electrodynamics

§15.Ответы

311

§14. Задачи повышенной трудности

14.1. ω 2

=

4Qp

πε

0

35 / 2 mR 4

14.2. ω 2

=

k

2m

14.3. M =

ε 0 (1 − ε )R 2V 2

4d

14.4. V =

2Mgd

= 4,75кВ

ε 0 l

14.5. T =

2π

ε

0 dm

pρ0

Q

Q

14.6. F =

q

+

16πε

0

R

2

2

H

1

H

2

− h 2

14.7. a =

1

,

q = a 4πε 0 mg

H1 + H 2 − 2h1

14.8. p = µ

0

I 2 n 2 .

14.9. B = µ

ωkr 2 .

0

14.10. L =

2Fl

= 10 −3 Гн

(µ − 1)I 2

F

µ

1

µ

2

2

R + 2h + l + 2a

2

14.11.

1

=

F

µ

µ

(πR + 2h)+ µ

(2a + l )

2

2

1

	n(r ) =	(1 + q)			r q−1
14.12.			B0				;
		µ0 evR
					R

электронов.

E(r ) =	1			r q
		B0				,
	v
				R

2eU

где v = -- скорость m

312									§15. Ответы
14.13.	W =		πR 2			ρ 2 l 3
				6ε 0
		ρ		0 d
14.14.	v =					3

2 ε 0 ρ м

14.15.T = 2π 2 ρ м (ε + 2)

ρ0

3(ε − 1)

Q 2

1

R

1

14.16 .

F =

−

1

,

R =

R .

16πε

R 2 2

R

1

2

0

14.17.

p =

σ 2

=

Q 2

2ε 0

32ε 0π 2 R 4

H

1

H

2

− h 2

14.18.

a =

1

H1 + H 2 − 2h1

L

l

µ

0 NI

l

14.19.

I 0 =

H

нас + J

нас

,

B =

+ I нас µ

0

1 −

.

N

L

L

L

14.20.

B0

=

µ 0 I

,

направлено перпендикулярно плоскости

тора. С шариком

2R

появляется

дополнительная

составляющая ,

лежащая

в

плоскости

тора

IN r

3

B = µ

0

.

0 π

1

R R

µ 0π

R 4

−12

14.21.

L = −

= −2,5

10

Гн

16

h3

(

)2

−

Bl

t

mgR

mR

14.22. v(t) =

1 − e

.

(Bl )2

§15.Ответы

313

14.23.

x(t) =

g

(1 − cosωt ),

ω =

Bl

.

ω 2

mL

14.24.

L =

3

µ

Vn

2

µ − 1

2

0

µ + 2

14.25.

L = −

µ 0π R

4

= −1,2 10

−12

Гн

32 h3

14.26.

I (t ) = µ

pm a 2ω

ωt

0

sin

2Rl

3

314	Приложение

Формулы векторного анализа.

В данном пособии приняты следующие обозначения:

скалярное произведение

r r

r

r

r r

(a b ) ,

(a, b ) ,

a b ;

векторное произведение

r r

,

r

r

a b

a, b

.

Во

всех

формулах

r

r

r

векторные

функции

координат,

r

a,

b , c −

p − постоянный вектор, ϕ , ψ − скалярные функции координат.

r

r

r

r

r

r

r

r r

1.

Смешанное произведение:

(a

,[b , c

]) = (b ,[c

, a

]) = (c ,[a, b ]) .

Двойное векторное произведение:

r

r

r

r

r

r

r

r

r

[a

,[b , c ]]

= b (a, c )

− c

(a, b ) .

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

Дифференциалы:

d (a, b ) = (da, b )+ (a, db ) ;

d[a, b ] = [da, b ] + [a, db ] .

r

r

∂

r

∂

r

∂

2.

Оператор Гамильтона (оператор “набла”): = i

+ j

+ k

.

∂x

∂y

∂z

r

r

∂

∂

∂

r

(a, ) ≡ ax

+ ay

+ az

;

ϕ = grad ϕ ;

∂y

∂x

∂z

r

r

r

r

r

r

.

div a = (

, a ) ;

rot a =

, a

3.

r

= 0 ;

rot grad ϕ = 0 ;

div rot a

div gradϕ =

ϕ ;

grad (ϕ ψ ) = ψ gradϕ + ϕ gradψ ;

r

r

r

div (ϕ a ) = ( gradϕ

, a ) + ϕ div a ;

r

r

r

rot (ϕ a) = ϕ rota

− [a, ϕ ] ;

div (ϕ grad ψ ) = ϕ ψ + ( grad ϕ , grad ψ ) ;

r

div (ϕ (r ) r ) = ϕ ′(r ) r + 3ϕ (r) ;

Приложение								315
r r	r	r		r	r
div[a, b ] = (b , rot a ) − (a,rot b ) ;
r r	r r	r		r r r	r	r r	r
rot[a, b ] = (b , )a			− (a, )b + a divb − b diva ;
r r	r		r	r	r	r r r	r r	r
grad (a, b ) = [b ,rot a				] + [a,rot b ] + (a, )b + (b , )a ;

r

r

r

rot rot a = −

a + grad div a .

4. Если

r

r

= 3 ;

r − радиус-вектор, то:

div r

r

1

r

grad r =

r

;

grad

= −

r

r 3

r

r

r

2

r

div

r

=

;

div

r

= 0 ;

r 3

r

r

r

r

r

]] = 2

r r

div[ p,[r

, a

( p, a ) ;

r

r

r

r r

r

grad ( p, r ) =

p

− 3 ( p, r )r

;

r 3

r 3

r 5

r r

r r

r

r

r

r

rot [ p, r

] = − grad ( p, r )

=

3 ( p, r ) r

−

p

r 3

r 3

r 3

r 5

r

r

r

r

r

(a, r )

1

r r

(a

, r )r

grad

=

grad (a, r )

− 3

;

r 3

r 3

r 5

r

r

r

grad

f (r ) =

grad ( p, r ) = p ;

r

] = 0 ;

[grad f (r ), r

r

r

r

f

′(r )

r r r

rot [ p, f

(r)r

] =

2 f (r ) p +

[r ,[ p, r ]] ;

r

r

rot r = 0 ;

;

r f ′ (r ) r ;

r

r r	r
rot [ p, r	] = 2 p ;
r	r	r
rot ( p r n ) = n r n − 2 [r		, p] ;

		r		r
r		[r	,	p]
rot ( p f (r) ) =		f ′(r )	r	;
	r	r
r	[r	, p]
rot ( p r ) =		;

r

316	Приложение

	r			r r		]
	p		=	[ p, r
rot				r	3	;
	r
rot (		r				r	r	] ;	r
	f a ) = f rot a						+ [grad f , a		rot ( f (r ) r ) = 0 ;

5. Интегральные теоремы

5.1. Формула Остроградского-Гаусса:

r

r

r

∫∫ a dS = ∫∫∫ diva dV ,

S

V

где

S − кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем

V ,

векторное поле

r

непрерывно дифференцируемо в области V + S ,

a

r

r r

r r

n − внешняя нормаль к поверхности

S ,

adS =

(a n )dS = an dS .

Частные случаи:

∫∫

∂ϕ

dS = ∫∫∫

ϕ dV ,

S

∂n

V

∂ϕ

r

r

∫∫ ϕ

dS = ∫∫∫ ϕ ϕ dV + ∫∫∫ ( ϕ , ϕ ) dV ,

S

∂n

V

V

ϕ − дважды непрерывно дифференцируемая функция в области V + S .

r

r

r

Следствия:

∫∫ n ϕ dS = ∫∫∫ ϕ dV ;

∫ϕ dl = ∫∫[n, ϕ ]dS .

S

V

l

S

Формула

Стокса.

Если

векторное

поле

r

непрерывно

5.2.

a

дифференцируемо

в

односвязной

области

D , а

S − произвольная

кусочно-гладкая поверхность в D , ограниченная контуром L, то

∫

r

r

r

r

(a, dl ) =

∫∫rot a dS ,

L

S

где

r

− единичный вектор положительной нормали к S ,

т.е.

той, из

n

конца

которой

обход по контуру L виден

совершающимся

против

часовой стрелки.

Приложение

317

5.3. Формулы Грина:

1)

на плоскости:

∂ψ

∂ϕ

∫∫(ϕ ψ

−ψ ϕ ) dS = ∫ ϕ

−ψ

dl ,

∂n

∂n

S

L

где

r

внешняя нормаль к гладкому контуру L , ограничивающему

n −

конечную область S ;

2)

в пространстве:

∫∫∫

(ϕ ψ + ϕ ψ )dV = ∫∫ϕ

∂ψ

dS ,

V

S

∂n

∫∫∫

(ϕ ψ −ψ ϕ )dV = ∫∫

∂ψ

∂ϕ

ϕ

−ψ

dS ,

∂n

∂n

V

S

где

r

n − внешняя нормаль к поверхности S , ограничивающей объем V ,

ϕ и ψ

− дважды дифференцируемые в области V + S функции.

5.4.

r

r

dV ′

r

dS ′

gradr

∫∫∫ρ (r

′)

r

r

= − ∫∫ ρ (r ′)

r

r

+ ∫∫∫ gradr ′

V

r

− r ′

S

r − r

′

V

r

dS ′

dV ′

∫∫

∫∫∫

при ρ ≡ 1 :

r

r

= − grad

r

r

.

S

r

− r

′

V

r

− r ′

r	dV ′
ρ (r′)	r	r		;
	r	− r	′

6.Векторное поле называется потенциальным в некоторой области, если работа его не зависит от формы траектории, принадлежащей этой области, а зависит только от положения начальной и конечной точек.

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля

r

a в односвязной области может быть записано в одной из форм:

	1)	циркуляция по любому замкнутому контуру в этой области равна
	нулю;				r
	2)	существует скалярная функция координат ϕ		такая, что		= gradϕ ( ϕ
					a
	называется потенциалом векторного поля		r
			a );
	3)	r
		rot a = 0 .

318	Приложение

r

Векторное поле называется соленоидальным, если div a = 0 . Для

соленоидального поля существует векторный потенциал: такое поле c ,

r	r
что a	= rot c .
Любое векторное поле можно				представить			в виде суммы
		r		r	r		r	r
потенциального и соленоидального:						, где rot b = 0 и			= 0 ,
		a	= b + c					div c

r

причем b определяется с точностью до градиента некоторой функции, а

c – с точностью до ротора некоторого векторного поля.

Решение уравнения Пуассона ϕ = f

, ϕ∞ = 0 :

ϕ (r ) = −

1

∫

f (r′)

dV ′ .

r r

′

4π

r

− r

Решение

волнового уравнения

ϕ

−

1 ∂2ϕ

= f

, ϕ∞ = 0 (с=const):

c2

∂t 2

ϕ (r, t ) =

1

f (r ′, t ′)

dV

,

4π ∫

r

2

12

где t ' = t −

r12

.

c

7. Часто встречающиеся интегралы.

∞

dx

1

x

∞

π

dx

= ln (x +

) ;

2

2

=

arctg

=

;

x

± a

∫0 x2 + a2

∫

a

a

0

2a

x2 ± a2

1

1

∫

dx

=

x

;

∫

x dx

= −

;

(x2 + a2 )

3 / 2

a

2

(x2 + a2 )

3 / 2

x2 + a2

x2 + a2

1

dt

1

2− n −

2 − n .

I (n ) = ∫

=

a − z

a + z

n / 2

(a2 + z 2 −

2azt )

az (n − 2)

−1

Приложение

319

Декартова система координат ( x, y, z)

r

r

r

r

a

= ax ex

+ ay ey

+ az ez

Элемент дуги (dl)2

= (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

Элемент объема

dV = dx dy dz

Единичные векторы вдоль координатных линий

r

r

r

r

r

r

ex

= i ,

ey

= j ,

ez

= k

Градиент скалярного поля

∂f

r

∂f

r

∂f

r

grad f

=

i +

j +

k

∂x

∂y

∂z

Дивергенция векторного поля

r

=

∂a

x

+

∂ay

+

∂a

z

div a

∂x ∂y ∂z

Оператор Лапласа

f

= div grad f

f =

∂

2 f

+

∂2 f

+

∂2

f

∂x2

∂y 2

∂z 2

Некоторые частные решения уравнения Лапласа

f = 0 :

f = ek1 x + k2 y + k3 z , k

2

+ k

2

+ k

2

= 0 ;

1

2

3

f = (a + bx)e k2 y +k3z , k

2

2 + k 2

= 0 ;

3

f = (a + bx)(c + dy)(m + nz)

r

r

r

i

j

k

r

∂

∂

∂

rot a =

∂x

∂y

∂z

ax

ay

az

v

v

Элементарная работа векторного поля

A = (a dl )

A = ax dx + ay dy + az dz

Поток векторного поля Φ = ∫∫ad S = ∫∫(a, n)dS =

S

S

= ∫∫ax dydz + ay dxdz + az dxdy = ∫∫(ax cosα +ay cos β + az cos γ )dS

S S

320 Приложение

Цилиндрическая система координат ( ρ ,ϕ , z)

r

r

r

r

= ρ cos

ϕ , y = ρ sin ϕ, z = z

a = aρ eρ

+ aϕ eϕ

+ az ez

;

x

Элемент дуги (dl )2 = (d ρ )2 + (ρ dϕ )2 + (dz)2

Элемент объема dV = ρ d ρ dϕ dz

Единичные векторы вдоль координатных линий

r

r

r

r

r

r

r

r

eρ

= cosϕ i + sin ϕ j ,

eϕ

= − sin ϕ i + cos ϕ j ,

ez

= k

∂f

r

1 ∂f

r

∂f

r

Градиент скалярного поля grad f =

eρ

+

eϕ +

ez

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

r

1

∂

1

∂aϕ

∂az

Дивергенция векторного поля

div a =

( ρ a

ρ

) +

+

ρ ∂ρ

ρ

∂ϕ

∂z

Оператор Лапласа

f =

1 ∂

ρ

∂f

) +

1 ∂2 f

+

∂2

f

(

ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2

∂z

2

Некоторые частные решения уравнения Лапласа

f

= 0 :

f ln

ρ

(поле заряженной нити)

R

1 r

r

1 r

eρ eϕ

ez

ρ

ρ

r

∂

∂

∂

rot a =

∂ρ

∂ϕ

∂z

aρ

ρ aϕ

az

v

v

Элементарная работа векторного поля

A = (a dl )

A = aρ d ρ + ρ aϕ dϕ + az dz

Поток векторного поля Φ = ∫∫ad S = ∫∫(a, n)dS =

S

S

= ∫∫aρ ρ dϕ dz + aϕ d ρ dz + az ρ d ρ dϕ

S