ДУ практика

Приложения
1. Типы ДУ первого порядка							Способ решения
Òèï
ДУ с разделяющимисуравненияпеременными					d	азделение переменных
y							= f(x)dx ëèáî g(y) = 0
dx = f(x) g(y)					g(y)
Однорîäíûå óðавнения								Çàìåíà
	y	= ' y				z(x) = y , y0 = z0x + z
	dx	x						x
Линейное ДУ								Замена
y0 + P (x)y = Q(x)					y = u(x)v(x), y0 = u0v + uv0
ДУ Бернулли								Замена
y0 + P (x)y = Q(x)y					y = u(x)v(x), y0 = u0v + uv0
Уравнение в полных äè åðенциалах				Âîсстановление ункции F (x; y)
M(x; y) dx + N(x; y) dy = 0;				n Fx	M(		)	из системы
åñëè M(x; y)			N( ; y)					F (x; y) = C решение.
		y	x	y	=N(x;y):

71

Òèï уравнения

ПоследовательноеСпособ решенияинтегрирование

2y

= f (x)

y =

R (R f(x)dx)dx

dx2

y0

Замена

F x; y0; y00) = 0

= p(x); y00 = p0(x):

0

00

0

Замена

0

F

; y

) = 0

y

= p(y); y

00

y; y

= pyp:

Однородное ДУ

y0

Замена

F (x;

0

; y00) = 0; åñëè

0

00

= z(x) , y00 = y(z2 + z0).

00

) = t

m

; y

)

F (x; ty; ty y;ty

F (x; y; y

Ñâедение к ДУ 1-го порядка

ДУ в полных производных

dxG(x; y; y0) = 0

G(x; y; y0) = C1

3. Фундаментальные системы решений для ОЛДУ с постоянными коэ и-

циентами

~

1 Корень характеристического уравнения k действительный кратности r

~

~

2

~

r 1

~

(r > 1 . Тогда в ФС войдут ункции e

kx

; xe

kx

e

kx

; : : : ; x

e

kx

:

, x

2. Среди корней характеристического

имеется пара омплексно

с пряженных корней i , встречающаясуравненияr раз,

r > 1 (r -

кратная

ïàðà

корней). Тогда в ундаментальную систему решений войдут ункции

e

x os

;

xe

x os

;

x

r 1

e

x os

x

;

( всего 2r ункций):

sin

x;

sin

x; : : : ;

sin

Количество ункций в ФС равно порядку ди еренциального (и характери-
стического) уравнения.	72

Правая часть ДУ

Вид частного решения

P

(x)

xsR

(x); ãäå

k

k

многочлен степени k

r = 0 корень характеристического

k

P

(x)e x;

уравнения

кратности

s; s > 0

уравнения

; s > 0

xsR

(x)e x; ãäå

k

k

P (x) многочлен степени k

r = корень х рактеристическ

äå

P

(x) os

+ Q

n

(x) sin x;

xs(R

m

(x) os x + T

m

(x) sin x);

k

P

( x); Q

(x)

r = i корень характеристического

k

n

уравнения кратности s; s > 0,

многочлены степени k и n

s

(Pk(x) os x +

sin x)e

x

;

m = fk; ng

x

; ãäå

n

x

(Rm(x) os x +maxT

(x) sin x)e

k

r = + i корень характеристического

P

(x);Q (x)

многочлены степени k и n

уравнения кратности s; s > 0,

R

(x), T

(x), R

m = maxfk; ng

m

m

(x) многочлены с неопределенными коэ ициентами соот-

k

ветствующей степени.

системы решений для ЛДУ Эйлера

4.

ДляФундаментальныеения n го порядк

ФС с стоит из n ункций, причем аждому

корню кратности r х

ого уравнения соответству

r ункций

1. k действительныйарактеристическорень кратности r, тогда ему

соответствуют r унк-

элементов ФС урав ения Эйлера.

öèé:

k

; x

k

ln x; x

k

ln

2

x; : : : ; x

k

r 1

x:

x

ln

2. k = i r-кратная пара комплексносопряженных корней, тогда этой

паре соответствует 2 r ункций:

2

r 1

os(

);

os( ln x) ln x; x

x;

x

os( ln x) ln x; : : : ; x

os( ln x) ln

sin( lnx); x sin( ln x) ln x; x

sin( ln x) ln x; : : : ; x

sin( ln x) ln

x:

73

2

r 1

sin

x

3!

5!

+ : : ; x 2 R;

2n

osx = 1 x2!

+ x4!

::: + (

n

(2xn+1)! : :: ; x 2 R;

x + : : : ; x 2 ( 1; 1);

(1 + x)

= 1 + x +

x

+1)!: : : +

ex = 1 + x

+ x

+ x

+ : : : + xn

+ : : : ; x 2 R;

x

1!

x3!

2!

5!

3!

: : :

x2nn

+ : : : ; x 2 R;

(2xn2n

sh x = 1

+ x2!

+

4!

+

: : : +

: : : ;

2 R;

ln(1 + x) = x

2

+ x3

: : :

( 1)nxn

+ : : ; x 2 ( 1; 1);

2

3

n+1

( 1)

2

( 1): :( n+1)

n

x3

x5

2!

n x2n

n!

ar tg x = x

+

3

5

: : : + ( 1)

2n+1

+ : :

: ; x 2 [ 1; 1 :

6. àçëîæåние некотîðûх ункций в тригонометрический ряд Фурье

sin x

sin 2

3

5

( 1)n+1 sin nx

1)x

x = 2

1

2

+

sin3

n

os(2

3

: : : +

+ : : : ; < x < ;

2

2

os 2x

os 3x

( 1)n+1

os nx

jxj =

2

+

32

52

: : :

(2n 1)2

+ : : : ; < x < ;

22

x =

3

4 os x

+

32

+

: : : +

n2

+ : : : ; < x < ;

a

<x<0;

4a sin x

sin 3x

sin 5x

n 1)x

a ; 0<x< ;

f(x) =

1

+

3

+

5

+ : : : +

sin(2n 1

+ : : : ;

x( x) ïðè 0 x è íå÷åòíî ïðодолжена на ( ; 0), тогда

f(x) =

8 sin x

+

sin 3x

+

sin 5x

n 1)x

:

1

33

53

+ : : : + sin(2 1)3

+ : : :

74

ëàâà1.1. 1Äè. 21

еренциальныеОд ородныесуразделяющимися. п. рвого. . .переменными.порядка. . .

3

Линейные ур урàâíенияавнения Бернулли

1

4

Уравнения

в полных ди еренциалах .

5

Задачи для самоñòоятельного решения

1.2. Ди еренциальные уравнения высших порядков.

1

n

âèäà dxn y (x) = f (x) . . . . . . . . .

2

Уравн

ÿ, íå

ржащие

искомую ункцию

3

свободную переменную x

4

Однородные уравн ния высших

2

5

Выделение

полной

производной порядковДУ высших порядков

6

Задачи для самостоятельного

1.3. Линейные ди еренциальные уравнения .

1

ЛДУ с переменными коэ

2

ешение НЛДУ методом Лагррешенияжа . . .

3

Î

êîý ициеициентами

4

ÍËÄÓ ñ

5

Уравнение Эйлер . . . . . . . . . . . .

1.3.6.

Задачи дляпостояннымиамостоятельного решения

ëàâà 2. ÿäû

2.1.

Числовые яды . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Определение

ление суммы ряда

2

знаки сходимости

знакополож тельных рядов

3

накопеременные

компл ксные ряды .

1

4

Ïðèближенноевычислениå

сумм числовых рядов

2.2.

5

Çадачи для

амостояте

решения

Функциональные

ÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Область сходимости

ðÿäà

2

вномерная сходимость ункционального ряда

3

Ñòåï

íûå ðÿäû . . .

. . .

4

çëîæ

ункций

в степенные ряды

2

5

Применеíè

Тейлора

6

Ç äà÷è äëÿ

амостоятельного решения

2.3. Тригонометрическиерядовяды Фурье . . . . . .

1

ï

ункций . .

2

зложение

÷ òíûõ

нечетных периодических ункций

3

í

периодических ункций

4

Вычисление сумм числовых рядов . . .

2.3.5.

Задачи для

амостоятельного решения . . . . . . . . . . .

Библ огра ический список
Ïðèложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	75

3648

1

4

5

6

18

9

1

2

4

5

26

9

2

358

7

48

0

1

55

8

0

1

4

697

8

71

			îëèê		Елена Александровна
			Соболева Анастасия Сергеевна
Ди еренциальные уравнения и ряды в
			примерах и задачах
едактор Н.П.Кубыщенко
Компьютерная верстка				Е.А. оликова
Ïî	в печать							Формат 60х84
Бумагдписанотипогра ская					ая печать		Заказ		Óñë. ïå÷. ë.1/164,3
Ó÷.-èçä. ë. 4,2				Тираж Плоск200 э з.
		едакцио но-издательский отдел У ТУ-УПИ
			620002, Åê			, ó . Ìèðà, 19
		Отпечатано в отделении полигра ии
		620002, г. Екатеринбург,атеринбургл. Мира, 19, ауд.ИВТОБ-120
				òåë. (343)-375-41-43