electrodynamics

§15.Ответы

301

8.7. f =

1

(µ − 1)

2

.

I

2h

(µ + 1)

2

, 0 ≤ ρ ≤ R

8.8. B(ρ ) =

µµ0 Iρ / 2πR

µ

0

I / 2πρ ,

ρ > R

r

r

r

r

(µ − 1) r

2

8.9. B = B

− 2B = µB

1 − 2

.

2

∞

1

0

µ

l

r

r

(

)

l

8.10. B = B

1 +

µ

− 1

.

0

µ

2r

8.11. B =

µ0 Jh

.

2R

1

1

(1 − R / l ) .

2

2

8.12. B =

µ

0

J

m

R

+ l

− R

/ l ≈

µ

0

J

m

2

2

8.13. H =

Qω

,

B = µµ0

Qω

.

2πL

2πL

h

8.14. H = µ0 J

−

1

2R

8.15. а)

I

′

= −χI ;

б)

I ′

= χI .

пов

об

§9. Магнитный поток. Индуктивность. Энергия магнитного поля.

9.1. L =

(µ

1

+ µ

2

)µ

0

N 2 h

ln

R

2

= 0,47

Гн.

4π

R1

9.2.L = µ 0 l ln d =1,2 мкГн.

πa

9.3.	L =	µ	0 l		R2		мкГн.
				ln		= 0,6
		2π			R1

302

§15. Ответы

L2

9.4.

1). L = L1 + L2 ; 2). N = N1 1 +

.

L1

9.5. L =

µµ 0 Nh

ln

R2

=6 мГн.

12

2π

R1

9.6. L12 = µ0Nns ≈ 25 мкГн.

9.7. L =

µµ

0

N 2 h

ln

(R

2

+ (µ − 1) )

=1.87 мГн.

2π

(R1 + (µ − 1) )

9.8. L12 = µ0Nns сos α

9.9.

L = µ0N 2S/(l− d).

9.10.

WM =

µ µ 0 h J

2

ln

R

=0,6

Дж.

4π

r

9.11.

W =

µµ

0

N 2 hI

2

ln

R

2

=0,15

Дж.

4π

R1

W

сол

4πS

2

n

2

9.12.

k =

=

0

≈ 2700 раз.

ln S 2

Wпр

S1

9.13.

I max = U 0

C

= 0,12 A.

L

9.14. F = µ0I1I2n1n2πr2 ≈40 Н

1

2

9.15.

L = L

1 +

+

.

0

β

β

2

§10. Закон электромагнитной индукции.

1

10.1.

U =

α

2 Bd

gl

sin 2t

g

, где g – ускорение свободного падения.

2

0

l

§15.Ответы

303

10.2. σ = ε0vB =8,85 10-13 Кл/м2.

10.3. Lэф

=

L

.

N

µ0 I0

10.4. I max

=

2

[h − ln(1 + h d )] =3,4 мА.

2

e πRτ

µ 0 Ia

10.5. Q =

ln(1

+ b c) =1 мкКл.

πR

µ 0 I b λ s

c + a

10.6. Q =

ln

=6,6 мкКл.

4π (a + b)

c − a

10.7. Q =

Ba 2

(1 − 4 π )

(<0, т.е. ток течет против направления обхода контура,

R

соответствующего нормали, сонаправленной с вектором B ).

10.8. εi =

µ 0 I a b v

.

2π (c + vt)(a + c + vt)

10.9.εi (t) = B a b ω sin ωt .

10.10.εi (t) = a b B0 (ω sin ωt cos Ωt + Ω sin Ωt cos ωt ).

10.11. εi = B a bω0

1 + ln 2

ω

0

ln 2

sin

.

2

2δ

10.12. Q = µ0InS/R

10.13. Q = ε

L1L2

.

R1R2

10.14. ε (t) = I 0 R − I

L

− t τ .

0

R −

e

τ

304	§15. Ответы

§11. Уравнения Максвелла

11.1. P = π k 2 λ l R 4 =0,94 Вт.

8

B

2π ω 2 R 4

λ h

R

2

11.2.

P =

0

ln

.

4

R1

r

2kτ

− t

τ

r

11.3.

B =

e

− 1 e

z

(предполагается, что токи текут в направлении,

λ

определяемом правилом буравчика относительно направления оси 0z.

11.4. ρ(x) = −	4			d 2 / 3			1		ρ (d / 2) = −25 мкКл/ м3 .
		ε U						,
	9	0	0		x		d 2

11.5.

j =

4

ε

2e

U 03 / 2

= 264 А

/ м

2

.

9

0

m d 2

11.6.

v =

2

−2 / 3

2eU 0

=

3,7 10

6

м/ с .

m

11.7.

τ = 3d

m

=5 нс.

2eU 0

11.8.

H

= ε

ω

U 0 r

= 4

10

−3

А/ м;

B

=

µ

H

= 5 10

−9

Тл ,

0

0

2d

0

0

0

H

= εε

ω

U

0 r

= 4 10

−2

А/

м; B

=

µµ

H

= 5 10

−6

Тл .

1

0

0

1

2d

1

11.9. поток энергии равен нулю.

11.10.

1) jсм =

∂D

= 0;

2) jсм

=

∂D

= −ε

vU

.

0

∂t

∂t

d 2

§15.Ответы

305

R 4 (ne)2

11.12. Вне пучка

Π =

2W

внутри

пучка

,

2

4ε 0 r

m

Π =

1

r 2 (ne)2

2W

, где

r

– расстояние до оси пучка. Во

всем

4ε 0

r

m

пространстве вектор Π сонаправлен со скоростью движения электронов.

U 03 / 2

11.13. B =

2

2e

r ≈ 1.4 10

−9

Тл .

9c 2

m

d 2

11.14. F =

4

eU 02

R .

9c 2

md 2

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа.

12.1.возможны два случая 1) I ; 2) 0,8I .

12.2.Е=(E1r2+E2r1)/(r1+r2), r=r1r2/(r1+r2).

12.3.R= R2 R3 + R4 .

R2 + R4

12.4.

ϕ

= ϕ

+ R

J1 R12 + (J1 + J 2 )R23

= 15B;ϕ

= ϕ

+ R

J 2 R12 + (J1 + J 2 )R13

= 12B

1

3

2

3

23

13

R12

+ R23 + R13

R12

+ R23 + R13

.

12.5.Rобщ=Rr(3R+r)/(R2+6Rr+r2).

12.6.ϕ AB = 0

12.7.I E1 = 10 A, I E 2 = 5 A, I E3 = 1A, I E 4 = 3A, I r5 = 4 A, I r 2 = 2 A .

12.8.	I =		r2 E1 + r1 E2 + (r1 + r2 )E3							= 2 A .
		r r		+ r r		+ r r	+ R(r	+ r )
	1		2	2	3	1 3	1	2

5 2RC exp t +

306

§15. Ответы

12.9.

1

1

1

1

1

1

1

1

E

2

+

+ E

+

E

2

+

− E

+

R1

1

R2

R3

R1

1

R1

ϕ A =

R2

,ϕ B =

E2 ,ϕ C =

R2

R4

1

+

1

+

1

+

1

1

+

1

+

1

+

1

R1

R2

R3

R4

R1

R2

R3

R4

12.10. rэкв

= r` + r2

+

r1r2

Eэкв = E2

r2

+ E1

r1 − 2r2

,

r

+ r

r

+ r

r + r

1

2

1

2

1

2

12.11.

IAB=

R(E1 − E2 + E3 )+ 3rE1

= 3A .

3r(R + r )

12.12.

Е2 = 7 В, Е3 может иметь любое значение.

12.13. I

(t ) =

E

exp(− δ t )[δ sin ωt − ω cos ωt ], где

R

Rω

δ =

1

,

ω =

1

−

1

.

2RC

CL

4R 2 C 2

12.14. U C = E / 3 .

12.15. Q(∞) =

R2

CE

R1 + R2

R

12.16. U L (t ) = (E2

− E1 )exp −

t

.

L

E

3

5

U

1

(t )

=

exp −

t exp

5

2RC

2RC

12.17.

U 2 (t )

E

3

5 − 1

=

exp

−

t

2RC

2

5

R2

1

1

( )

E 1 − exp

12.18.

=

−

+

U t

R1 + R2

C

R1

t	− exp			−

1 t

R2

5 t 2RC

	5 + 1				5
			exp	−				t
	2				2RC

§15.Ответы	307

12.19.. τ =

2RC

ln

3 +

5

≈ 0,86RC

5

2

12.20. U C (t ) =

t

E exp −

.

rC

12.21. U L (t )

2

R

=

E exp −

t .

3

L

12.22.

R <

L

.

2C

12.23. α = arctg (ω rC )

I (t )

E

R

4R

12.24.

=

3 − 2 exp −

t

− exp

−

t .

6R

L

L

E

3

2

2

12.25. U (t ) = E −

exp

−

t (2 +

2 )exp

−

t

+ (2 −

4

RC

RC

12.26. а) U (t ) =

E

t

б) U (t ) = 0 .

exp −

,

2

3RC

12.27.

t =

6

RC ln 6 .

5

I (t )

E

t

3

11

12.28.

=

exp −

−

exp

−

t

.

4R

RC

7

7RC

12.29.

E

2r + R

4r 2 + R 2

I (t ) =

exp −

t exp

t

− exp

−

4r

2

+ R

2

2L

2L

I (t ) =

E

R

R

2

12.30.

1

−

1

exp

−

t

.

R1 + R2

R2

L

			2 2
	2 )exp					t
			RC

		2	+ R	2
	4r					t		.
		2L

308

§15. Ответы

E

ωC

1

1

0

12.31.

I R =

2

cos ωt + arctg

(

)

,

1 + ω 2 R 2 (C1 + C

2 )

ωR C1

+ C 2

(C + C

)

E

0

ωC 1 + ω 2 R

2 C 2

ωRC

2

2

1

2

1

I C1 =

cos ωt

+ arctg

C1

.

1 + ω 2 R 2 (C1 + C2 )2

1

12.32.

1)

ω =

r любое,

2)

r =

L

ω любая.

C

LC

12.33.

V = U

R 2 + (ω L +1 / ω C )2

.

0

R

2 + (ω L −1 / ω C )2

12.34. W = 0

12.35.

C =

1

,

W =

U 02

2R

2 + ω

2 L2

.

ω 2 L

2R

R 2 + ω 2 L2

12.36. ϕ = arctg

ω (L − R 2 C )

R(1 + ω 2 LC )

12.37. ϕ = arctg

R(1 + ω 2 LC )

ω (L − R 2 C )

2ωrC

12.38.ϕ = arctg

ω2 r 2 C 2 − 1

12.39.ψ = π − ϕ

						= (L			)	L0							L2	2
12.40. L = L		+ L		,	L		+ L				,	C		= C				.
	0		2					2					3		2
1					3	0				L2							L0 + L2

§15.Ответы

309

rt

E

sin(ψ − ϕ ),

12.41. I =

I 0 exp

−

,

где

I 0

=

L

2

+ ω

2

2

(r0 + r )

L

ϕ = arctg

ωL

.

r + r0

12.42. ϕ = arctg

r (1 − ω 2 LC )

,

ω (r 2 C + L)

12.43. ϕ max

= arctg

n − 1

при

ω =

r

n

2

n

L

12.44.ϕ = 2arctg ωL

										r
											1			2
		U 02 C				ωL +
45. W =										ωC								при		R =			2ωL		.
		8L						ωL −				1											1 − ω 2 LC
											ωC
			E		2		(R + R					2	+ ω					2 R 2 R		C 2 )
12.46. W =					0		1											1	2			.
			(R + R						2		)2		+ (ωR R						C )2
							1											1 2
12.47. tgϕ =					6ω 2 LC − ω 2 R 2 C 2 − 3
								2ωRC(ω 2 LC + 1)
12.48.
E(t ) = I	0	[R (1 − ω 2 L							C )+ R							2		(1 − ω	2 L C )]cos ωt − I					0	[ωC (R R	2	− ω 2 L L	2	)+ ω (L	+ L	2	)]sin ωt
		1					2													1					1		1		1

12.49. ϕ = −arctg ω RC

310

§15. Ответы

§13.Электромагнитные волны

q x

0

ω 2

13.1.

E

(r,θ , t) = −

sin θ cos(ωt − kr) .

4πε

0

c 2 r

13.2. P =

π

µ 0 c0 H 02 R 2 .

2

13.3. P =

π

a 2ε

0 c0 E02 .

4

13.4.

(1)

x(t) =

αE0

[cosϕ − cos(ωt + ϕ )]−

αE0

sin ϕ t , где α=–1,76 1011 Кл/кг –

ω 2

ω

удельный заряд электрона;

(2)E0 << c0 ~10-3 (В с)/м

ωα

		εi (t) = 4aE0 sin π									a				c	0	t
13.5.													sin	2π						+ ϕ 0			,		где		ϕ0			–				начальная фаза волны
											λ				λ
относительно рамки.
			(				− θ1			) 2								n2							4 cos	2	θ1 sin					2		θ 2
13.6.	I R = I 0		tg θ 2										, IT	= I 0																								,
			tg(θ		1		+ θ	2		)									n			cos		2	(		2	)	sin		2		(		+ θ	2	)
																			1						θ1 − θ									θ1
где θ		= arcsin		n1			sin θ				.
	2
									1
			n2