ДУ практика

а общее

y = (C1 +y~ =C225x) e2osx +x 3 25ossinx x;

4

sin x:

25

25

то, пользуясь

F Если правая часть НЛДУ есть суììà

НЛДУ как сумму частных решений, подоáðанныхквазидляìíогочленов,аждого квазимногочле-

принципом суперпозиции (теорема 1.3, С.23),

àõ

частное решение y~

íà â îò

.

П р идельностим р 2. Определить вид частного решения НЛДУ

å ø å

y000 y00

+ y0 y = 1 + 43xex:

2

+ k 1 = 0 имеет корни

k

е . Характеристическое уравнение k

k

1

= 1, k

2; 3

= i.

Â

уравнении

неоднородн сть

íå

является

ä è

û ì

èñõ äíîì

ëèíî

ом (в самом деле,

îíà

как слагаемое с экспонентой,

квазиптак слагаемое

без нее, что невозможновключаетодном квазиполино е).

ä â à

Â

соответствии

с принципом

(ñì. Ñ. 23)

решим

отдельно

ÍËÄÓ:

y

y

+ y y =суперпозиции1 y y + y y = 4xe :

000

00

0

000

00

0

x

Äëÿ ï ð î î ÍËÄÓ:

Äëÿ òîð î ÍËÄÓ:

îí

льное число

îí

льное

число

êратность

s = 0;

1; 2; 3

êратность s = 1 ;

1

f(x) = e

0x

f(x) = 4xe

1x

r = + i = 0 =6 k ;

r = + i = 1 = k ;

степень полинома

m = 0.

степень поли ома m = 1.

Частное решение :

Частное решеíèå :

y~ = A.

x

(Bx + C)x.

y~ = e

Здесь A; B; C1

неопределенные к

2

которые можно найти под-

Окончателüно, общее решение исхоэдногициенты,НЛДУ имеет вид:

становкой y~

в первое НЛДУ, а y~ во вт рое НЛДУ.

1

x

2

x

2

y(x) = y + y~ + y~ = C

e

+ C

os x + C

(Bx

+ Cx):

2

3

sin x + A + e

1

2

1

ами не являет-

ñÿ

F Если правая

часть НЛДУ с постоя ными к

îìîì,

метод

неопределенных

êîý èöиентов не работает, но

Пквазиполир применить3 . Найдите решение НЛДУ y000

+ y0

=

1

:

можно

ìåòî

Лагранжа (см. С.25).

sin x

31

Значит, y

= 0;

y

= os x;

y

1

2;3

1

2

3

= sin x ундаментальная система решений.

Общее решение ОЛДУ

y = C1

+ C2

os x + C3 sin x:

Варьируем постоянные

sin x:

y = C1

(x) + C2

(x) os x +

30

Составим систему уравнений для определения

C

(x):

8 C

0

1 + C 0

os x + C

0

sin x = 0

<

1

0

2

0

3

ешение этой системы:

C2 sin x + C3 os x = 0

C 0

os x C 0

sin x =

1

:

sin x

2

8

0

3

1

<

C1

=

sin x

0

os

Найдем Ci (x):

8

: C2

0= sin x

x

C1

(x) =

RC3

= 1 :

+ D1

<

C2

sin

= ln

tg

2

(x) =

R

sin dxdx = ln jsin xj + D2

:

os

:

C

(x) = x + D

3

3

Запишем общее реøåíèå ÍËÄÓ :

) os x + ( x + D

) sin x

èëè

y = ln tg x + D

1

+ ( ln jsin xj + D

x 2

2

3

y = ln tg 2 os x ln jsin xj x sin x + D1

+ D2 os x + D3 sin x:

1.3.5. Уравнение Эйлера

(Однородным) уравнением Эйлера называется ДУ вида

(1.27)

ãäå âñå a

xny(n) + a

1

xn 1y(n 1)

+ : : : + an 1xy0

+ any = 0;

постоянные.

ом уравнения Эйлера являет-

ся совпадение степени аргументХарактерными порядкпризнакпроизводной искомой ункции в

i

32

каждом слагаемом.

= x

(при подстановк

учитываем, что y

0

= kx

k 1

, y

00

= k(k 1)x

k 2

; : : : ;

уравненияy n) = k(k находим1)(k 2)ÔÑ: : :,(k значит,n + 1)xkобщееn): Ïîрешениеâèäó .орнейДля случаяõ

n = 2 соответîãî-

ствие между корнями и ундаменталь ыми ункциями

приведеноарактеристическв аблице

(äëÿ

ДУ высших

степеней см. приложения

íà Ñ.73 ).

Корни хар. уравнения

ФС уравнения Эйлера

k

k1;2

y

1

= x

1

;

действительныекратные

2

y2 = xk ln x

различные

2

~

~

k

y1

= x ;

k1 = k2 = k

k1;2 = i

1

~

;

комплексные

y

2

= x

sinos( lnx)

Ï

ì

ð

1.

ешить уравнения Эйлера:

0, его корни k

= 1, k

= 1.

стич ское уравненèå k(k 1) + k 1 =

решение ДУ: y = C1 x + C2 x ln x

= (kC1

+ C2

ln x)x.

+

0

1; 2

1) x2y00

+ xy0

y = 0; 2) x2y00

xy0

+ y = ; 3) x2y00

+ y = 0.

í

. 1). После степенной

подстановки y =xyk

получаем характери-

2) Уравнение k(k 1) k + 1

0 имеет совпадающие

îðíè k

2

= 1.

Общее

C1

+ C2

x.

1

3). После

x

y

= x

получим характеристическое уравнение

подст

k(k 1) + k + 1 =ановки0, оторое имеет комплексно сопряженные корни k

1; 2

= i.

Общее решение: y = C1

os ln x + C2

sin ln x.

1

.3.6. Задачи для самостоятелüного решения

+ 4

=

os2x + C2 sin

x +

x

sin 2x):

2

C1

4

00

3y0

+x2y = 0 y (0) =

2;

y0

(0) = 3

0

7e

5

2x):

3 x + C sin

3 x) +

3 e2x):

(Ответ: y = e

2 x(C os

3. y

+ y + y = 3e

p

p

1

1

2

2

2

33

7

(Ответ:65. xy002yy00 +2=yxy0eC+10(xC10+yCos=2x3x0x1+os:) C2x2 sin 3x) + 263 x + 33829 os 2x + 13x 169 sin 2x):

34

ëàâà 2

ÿäû

Числовые ряды

2.1.1. Определение и вычисление суммы ряда

Пусть u1 ; u2 ;

u3 ;

:::

числов я последовательность . Выражение вида

u1 + u2

+ : : : + un +

=

P un

называется числовым рядом. Сумма

n слагаемых u1 + u2

n=1

= Sn

называется n-й

первыхя-

+ : : : + un

частичнойк е

äà. ÿä P un

называется сходящимся, если существу

суммойпредел S

n=1 льности Sn его частичных сумм lim Sn = S. Е ли данный

предел ра-

вен бесконåчности

ëè íå

åò, òî ðÿä

называетс

асходящимся.

последоватх дящегося ряда число

S назы ается

n!1

ÿäà.

F Вычисление суммы числосуществуого

Äëÿê

ядасуммойпомощью определения сво

вычислению предела

S ; ïðè

этом используются свдитсй тва

числовых

последовательностистей приемы вычисления их пределов. Однако, пре

Ï îðì последор 1. Найтиâ

n

частичных

ëó n ãî члена последователüíîñòè S

n

ñóìì ñëедующèõ

числовыхорму

1

по извест-

жде всего нужно

найти

лу n го члена последов тельности S

n

íîé

общего члена

ÿäà u

n

: ассмотрим эту задачу на примерах.

1)6

+

62

+

33

63

+ : :ÿäîâ:; 2)

n(n + 3)

; 3)

3 8

+

4 15

+ 5 24

+ : : : :

1

32 22

23

X

1

7

9

11

n=1

n-é ÷ëåí ðÿäà, òî

е ш е н и е. 1). Заметиì, ÷òî åñëè u

n

u1 =

1

=

31 21

3

2

1 1

;

6

61

=

61

61 = 2

3

1

32

22

1

1

33

23

1

u2 =

62

=

22

32

; u3

=

63

=

23

33

: : : ;

1n

un

=

1n

:

3

235

S1 = u1			=		2		3		; S2 = u + u2																	=			2								3			+				2			2				3			2 = (								2	+				2		2 ) (					3	+	3	2 );
									1											12																																							12
S3 = u1 + u2 + u3 =													1 +													12 +									13										3			= (1								+											3			(1				+ 12			+	13 );
									2																																	3																						2
											1		3			1		2								3								2																	2								2														3		3		3
																																1												1						1			+ : : : +											1
						Sn = (							+				2			+ : : : +													n			) (											+				2															n ):
Просум											2				2																2													3						3														3
			ируем стоящие â ñêîáêàõ n ïåðâûõ																																																								геомеòрических прогðåñ-
ñèé ñî çíàìенателями q (q =																					1			è q =								1 ) ïî îðìó÷ëåíîâb1																															qn)				(b			1		ïåðâûé ÷ëåí
прогрессии). Полу÷èì												1				1					2				1							3								1										1										(1 q
								1																						1
				Sn =					2		1n								3 2n								=			2									2n					+ 2 3n ; n = 1; 2; : : : :
											2													3
2). Для того чтобы решиòü ýòó çàäà÷ó, ïðåäставим оáùèé ÷ëåí ðÿäà â âèäå
суммы простейших дроáåé:																							1							=							1															1										:
Коэ ициенты								1		un = n(n + 3)																									3 n													3 (n + 3)
									è 1					мы здесь просто подобрали, однако можно было дей
								3					3
ствовать методом неопределенных коэ ициентов. Теперь вычислим частич-
ные суммы.				= u1 =						1								1						; S2 = u1 + u2																								=		1												1		+			1				1 ;
		S1																																																								1
									3 1							3 4												1													1			+					1	3												4 2											5
					S3 = u1							+ u2				+ u3 =																		1																					1 +						1					1		:
Начиная																												3													4								2						5						3					6
			4-й частичной сóììы некоторые слагаемûе (они подчеркнуты) на-
чнут сокращаться:										+ u3 + u4														=		1														1		+					1					1					+		1					1			+				1			1
	S4		= u1			+ u2																				3					1									4							2					5							3					6							4			7
S5 = u1 + u2				+ u3 + u4 + u5											=					1															+				1							1			+			1							1			+		1							1		+	1		1 : : : :
																				3						1					4								2							5						3							6					4							7			5
																																																																												8
Л гко понять, что, начинàÿ ñ n = 3; îðìóëà																																																	частичнîé ñó																	ììû áóäет следую-
ùåé:						Sn		=		1				1	+					1				+		1											1													1												1				:
										3										2						3						n + 1																n + 2											n + 3
																																		36

u	n	=			2 +1				: Далее,								àê æ								как в пункте 2),																													авим полученную дробь в
						2				простейших. Здесь исполüзуем метопредстнеопределенных коэ ици-
âèäå ñnóììû(n 1)
ентов:															un			=						2n2+ 1							= A							+					B							+							C				:
																						n(n 1)														n				(n 1)														n + 1)																	é
Приводим правую часть к																									бщему																									и приравниваем по уч н
числитель к числителю лåâîé ÷àñти.знаменВ резульателюате получим систему																																																																ëèíåéíûõ
уравнений:																										(		A +						B			+							0			:
																																					C					=		2
Åå ðåø										A = 1; B =															3	; C			= 1									A						1
																																					: Таким образом, получено следующее
разложение:													un		=						1			+ 2			3							2							1							;		n = 3; 4; : : : :
																				n					2(n 1)													2(n + 1)
Теперь вычислим частичные суммы:																																				1					3									1
																							S1 = u3						=									+																	;
																																				3			2 2										2 4
																											1																														3						1
											S2 = u3 + u4 =																	+					3								1								1			+														;
																											3					2 2								2 4									4							2 3							2 5
																	1								3																																				1								1
S3 = u3 + u4										+ u5 =										+											1					1			+					3											1							+		3						; : : : :
																	3							2 2					2 4														2 3										2 5												2 4			2 6
																																						4																				5
Заметим, чòî, íà÷èíàÿ S , ïðомежуточнûå ñëàãàåìûå ñîêðàù																																																																àþò		ñÿ (îíè ïîä-
черкнуты). В ормуле																			îñò3àíóòñÿ ëèøü 6 ñëàãàåìûõ:																																						1						; k = 3; 4; : : : :
			Sk = 1							+			3			+					1									1													1
		Ï ð				ì		3					2 2					2 3								2 (k + 2)														k + 2											2 (k + 3)
									ð 2. Èсследовать сходимоñòü è íàéòè ñóììû, åñëè ýòî âозможно,
ñëåäóþùèõ									числовых р																							1				n(n + 3)										; 3)				3 8							+	4 15						+		5 24			+ : : : :
	1)		6 +				2	62				2	+		3	63			ÿäî+â: : : ; 2)											X
			1 3					2						3		2					3																	1														7									9					11
																															n=1
				ø
								и е. Основной частью этой задачи явлÿåòñя нах ждение ормулы																																																															â
n-ãî ÷ëåíà										пос едовательности частичных																																				ñóìì. Íî															ýòî			ìû				äå àëè
примере 1. Осталось исследовать существование предела числовой посëедова-
тельности Sn.																																				37

Sn

=

2

2

n +

2 3

n ; n = 1; 2; : : : :

Вычисляем сумму ряда как ïðåäåë:

1

1

+

1

= 1

:

S = lim S

n

= lim

n

n!1

n!1

2

2

n

2 3

2

2). Для второго ряда частичные сóììû èìåþò âèä:

S1

=

1

;

S2

=

7

;

Sn = 1

11

4

20

; n = 3; 4; : : : :

1

1

1

3

6

n + 1

n + 2

n + 3

Поскольку предел последовательносòè íå çàвисит от значения конечного числа

ее членов, сумма ряда еñòü ïðåäåë:

1

1

1

S = lim

1

11

1

=

:

3). ассуждая

n!1

3 6 n + 1 n + 2 n + 3

18

àê æå êàê â ïóíêòå 2), выписываåì îðìóëó частичных сумм

(см. пример 1

ïóíêò 3)):

1

1

1

Sk

=

7

; k = 3; 4; : : : ;

2 (k + 2)

k + 2

2 (k + 3)

12

и считаем предел последовательности:

1

1

7

S = lim

7

1

=

:

k!1

12 2 (k + 2) k + 2 2 (k + 3)

12

Прим р закончен, äíако стоит заметиòü, ÷òî íахождениå îðìóëû n-ãî ÷ëå-

инструментпоследовательностиисследованиичастичныхдимостиопределенядов è

вычислении

èõ

ñóìì.

íà

сумм задача сложная

в больши стве

случаев не решаемая. Тем не менее,

е суммы ряда не единствеííûé

2.1.2. Признаки

сходимости

знакоположительных рядов

n=1

яд P un называется знакоположительны , если все un не трицательны. Напо-

мним основные теоремы признаки сходимости

знакоположительных рядов.

38

определения;з значений

в) f( ) монотонноуральныхубываетзначениях. Тогдааргумента,ряд nP=1 f(n),несобсоставлтвенный

èнтеграл

R 1 f(x) dx ведут себя одинаково оба сходятся или оба раñходятся.

1

Теорема 2.2 ( признак сравнения)

n

n P

P

n=1

n

n=1

n

, причем 0 u

Пусть даны два ряда P u

, P v

v . Тогда:

1) åñëè ðÿä n

vn

сходится (и имеет сумму

), òî ðÿä n=1 un

тем более схо-

дится (обозначим его сумму как S), причемS

S;

P

P

асходится.

2) åñëè ðÿä n=1 un

асходится, то ряд n=1 vn тоже

Теорема 2.3 ( пðедельный признак сравнения)

> 0, vn

> 0, и пусть

Пусть даны два ряда

n=1 un,

n=1 vn, причем все un

существует lim u

P

P

= K. Тогда:

n!1 vn

n=1

1)

<

P

сходится, то ряд

P

0

< K

1 è ðÿä n=1 vn

расходится, то ряд n=1 un тоже расходится;

2)3 åñëè 0 <

K < 1, то ряды ведут себя одинаково (оба сходятся или оба

расходятся).

)

Теорема 2.4 (признак

= :

Пусть дан ряд

n=1

u

, причеД'Аламберавсе u

> 0, и пусть существует lim

un

n

n

n!1

Тогда:

<

P

P

сходится ;

un+1

1)

2)

åñëè

>

1, òî ðÿä n=1 un

расходи

ñÿ ;

3

= 1, то признак неэ екòивен (ряд может как сходиться, так и

ðасходиться).

Теорема 2.5 ( радикальный признак

= .

Пусть дан ряд

P

u , причем все u

> 0Коши), пусть существует lim n u

Тогда:

n=1

nP

n

n!1

p

n

1) åñëè < 1, òî ðÿä n=1 un

сходится ;39

Òрасходиться)2.6.

( необх димый признак

х димости)

Åñëè ðÿä

сходится

члена(неоремаважноавензнакопонулю.ложительный или знакопеременный), то преде

его общего

Теперь для

à,

õ

ядов мы можем

õ

ëü

.

к определение суммы

димостивсе с ормулирова ные

необдимостих

F Исследованиеисследованиядимостих

ряда полезно начи а ь

проверки

ìîãî

признака: если

ïðåä

общего члена не

íîëü,

òî

признакирас

èòñÿ; åñëè

íîëü,

продолжаем

дбирая по виду

ядаиспользоватьдх дящий

ï

ðè-

çíàê

тох димости. Особеннос

îâ

сравнения

тельная ормулировк исследование,гипоòåçû

хподимостипризнакяда

подбор эталонногопредваяда

äëÿ

ия. Здесь

часто

примененияетс эквивалентность

бесконечно больших

и бесконечно малых величин.

Псравнеи ì ð .

Исследоватьиспользуна х äèмость слеäóþùèå ðÿäû:

1

1

X

1

X

4

X

2

ln n

X

1

1)

n(n + 1)(n + 2)

; 2)

n sin

; 3)

p

; 4)

;

n=1

n

n

n

n=1

(2n 1) ln(3n + 1)

p

3

n7

1

+ 5

X

2

n=2

5)

X 4n =1

n2

; 6)

1

:

å ø å è

n=1

(n 1)!

n=1

3n +

. 1). Ëåãê

ïîíÿòü, ÷òо предел общего члена р да на бесконеч-

ности

ноль, поэтому продолжаем ис ледование. Функция, стоящая

од знаком

ряда знакопеременная

и , начиная ñ n = 5, отрицательная. Перепишем ряд

в виде суммы:

4

1

1

4

4

n 4

X

=

X

X

:

n=1

n(n + 1)(n + 2)

n=1

n(n + 1)(n + 2)

n=5

n(n + 1)(n + 2)

яд сходится тогда

÷то первоначальíûé

òолько тогда, коãäà ñõî-

Понятно,дитс знакоположительный яд

1

n 4

Изучим его.

P

:

÷òî ïîä

n=5

n(n+1)(n+2)

знаком

яда стоит

-ðàöèональная ункция. Такого Заметим,па яды проще

всего

сследовать

ñ

ïîì ùüþ

признака

сравнения

2.3).

Сравнивать будем

ÿäîì

P

предельного1 : Известн , что если > 1; то ряд(теоремах дится и

n

n=1
если 1; то расхдробнодится. Подбираем эталонный ряд (т.е. вычисляем ):
бесконечно большая величина n 4 эквивалентна n, а бесконечно большая
	40