electrodynamics

§13. Электромагнитные волны

251

s ≡ x(t ) =	a( t )2	+ a t (t		−	t ) ≈ // t << t		// ≈ a t		t .	(13.14)
			0			0		0
2

Проведем внутри меньшей сферы силовую линию, составляющую угол θ с осью

Ox. Как известно, силовые линии электрического поля могут прерываться только на электрических зарядах. Поэтому мы должны замкнуть наши две силовые линии отрезком ломаной.

Итак, мы установили, что существует излом силовых линий электрического поля, движущийся в направлении «от заряда» со скоростью света, причем в пределах этого излома поле направлено не параллельно направлению его движения. Иными словами, в пределах излома электрическое поле имеет поперечную компоненту. Таким образом, этот излом по своим свойствам напоминает электромагнитный импульс, т.е. электромагнитную волну, ограниченную в пространстве и во времени. Из геометрических соображений можем найти отношение поперечной E и продольной E||

компонент электрического поля этого импульса:

E	=	h	=	s sin θ	,
E //		c0 t		c0 t

или с учетом (13.14)

E	=	at 0	sin θ
				.
E //			c0

При этом продольную компоненту этого поля мы знаем – это обыкновенное Кулоновское поле на поверхности меньшей сферы:

	=	1		q
E||					.
		4πε 0
				R22

Из последних двух соотношений следует, что

252

§13. Электромагнитные волны

E = E||

a t 0 sin θ

≈

a (R2 c0 )sin θ

=

a q sin θ

E||

.

c0

c0

4πε 0 c02 R2

Здесь учтено, что t

≈

R2

и

t << t

.

0

c0

0

Учитывая, что R2 – не что иное как расстояние между текущим положением заряда и рассматриваемым электромагнитным импульсом, а ускорение a соответствует моменту времени t=+0, перепишем последнюю формулу в более общем виде:

	q sin θ						q sin θ
E (r,θ , t ) =					a(t − t	0 ) =					a(t − r c0 ) ,
	4πε		c	2 r			4πε		c
		0						0		2 r
				0						0

где r – текущее расстояние от заряда до точки, где «измеряется» напряженность электрического поля, а θ – полярная координата этой точки относительно направления движения заряда.

Пример 13.6. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I0

падает под углом θ1 на плоскую границу раздела сред, показатели преломления которых равны n1 и n2. Найдите интенсивность IR волны, отраженной от границы раздела, и интенсивность IT волны, прошедшей во вторую среду, при

условии, что в падающей волне колебания вектора E происходят в направлении, параллельном поверхности раздела сред.

§13. Электромагнитные волны

253

	Решение.	Введем	декартову		систему
	координат таким образом, чтобы плоскость
	xOz являлась плоскостью падения, т.е.
	плоскостью,	образованной		нормалью		к
						r
	поверхности раздела (ось Oz) и вектором					n 0 ,
	задающим	направление		распространения
	падающей волны (см. Рис.13.5). Коль скоро по
	условию задачи колебания			вектора E		в
	падающей волне происходят в направлении,
Рис.13.5	параллельном поверхности раздела сред, то в
	силу поперечности		световых		волн	это

направление совпадает с осью Oy. Световые волны, в которых направление

колебаний вектора E перпендикулярно плоскости падения называются s- поляризованными. Соответственно, световые волны, в которых направление

колебаний вектора E лежит в плоскости падения называются p- поляризованными. Заметим, что любую волну можно представить в виде суперпозиции s- и p-поляризованных волн.

На границе раздела двух диэлектриков напряженности электрического и магнитного поля обязаны удовлетворять граничным условиям (4.6) и (8.9), заключающимся в том, что тангенциальные компоненты обеих напряженностей непрерывны на границе. Электрические поля падающей, отраженной и прошедшей волн определяются выражениями типа (13.4), а магнитные – типа (13.5) (следует иметь в виду, что направления распространения этих трех волн различны, поэтому в этих выражениях каждая из волн имеет «свою собственную» ось z). Поскольку поля волн осциллируют как во времени, так и в пространстве, а граничные условия должны выполняться как тождества в любой точке пространства и в любой момент времени, мы можем подставлять в

граничные условия не сами поля, а их амплитуды E A и H A . В среде 1

действуют поля падающей (индекс «0») и отраженной (индекс «R») волн, а в

254 §13. Электромагнитные волны

среде 2 – поля прошедшей (индекс «T») волны. Таким образом, граничные условия для электрических и магнитных полей выглядят следующим образом:

E A0	+ E AR	= E TA	,	(13.15)
τ	τ	τ
H A0	+ H AR	= H TA	,	(13.16)
τ	τ	τ
где индекс «τ» означает тангенциальные проекции векторов E A и H A .
Для	s-поляризованных волн			во введенной системе координат

тангенциальные проекции напряженностей электрических полей суть y- проекции, а тангенциальные проекции напряженностей магнитных полей – х- проекции. Поэтому можем переписать (13.15-16) с учетом выбора системы координат и типа поляризации падающей волны (очевидно, что и отраженная и прошедшая волны также являются s-поляризованными):

E	0		+ E R		= E T	,	(13.17)
	A	y	A	y	A	y
H A0			+ H AR		= H TA .		(13.18)
		x		x		x

Воспользуемся теперь соотношением (13.7) для того, чтобы выразить проекции магнитных полей через проекции электрических:

εε 0

H

=

n

y

E

− n

z

E

,

Ax

µµ

0

Az

Ay

а так как

E A

≡ 0

, то

z

H

= −

εε

0

n z

E

.

(13.19)

Ax

µµ 0

Ay

§13. Электромагнитные волны

255

Это справедливо для всех трех волн, с учетом их направлений n и различных значений диэлектрической и магнитной проницаемости в первой и второй

среде. Из рисунка видно, что

n 0

= − cosθ

1

,

n R

= cosθ

1

(угол отражения равен

z

z

углу падения), а nTz = − cosθ 2 . Поэтому

H A0

=

ε1ε 0

E A0

cosθ1 ,

H AR

= −

ε1ε 0

E AR

cosθ1 ,

µ1µ 0

x

y

x

µ1 µ 0

y

H TA

=

ε 2

ε 0

E TA

cosθ 2 .

(13.20)

µ 2

µ 0

x

y

Для прозрачных диэлектрических сред магнитная проницаемость равна единице, а корень из диэлектрической проницаемости есть показатель преломления среды n (см. (13.2)). С учетом этого подставим выражения (13.20) в граничное условие (13.18):

n E 0	cosθ		− n E R cosθ		= n		E T	cosθ		,
1 Ay		1	1 Ay	1		2	Ay		2

или, с учетом связи между углами θ1 и θ2, определяемой известным законом

преломления, n2 sin θ2					= n1 sin θ1 :
			0		R	T	sin θ1 cosθ 2
cosθ	1	E		− E	= E			.	(13.21)
			Ay		Ay	Ay	sin θ 2

Выражения (13.7) и (13.11) представляют собой систему уравнений для

нахождения двух неизвестных амплитуд, E AR

и E TA

. Решение этой системы

y

y

имеет вид:

E

R

= E

0 sin(θ

2

− θ1 )

,

(13.22)

Ay

Ay sin(θ

1

+ θ

2

)

256										§13. Электромагнитные волны
T		= E 0			2				.	(13.23)
E A	y	A	y 1		− tgθ	1	tgθ	2

Итак, мы нашли y-проекции амплитуд напряженностей электрического поля отраженной и прошедшей волны. Поскольку для s-поляризованных волн эти напряженности направлены вдоль оси Oy, то эти проекции и есть сами амплитуды. Как следует из формул (13.8), (13.9) и (13.10), интенсивность световой волны связана с амплитудой напряженности ее электрического поля следующим соотношением:

I =	1	ε 0 c0 nE A2 .	(13.24)
2

Выражая из (13.22) и (13.23) квадраты амплитуд E AR	и E TA	и подставляя их в
y		y
(13.24), получим окончательный ответ:

	(		− θ1		)	2						4
I R = I 0	sin θ 2						, IT	= I 0	n2							.
	sin(θ		+ θ		)				n	(					)2
		1		2								+ tgθ1	tgθ	2
									1	1

Задание для самостоятельной работы

13.1. Выведите формулу для напряженности электрического поля электромагнитной волны, излучаемой зарядом q, колеблющимся с частотой ω вдоль некоторой прямой. Амплитуда колебаний заряда – x0.

13.2. Плоская монохроматическая световая волна распространяется в вакууме. Максимальное значение напряженности магнитного поля этой волны – H0. Какова средняя (за период) энергия, переносимая волной в единицу времени через поверхность полусферы радиуса R, основание которой перпендикулярно направлению распространения волны?

§13. Электромагнитные волны

257

13.3. Напряженность электрического поля монохроматической световой волны, распространяющейся в вакууме, описывается в цилиндрических координатах

{ρ, ϕ, z} выражением		(	)2
	E = pE	0 e − ρ / a	cos(ωt − kz) , где p – единичный

вектор, перпендикулярный оси OZ. Какова средняя (за период) мощность этой волны, т.е. средняя энергия, переносимая волной в единицу времени?

13.4. Найдите закон движения свободного электрона в поле монохроматической электромагнитной волны частоты ω, если максимальное значение напряженности электрического поля этой волны – E0. В момент падения переднего фронта волны на электрон последний покоился в начале координат, а

фаза колебаний вектора E волны была равна ϕ. Указание: решать задачу, пренебрегая силой Лоренца; выяснить условие применимости такого подхода.

13.5. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в вакууме. На пути волны находится квадратная проводящая рамка со стороной a,

плоскость которой ортогональна направлению вектора H волны, а одна из сторон параллельна направлению распространения волны. Определите ЭДС,

индуцируемую в рамке, если длина волны – λ, а максимальное значение напряженности электрического поля этой волны – E0.

13.6. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I0 падает под углом θ1 на плоскую границу раздела сред, показатели преломления которых равны n1 и n2. Найдите интенсивность IR волны, отраженной от границы раздела, и интенсивность IT волны, прошедшей во вторую среду, при

условии, что в падающей волне колебания вектора E происходят в плоскости падения (p-поляризованная волна).

258	§14. Задачи повышенной трудности

§14. Задачи повышенной трудности

Примеры решения задач

Пример 14.1. Две одинаковые и одинаково заряженные капли несжимаемой проводящей жидкости находятся на большом (бесконечном) расстоянии друг от друга. Заряд, радиус и масса каждой капли равны соответственно q, r и m .

Какую минимальную скорость v вдоль прямой, соединяющей их центры,

нужно сообщить каждой капле, чтобы они стали двигаться навстречу друг другу и при столкновении соединились в одну каплю? Поверхностное натяжение не учитывать.

Решение. На рис.14.1 показаны две капли в начальный момент времени и в момент перед слиянием. Так как сила Кулона, с которой отталкиваются капли, потенциальна, а другие силы на капли не действуют, то можно записать закон сохранения энергии

mv 2			ϕ	0	Q			ϕQ
2		+					= 2		.
2				2			2

			(14.1)
	Начальный потенциал капли ϕ 0 =			kQ	, так
				r
	как заряд по поверхности уединенной
рис.14.1	проводящей	сферы	распределяется

равномерно.

q12 ,

§14. Задачи повышенной трудности								259
	При	сближении			капель		заряд
	перераспределяется по поверхности капли и
	его распределение становится неравномерным.
	Создаваемое	им		поле			можно
	аппроксимировать		бесконечной			системой
	зарядов, показанной на рис.14.2.
	Действительно,			при	x >> r ,		поле,
	создаваемое зарядом второй капли в области
	нахождения первой в нулевом приближении
	совпадает с	полем,	создаваемым			зарядом
	q 2 = Q , помещенным в центре капли. (Так как
	0
	капли одинаковы,		то	заряды		на		них
Рис.14.2	распределены одинаково,			а верхний индекс у

величины заряда вводится для того, чтобы было понятно, о какой капле идет речь. При определении величины соответствующего заряда этот индекс опускается). Изменение электрического поля вокруг первой капли, связанное с

наличием на расстоянии х этого заряда, можно описать,								введя заряд q1	(см.
								1
метод изображений и пример 4 параграфа 4):
	= −q		r		b =	r 2
q				,			.	(14.2)
1		0	x		1	x

Заряды q02 и q11 создают на поверхности первого шара нулевой потенциал,

поэтому потенциал первого шара равен ϕ = kq10 . r

Так как заряды по каплям распределены совершенно симметрично, то следует ввести заряд но тогда потенциал первого шара не будет одинаковым по всей его поверхности, что не верно, так как шар проводящий.

Для исправления этого обстоятельства следует ввести заряд q12 :

260							§14. Задачи повышенной трудности
	2 = −q1	r		b2 =	r 2
q			,			.	(14.3)
		x − b			x − b
	1				1
При этом вводя симметричный заряд q22 ,							опять нарушаем условие равенства

потенциала во всех точках шара. Для его сохранения вводим заряд q13 и т.д.

Потенциалы шаров будут равны

ϕ = kq0 . r

Значение q0 находим из условия

∞
∑qi = Q .	(14.4)
1=0

Действительно, поле в малой окрестности вблизи поверхности неравномерно заряженных шаров совпадает с полем, создаваемым двумя цепочками зарядов. Применим теорему Гаусса к сферической поверхности, близко примыкающей к шару и охватывающей ее. Поток вектора индукции электростатического поля через эту поверхность равен заряду, заключенному внутри нее. Равенство (14.4) и есть равенство зарядов цепочки заряду , неравномерно распределенному по поверхности шара.

Выразим qi из (14.2) и (14.3) для x = 2r (для капель перед слиянием):

q		= −		q0			,		b	=		r			,
1				2					1			2
q		=	q0			,			b		=				2		r,
	2		3							2					3
q		= −		q0				,	b	=		3				r,
	3
					4				3			4

и т.д.