−
			R1				R2

			2πλlU 0							t
6.22.	I =							exp	−		.
			ln(R2 R2 )
										ε 0ε λ
6.23.	I =		εε 0 Sv			.
			(d	0	+ vt )2

§15.Ответы	297

6.24. I = 2ε 0αε t . d

6.25.R ≈ 2ρ ln( a ) .

πR r

§7. Магнитное поле квазистационарных токов

		µ0 8I			a	2	+ b	2	r
7.1.	B =								. Вектор B направлен вдоль положительной нормали к
		4π			ab

плоскости контура.

7.2. Поле в обеих полуплоскостях однородное, но направлено в разные стороны;

r

r r

µ0

[i ; e

]

r

B =

- единичный

вектор, перпендикулярный

плоскости,

,

e

2

направленный от плоскости.

Указание:

Результат

дает

непосредственное

интегрирование:

∞

µ

0 hidx

B = 2∫

,

h -

расстояние от точки до плоскости,

или применение

0

2π

h2 + x2

r

теоремы о циркуляции вектора B .

r

r r

7.3. Вне плоскостей поля нет, между плоскостями поле однородно;

B = µ0

[i ; e ],

r

единичный вектор, перпендикулярный плоскости с током i , направленный

e -

от нее.

0,

0 ≤ ρ ≤ R

7.4.

B(ρ ) = µ0

2I

ρ >

. Силовые линии – концентрические окружности с

,

R

ρ

4π

центрами на проводнике.

298

§15. Ответы

7.5.

B =

µ0 Id

Указание: Дополнить токами Id =

Id

−I d

.

и

, текущими по

4π 2 ar

2πR

щели.

r

2µ0σR

r

B =

7.6.

ω .

Указание:

Разбить сферу

на слои

параллельными

3

плоскостями; поле от слоя, соответствующего углам от θ до θ+dθ, есть поле от кругового контура радиуса Rsinθ с силой тока ωσR2sinθdθ.

r

7.7. Вектор

B

внутри сферы перпендикулярен плоскости рисунка 7.7. Справа

µ0 I

от проводника направлен от нас,

слева - к нам. Внутри сферы B =

(ρ -

2πρ

расстояние от проводника). Вне сферы B=0.

7.8.

B|| =

µ0 I

l

arctg

(направление – по правилу буравчика).

πl

2h

7.9.

B =

µ0 I

(1 + cos α ), где

r –

расстояние от точки А. Поле направлено

2πr

перпендикулярно проводнику с током 2I.

7.10. F = 2IRB .

1

7.11. F = µ

I I

− 1

0

1

2

1 − R2 / a 2

7.12. Спирали с осями, параллельными линиям магнитной индукции; радиус

спиралей R =	mv sin α	; шаг	h =	2πmv cos α	. Встретятся через время T =	2πm
	qB			qB		qB

на расстоянии h от начальной точки. Максимальное расстояние 4R.

	π ,	при			v0 ≤
	7.13. α =		q		BL
	arcsin
		m v0

qBL

m

при v0 > qBL m

§15.Ответы

299

Iµ0 n

π

r

7.14.

B0

=

tg

. Вектор

B0

направлен вдоль положительной нормали к

2πR

n

плоскости контура;. При n → ∞ будет B

=

Iµ0

.

0

2R

7.15. B0=0.

r

µ0 I

R

2

− a

2

r

7.16.

B

=

+ arcsin

a

, Вектор

B

направлен за

плоскость

πR

R

R

0

0

рисунка 7.8.

µ0 IN ln(R1 / R2 )

r

7.17. B =

, вектор B

направлен вдоль положительной нормали

0

2(R1 − R2 )

0

к плоскости

спирали.

При

R1 /

R2 → 1

будет

B0

=

µ0 IN

(поле

кругового

2R1

контура радиуса R1 с током NI в центре контура).

l

ξD

e

2

7.18. δ =

1

−

1

− ξ

+

,

ξ = lB

.

ξ

1 − ξ

2

2mU

r

1

r

r

7.19. B =

µ

ρ (R2 − r 2 )ω внутри,

B

= 0

вне цилиндра.

0

0

2

0

7.20.

I =

T

.

Указание: на элемент проволоки dl

с током I действует сила

BR

Ампера

F=IBdl

и

две растягивающие силы

T под

углом

α =

dl

,

R

равнодействующая которых равна 2T sin α . При малых α будет T dl = IBdl . 2 R

300

§15. Ответы

§8. Магнитное поле в веществе

Iρ

,

0 ≤ ρ ≤ R1

2πR 2

1

8.1. H (ρ ) =

I

R ≤ ρ ≤ R

,

2

.

2πρ

1

0

ρ > R2

Указание:.

Воспользоваться теоремой о циркуляции вектора Н.

r

r

r

[j , a ]

r

направлен от оси провода к оси полости.

8.2. H =

2

, вектор a

Указание: Дополнить полость "током" с плотностью j

и − j . Воспользоваться

теоремой о циркуляции вектора H.

8.3. B =

4πINµ1µ2

.

L

(

)

+ µ2

c 2dµ1µ2 +

− d µ1

2

8.4.

B =

µ0 µ1µ2 I

.

Силовые

линии

– окружности с

центром

на

оси

πr(µ + µ

2

)

1

проводника.

r

r

r

r

µ

0

µ µ

2

r

r

r

r

2µ

2

r

r

8.5.

B (r ) = B

(r ) = 2

1

H

(r );

H

1

(r ) =

H

0

(r )

;

0

1

2

µ1 + µ2

µ1 + µ

2

r

r

2µ

r

r

H 2 (r ) =

1

H 0 (r ).

µ1 + µ2

r

r

1

8.6. B = B0

.

R3

2

(µ − 1)2

1 +

1 −

1

3

9

µ

R2