electrodynamics

§14. Задачи повышенной трудности

271

Найдите новое положение равновесия перемычки и характер переходного процесса.

Решение.

Как и в предыдущем примере направим ось

0x

вертикально вниз. На перемычку

действуют те же силы, что и в предыдущем

примере: сила тяжести m g и сила Ампера

FA = IlB . Эти силы показаны на рис.14.8.

Второй закон Ньютона принимает такой же

вид,

как и в примере 6,

- формулу

(14.1).

ЭДС индукции также совпадает с найденной

выше в примере 6 и задается выражением

(14.2): Ei = Blv .

А вот

цепь, по

которой

протекает индукционный ток, в данном

Рис.14.8

примере отличается от цепи примера 6.

Правила Кирхгофа для нее имеют вид:

L

dI1

+ E

= 0,

RI

= L

dI1

,

I = I

+ I

.

(14.3)

i

2

1

2

dt

dt

Подставляя в первое уравнение (14.3) Ei

и интегрируя, получаем

LI1 + Blx = C .

Если ось 0x направить

из начального положения перемычки, то константа

интегрирования С=0, так как в момент t = 0 ток через катушку не течет.

Из двух последних уравнений (14.3) выразим I :

I = I

+

L

dI1

.

(14.9)

1

R

dt

272

§14. Задачи повышенной трудности

Подставляя в (14.4)

I1

= −

Bl

x , а I во второй закон Ньютона (14.1), находим

L

уравнение движения перемычки

d 2 x

+

(Bl )2

dx

−

(Bl )2

x = g .

(14.5)

dt 2

mR

dt

mL

Новое

положение

равновесия перемычки найдем,

положив в

(14.5)

x′′ = x′ = 0

x0 =

gmL

.

(Bl )2

Решение

уравнения

(14.5)

определяется

корнями

его

характеристического уравнения

λ2 +

(Bl )2

λ −

(Bl )2

= 0 .

mR

mL

1. Если

(Bl )2

<

1

,

4mR 2

L

то корни комплексно сопряженные λ1,2 = −δ ± iω ,

где δ =

(Bl )2

,

ω 2 =

(Bl )2

−

(Bl )4

.

2mR

mL

4m 2 R 2

Общее решение уравнения (14.5) в этом случае

x =

mgL

+ exp(− δt )[A cosωt + C sin ωt ] .

(Bl )2

Константы А и С находим из начальных условий: в момент t = 0 координата

x(0) = 0,

x′(0) = 0 ,

(14.6)

§14. Задачи повышенной трудности

273

или

0 =

mgL

+ A,

0 = −δA + ωC .

(Bl )2

Откуда окончательно

mgL

δ

x =

1 − exp(− δt ) cosω t

+

sin ω t .

(Bl )2

ω

2. Если

(Bl )2

>

1

,

2

4mR

L

то

корни

характеристического

уравнения

действительные

λ = −δ + − ω 2 ,

λ

2

= −δ −

− ω 2

, а

общее

решение

уравнения

(14.5) с

1

начальными условиями (14.6) имеет вид

x =

mgL

+ A exp(λ t )−

λ1

exp(λ

t )

,

(Bl )2

1

λ2

2

mgLλ2

где

A =

,

λ

= −δ +

− ω

2

,

λ

= −δ −

− ω

2

.

2

(Bl )2 (λ +

λ

)

1

2

1

При t → ∞

x →

mgL

.

(Bl )2

Таким образом,

(Bl )2

1

mgL

δ

если

<

, то

x =

1

− exp(− δt ) cosω t +

sin ω t

,

4mR 2

L

(Bl )2

ω

где δ =

(Bl )2

,

ω 2 =

(Bl )2

−

(Bl )4

.

2mR

mL

4m 2 R 2

274

§14. Задачи повышенной трудности

Если

(Bl )2

>

1

, то

x =

mgL

+ A exp(λ t )−

λ1

exp(λ

t )

,

4mR 2

L

(Bl )2

1

λ2

2

mgLλ2

где

A =

,

λ

= −δ +

− ω

2

,

λ

= −δ − − ω

2

.

2

(Bl )2 (λ + λ

)

1

2

1

При

t → ∞

x →

mgL

.

Ось 0x

направлена

от

начального положения

(Bl )2

перемычки вертикально вниз.

Пример 14.8. Электромагнит из железного бруса квадратного сечения в форме подковы имеет размеры, указанные на рис.14.9а:

a = 5см, R = 7,5см, l = 10см, h = 10см

Число

витков обмотки N =200, сила тока I =2А. Как велика подъемная сила электромагнита, если магнитная проницаемость бруса µ =200?

Решение. Расчет подъемной силы электромагнита проведем, используя энергетические соображения. Допустим, что якорь электромагнита отстоит от подковы на малое расстояние δ (рис.14.9б). При перемещении якоря на это расстояние (в положение, показанное на рис.14.9.а) он

Рис.14.9 совершит работу A = Fδ , где F − искомая подъемная сила электромагнита. Эта работа

совершается как за счет изменения энергии магнитного поля W = 1 LI 2 , 2

пронизывающего электромагнит

§14. Задачи повышенной трудности

275

W= 1 IΔΦ , 2

так и за счет работы ЭДС индукции, возникающей в контуре за счет изменения магнитного потока

Ai = ∫IEi dt = −IΔΦ ,

где ΔΦ − изменение потока вектора индукции магнитного поля через витки обмотки электромагнита.

Баланс энергии в системе при перемещении якоря имеет вид

A = Fδ = −IΔΦ +	1	IΔΦ = −	1	IΔΦ .	(14.7)
2		2

Поток вектора индукции через витки обмотки равен Φ = BNa 2 , где

B − величина индукции магнитного поля, которую, если пренебречь рассеянием поля, можно считать одинаковой для всех витков. Ее можно найти, если применить теорему о циркуляции к траектории, совпадающей с силовой линией, показанной на рис.14.9 пунктиром:

1. для положения якоря, показанного на рис.14.9б

B1

[

+

+

+

]+

B1

=

;

µµ 0

πR

2 h

l

2 a

µ 0

2δ

IN

2. для положения якоря, показанного на рис.14.9а

B 2

[

+

+

+

] =

;.

µµ 0

π R

2 h

l

2 a

IN

Подставляя найденные значения B1

и B2

сначала в выражение для потока Φ , а

его в (14.7), окончательно получим

276									§14. Задачи повышенной трудности
Fδ =	1	INa	2	(B		− B ) =	(INa)2 µµ	0		1	−	1
					2
						1
	2						2		πR + 2h + l + 2a			πR + 2h + l + 2a + 2µδ

.

Учтем, что		δµ << R, h, l, a ,
виду
		IaN	2

πR + 2h + l + 2a

тогда выражение в правой части преобразуется к

µ 2 µ 0δ ,

		IaN			2
или	F =				µ 2 µ	0	= 49,8H .
		πR + 2h + l + 2a
		Задание для самостоятельной работы
			14.1. Заряд Q равномерно распределен по								тонкому
			кольцу радиусом R					(рис.14.10). Точечный диполь
			массой			m с дипольным			моментом	p	может
			перемещаться вдоль оси кольца. Определите частоту
	Рис.14.10		малых			колебаний		диполя	около	положения

равновесия.

14.2. Одна из пластин конденсатора жестко закреплена, а вторая, имеющая массу m , связана с пружиной жесткостью k (см. рис.14.11). Расстояние между пластинами при ненапряженной пружине равно d 0 . К конденсатору подключили батарею. В новом положении равновесия расстояние между

пластинами d = 4 d 0 . Найдите частоту малых колебаний пластины. 5

Рис.14.12

Рис.14.11

§14. Задачи повышенной трудности					277
14.3.	Конденсатор	переменной емкости		состоит из
двух	неподвижных		металлических	пластин,
расположенных на		расстоянии d друг		т друга, и

подвижной диэлектрической пластины, которая может поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами (рис.14.12). Все пластины имеют форму полукруга радиуса R , причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденсатора пренебрежимо малы по

сравнению с d . Пренебрегая краевыми эффектами, найдите момент сил M , действующих на диэлектрическую пластину, когда она выведена из положения равновесия. Конденсатор заряжен до разности потенциалов V , диэлектрическая проницаемость подвижной пластины равна ε .

14.4. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых квадратных пластин,

расположенных в вакууме вертикально на расстоянии d = 1мм друг от друга.

Одна из пластин закреплена, а другая может двигаться без трения по гладким

вертикальным направляющим. При какой разности потенциалов V между

пластинами подвижная пластина не упадет вниз? Масса подвижной пластины

M = 1г , сторона квадрата l = 10см.

Указание: Воспользоваться уравнением Лагранжа.
14.5. В безграничном слое толщиной 2d объемная	плотность заряда	ρ
изменяется по закону ρ = ρ0 x / d (− d ≤ x ≤ d ), где x	- координата вдоль	оси

0x , перпендикулярной плоскости слоя. В слое имеется тонкий канал вдоль оси

278	§14. Задачи повышенной трудности

0x , в котором помещен точечный диполь с массой m и дипольным моментом p , направленным вдоль оси канала. Вычислите период малых продольных колебаний диполя.

14.6. Как изменится ответ в примере 3, если в центре сфере поместить дополнительный точечный заряд q ? Сферу считать полой и бесконечно тонкой.

14.7. На вертикальную гладкую спицу надета бусинка, несущая положительный заряд q. На нижнем конце спицы расположен равный одноименный заряд. Бусинку подвинули к нему достаточно близко и отпустили. Совершив ряд

колебаний, бусинка остановилась на высоте a . Найдите эту высоту, если известно, что при движении на бусинку действует сила вязкого трения, пропорциональная ее скорости. Поднявшись в какой-то момент времени до максимальной высоты H1 , бусинка опустилась до минимальной высоты h1 , а

затем поднялась до максимальной высоты H 2 . Какой заряд был на бусинке,

если ее масса равна m ?

14.8. По длинному соленоиду, имеющему n витков на единицу длины, течет ток I . Найдите давление p , действующее на боковую поверхность соленоида.

Магнитная проницаемость среды = 1 .

14.9. Длинный сплошной цилиндр из диэлектрика статически поляризован, причем вектор поляризации во всех точках цилиндра направлен радиально. А его величина пропорциональна расстоянию от продольной оси цилиндра, то

есть P = k r ( k = const, r − радиус-вектор, проведенный от оси перпендикулярно к ней). Цилиндр вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. Найдите

§14. Задачи повышенной трудности

279

индукцию магнитного поля внутри цилиндра вдали от его концов, если радиус цилиндра равен R .

14.10. Длинный сердечник с µ = 100 втягивается с силой
F = 10H в длинный	соленоид, по которому течет ток
I = 10 A . Сердечник	занимает все сечение соленоида и
вставлен на глубину, значительно превышающую его
диаметр (рис.14.13)	найдите коэффициент самоиндукции
L соленоида (без сердечника), если его длина l = 50см .
14.11. Как изменится подъемная сила электромагнита,
изображенного на рис.14.9 , если его нижний якорь
изготовить из материала с магнитной проницаемостью
µ 2 , отличной от	магнитной проницаемости верхней
рис.14.13
подковы µ1 ?
14.12. Вдоль эвакуированной длинной цилиндрической трубы радиусом R

создан стационарный аксиально симметричный поток электронов, ускоренных при прохождении разности потенциалов U . Найдите распределение плотности

электронов

в

зависимости

от радиуса

r

в некотором сечении пучка,

если

результаты

измерения магнитного

поля

B

как функции

r в

этом

сечении

оказалось возможным описать выражением

B = B

0

(r / R)q

при

r < R,

q > 0 ,

где B0 и

q --

постоянные. Определите электрическое поле

E(r ), предполагая,

что параметры пучка не изменяются вдоль его оси.

14.13. Диск радиусом R и толщиной

l

(l << R)

из равномерно заряженного

диэлектрика

с объемной

плотностью

заряда

ρ лежит

на

большой

металлической

заземленной

пластине.

Вычислите

энергию

W

280 §14. Задачи повышенной трудности

электростатического поля , заключенного в диске. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε = 1 . Краевыми эффектами пренебречь.

14.14. В безграничном слое толщиной 2d	объемная	плотность заряда ρ
изменяется по закону ρ = ρ 0 x / d (− d ≤ x ≤ d ),	где x -	координата вдоль оси

0x , перпендикулярной плоскости слоя. В слое имеется тонкий канал вдоль оси

0x , в котором помещен маленький проводящий шарик, сделанный из материала с плотностью ρм. Вычислите минимальную скорость, которую нужно сообщить шарику в центре слоя, чтобы он мог покинуть канал.

14.15.В безграничном слое толщиной 2d объемная плотность заряда ρ

изменяется по закону ρ = ρ 0 x / d (− d ≤ x ≤ d ), где x - координата вдоль оси

0x , перпендикулярной плоскости слоя. В слое имеется тонкий канал вдоль оси

0x , в котором помещен маленький диэлектрический шарик, сделанный из материала с плотностью ρм и диэлектрической проницаемостью ε. Вычислите период малых продольных колебаний шарика.

14.16. Проводящая полая сфера радиусом R составлена из двух полусфер. Внутри сферы помещен концентрично проводящий заземленный шар радиусом R1. Определите силу F , с которой отталкиваются полусферы, если полный заряд сферы равен Q . При каком условии сила взаимодействия полусфер меняет знак?

14.17. По сфере радиусом R равномерно распределен заряд Q . Определите давление на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов.