electrodynamics

§14. Задачи повышенной трудности

281

14.18. На вертикальную спицу надета бусинка с массой m, несущая положительный заряд q, которая может скользить по спице без трения. На нижнем конце спицы расположен такой же заряд. Найдите частоту малых

колебаний		бусинки			около	положения
равновесия.
14.19. На рис.14.14				изображена зависимость
намагниченности			J	от	напряженности поля
H для некоторого магнитного материала, из
которого		изготовлен			сердечник		тонкой
тороидальной катушки,					имеющей	N	витков.
В сердечнике имеется узкий поперечный
воздушный		зазор длиной l.Длина катушки
(периметр)		равна	L . Определите			при каком
значении		тока	I 0	в	катушке		наступит
Рис.14.14
насыщение намагниченности сердечника. Как
будет меняться магнитная индукция	B в	зазоре		сердечника при			I > I 0 ?
Величины J нас и Ннас заданы.
14.20. Тонкая тороидальная катушка ,						намотанная
на полый немагнитный каркас (см. рис.14.15 )
радиусом R ,	имеет N витков,				по которым течет ток

I . Каково магнитное поле B в центре тора (в точке О)? Как изменится магнитное поле в точке О, если внутрь катушки поместить небольшой шарик радиусом r0 << r c магнитной проницаемостью

>>1?

Рис.14.15

282	§14. Задачи повышенной трудности
14.21.	На сколько изменится индуктивность тонкого витка	радиусом R = 1см ,
если	его расположить на расстоянии h = 10 см	от бесконечной

сверхпроводящей плоскости? Плоскость витка параллельна сверхпроводнику.

14.22.В условии примера 6 конденсатор заменяется на резистор с сопротивлением R. Требуется найти закон изменения скорости проводника.

14.23.В условии примера 6 конденсатор заменяется на катушку с индуктивностью L. Требуется найти закон движения проводника.

14.24.Внутрь длинного соленоида, имеющего обмотку с n витками на единицу длины, внесли маленький шарик объемом V из магнитного материала с

проницаемостью . Оцените, насколько изменится индуктивность соленоида.

14.25. На сколько изменится индуктивность тонкого витка				радиусом R = 1 см ,
если его расположить на расстоянии			h = 10 см	от бесконечной
сверхпроводящей	плоскости?	Плоскость	витка	перпендикулярна

сверхпроводнику.

	14.26. Магнитный диполь с моментом			r
				pm
	вращается с угловой скоростью		ω вокруг
	оси, проходящей через его центр и
	перпендикулярной	магнитному	моменту
	(см. рис.14.16 ). Найдите ток в плоской
	круглой неподвижной рамке радиусом			a с
Рис.14.16	сопротивлением	R , находящейся		на

расстоянии l >> a от диполя. Нормаль n к плоскости рамки перпендикулярна оси вращения диполя. Самоиндукцией рамки пренебречь.

§15.Ответы	283

§15. Ответы

§1. Электрическое поле

1.1. q' = −

q

.

3

1.2.

E =

qb

,

вектор E направлен вдоль линии, соединяющей центр

8π 2ε

0

a 3

кольца с прорезью.

F

1

e

2

1.3.

e

=

= 4,2 10 42

Fg

4πε 0 G m

1.4. a =

e 2

= 2,5 108 м / с2

4πε

0

mr 2

1.5.

F

=

κ 2

= 8,1Н / м

l2πε 0 b

		κ κ						l
1.6.	F =		1 2	ln 1			+			, с такой силой нить отталкивает отрезок.
		2πε 0
								r0
1.7. в обоих случаях E = 0
1.8.	E y =		3qa		2	,		E x		= 0 .
			4πε
				0	r 4

284 §15. Ответы

Q

z

1.9.

Ez

=

1 −

, для z << a совпадает с полем бесконечной

a 2

2πε

0

a

2

+ z

2

Q

однородно заряженной плоскости E = 2πε 0 a 2 , а для z >> a с полем точечного

Q

заряда E = 4πε 0 z 2 .

σz

1

1

1.10. E

=

−

, где z – расстояние до центра кольца

z

2ε 0

2

2

+ z

2

2

+ z

R1

R2

1.11. Картина силовых линий показана на

рис.15.1, где E					=	σ	.
	1					2ε 0
1.12. E =		σ			поле направлено вдоль оси
				,
		4ε 0
симметрии полусферы.
1.13. E =		ρ	a .
	3ε 0

Рис.15.1

ρ (r ) = const =

3e

1.14.

,

4πR3

ν =

1

e 2

= 2,5 1015

Гц .

4π

πε 0 mR3

σ R

1

1

1.15.

E =

−

,

поле направлено вдоль оси

2ε0

R

2

+

(

)2

R

2

+

(

)2

a − l

a + l

цилиндра

§15.Ответы

285

1.16. E =

σ

arctg

l

, поле направлено перпендикулярно плоскости полосы

πε 0

h

1.17. E x = −

σ

l 2 + h 2

+ l

,

=

σ z

l

ln

E z

arctg

.

4πε 0

2πε 0

l 2 + h 2 − l

z

h

1.18. E =

q

, направлено вдоль диагонали квадрата

πε

0

l 2

r

r

2κ

r

1

1

1.19. E = n

, где

n

=

,

4πε 0 a

2

2

r

r

3κ

r

1

1

1

1.20. E = n

,

где

n

=

,

,

4πε 0 a

3

3

3

κ

1.21. E =

6

4πε 0 z

§2. Потенциал электрического поля

qq'

1

1

2.1. во всех трех случаях A =

−

, в частности, в случае б)

A = 0

4πε 0 r1

r2

q

1

1

1

q

2.2. ϕ =

−

+

−

... = −

ln 2

2πε 0

a 2a 3a

2πε 0 a

2.3. A = 0 , для одноименных зарядов

A =

qq'

πε 0 a

2.4. а) W = 0,

M = pe E , момент направлен за плоскость рисунка,

б)

W = − pe E ,

M = 0 ,

в) W = pe E ,

M = 0 ; во всех случаях F = 0

2.5. а) W = −

p1 p2

, б)

W =

p1 p2

, в) W = 0

r 3

πε

0

r 3

2πε

0

286

§15. Ответы

2 pe E

2.6. ω

=

2

pe E

,

β =

l

m

ml

2

2.7. а)

p e

и

r

антипараллельны,

б)

p e и

r параллельны,

в) p e и r

ортогональны

2.8. E(θ ) =

p

e

1 + 3 cos 2 θ

,

где θ -- угол между направлением на точку сферы

4πε

0

R 3

и диполем.

2.9. ϕ =

σR

,

E z

=

σ

,

где

ось

Oz

направлена вдоль

оси

симметрии

2ε 0

4ε 0

полусферы

4πε 0 rϕ

10

−20

2.10. n =

= 2 10

электронов,

M = mn =

2 10

кг

e

r

r

r

r

ϕ 4 −

ϕ1

ϕ 4 − ϕ 2

ϕ 4 − ϕ3

2.11. E = E

i + E

j + E

k , где E

=

, E

=

, E

=

x

y

z

x

y

z

a

a

a

2.12. F =

qpe

,

диполь будет притягиваться к заряду,

если он обращен к

2πε

0

d 3

нему противоположно заряженным концом, и отталкиваться в противном случае.

2.13.l = 2a 2 − R 2 .

2.14.Нет, так как такое поле не будет потенциальным.

2.15.ϕ = σR .

πε 0

§3. Проводники и диэлектрики в электрическом поле . Теорема Гаусса

3.1. q = 2ε 0 mg tgα .

σ

§15.Ответы	287

3.2. σ		= −σ			=		1	(q − q				),		σ '	= σ '			=	1		(q	+ q		) ,
	1			2							2						2						2
						2			1					1				2			1
		E		=	q1 − q2					,		E	′	= −E ′′ =		q1 + q2				.
			x
						2ε 0							x	x		2ε 0

3.4.Потенциал проводника уменьшится

3.5.На внутренней поверхности оболочки появится наведенный заряд такой, чтобы поле внутри оболочки обратилось в ноль. Так как оболочка не заряжена, то заряд противоположного знака распределится по внешней поверхности оболочки равномерно.

1) Если к оболочке поднести заряженный проводник, то изменится поле снаружи оболочки так, чтобы поле в проводнике было равно нулю. Распределение заряда на внутренней оболочке не изменится и по-прежнему будет создавать напряженность в оболочке, равную нулю. 2) Перемещение внутреннего проводника будет приводить к изменению распределения заряда на внутренней оболочке, но не будет влиять на поле снаружи.

3.6.Увеличится, так как поверхностная плотность заряда на металлической пластинке против диэлектрика возрастет.

3.7.Поле радиально и определяется выражениями

0

R1 (R2 − R3 )

Q

r < R1

R2 (R3 − R1 )

4πε 0 r 2

R1

< r < R2

,

где r

- расстояние от

E = R

(R

− R )

Q

если

< r <

3

2

1

R2

R3

R2 (R3

− R1 ) 4πε 0 r 2

R

3

< r

0

центра сфер.

3.8. E

=

Ux

, E

=

U (x + d )

.

2

1

d 2

d

2

3.9.q3 = q22 / q1 .

3.10.Уменьшится

288	§15. Ответы

r r

3.11. E(r )

	ρR 2
	2ε		r 2
		0
=
	r
ρr				,
	2ε 0

r

r , r ≥ R

, где r – расстояние от оси цилиндра до

r ≤ R

рассматриваемой точки пространства

2κd

3.12. E = ( ) , направлено параллельно плоскости, в которой лежат

ε 0π 4h 2 + d 2

провода.
3.13. Поле перпендикулярно к поверхности слоя и равно вне слоя E x				=	ρd			x		и
					ε 0			x
внутри слоя E x		= ρx / ε 0 . Ось 0x перпендикулярна к поверхности слоя, x = 0								в
середине слоя.
3.14. q = −		ε Q
			.

(R / r + ε − 1)

3.15.ρ (r ) = 2ε 0 E0 .

			r
		24πε	0	E	2 a 6
3.16.	F =				0	,	сферы притягиваются .
		r		4
3.17. а) Φ E1 = Φ E 3 > Φ E 2 ;								б) Φ D1 = Φ D 2 = Φ D3	= q . Палочка нарушает
сферическую симметрию								поля, поэтому определить	поле D с помощью

интегральной теоремы Гаусса невозможно.

3.18. а) ϕ (x) =

E

x при

x

< a ;

ϕ (x) =

E

a

ε

ε

1

б) σ ' = −ε

0 E 1

−

;

в)

ε

x					x
x	+ E		x − a		x				при	x	> a ;

P = (ε − 1)ε 0 E .

ε

§15.Ответы				289
		P cosα r
r	−		n,	внутри
3.19. E =		ε 0
		снаружи
	0,

P

2

L

2 L

3.20. а) E = −

, D = 0

; б) E = −

P ,

D = 1

−

P

ε 0

πε 0

l

π

l

3.21.E' = (ε − 1)E / 3 = P / 3ε 0 .

3.22.В точках А и В напряженность возрастет в три раза, а в точках С и D обратится в нуль.

§4. Уравнения электростатики

4.1. F =

q 2 aR

n , единичный вектор n направлен от центра сферы.

4πε

0

(R 2 − a 2 )2

q

2

1 + ξ

4

2R

4.2. F =

1 − 8ξ

n , где ξ =

, единичный вектор n направлен

(1 − ξ

4πε

0 a

2

4

2

a

)

от центра шара.

3 p 2

4.3. а) диполь притягивается к плоскости с силой F = e ; б) диполь

64πε 0 a 4

отталкивается от плоскости с силой F1 = 2F .

(

)

q

1 − ξ

2

R

4.4. σ

=

−

где

ξ =

α - угол между

M

4πRa

1

(1 − 2ξ cosα + ξ 2 )3 / 2

,

a

,

отрезками прямых, соединяющих центр сферы с зарядом и центр сферы с текущей точкой M на сфере.

290

§15. Ответы

4.5. 1) A =

q 2 R

,

2) A =

q 2 R 3

.

8πε

0

(a 2 − R 2 )

8πε

0

a 2 (a 2

− R 2 )

q 2

1

4.6.

F =

2

−

, сила направлена к вершине двугранного угла О.

d 2

8πε

0

2

4.7.Поле создается четырьмя зарядами,

показанными на рис.15.2, где

	Рис.15.2
	Q		+			q
					4πε 0 d
	4πε 0 R						,
4.9. ϕ =		(Q + q)
		4πε		0	R

b = R 2 / a,

q' = qR / a . Его потенциал равен

ϕ (x, y, z ) =

1

[

q

−

q

+

4πε 0

x 2 + y 2 + (z − a)2

x 2 + y 2 + (z + a)2

+

qR

−

qR

]

a 2 x 2 + a 2 y 2 + (za + R 2 )2

a 2 x 2 + a 2 y 2 + (az − R 2 )2

.

4.8. q' = − qR - заряд, образовавшийся на шаре d

d > R,

если

d ≤ R

4.10. Поле параллельно оси 0x и напряженность его E = αx . Такое поле будет существовать внутри слоя, ограниченного двумя бесконечными плоскостями,

перпендикулярными					к		оси			0x , и	заряженного равномерно с объемной
плотностью ρ = αε 0 .
1			ε	2	− ε	1		q 2
4.11. F =									,	заряд	притягивается к плоскости, если
	16πε 0ε1		ε	2	+ ε1			d 2

ε 2 > ε1 , и отталкивается, если ε 2 < ε1 .