ДУ практика

Уральскийименигосударственныйпервого ПрезидентатехничеîññèêèéÁуниверситет.Н.Ельцина -ÓÏÈ

Å.À. Соболеолик âà À Ñ

Ди еренциальные уравнения и ряды в примерах и задачах

техническогоУчебное по обие для технологических пециаëьтетаностей

изикоаку

Под общей редакцией доц., канд. из.-мат. наук .М. Миньковой

Екатеринбург У ТУ-УПИ 2009

	Ç 56	ò û:
ê	ö å í ç
	ойа д-р из -матУральского. к, про государстве. В.Б. Сурнного); горного университета (зав.
äà-	едриз.-математикина. ук, вед.		науч. сотр. В.С. Б л нский
	оликова	.А., Соболева А.С.
З 56 Ди еренци льные					авнения и ряды : учебное пособие / Е.А. оликова,
А.С. Соболева.		Åêàтеринбóðã: Ó ÒÓ-ÓÏÈ, 2009. 76 ñ.
ISBN 978-5-321-01341-0						основе			òåê	лекций
	Учебное пособие подготовлено
д сциплине "Числовые			è		ункциональные расширенногояды, яды Фурье, ди ерен
ц альные				студентов			курса.	специальностей изикпо-
техническогоуравнения"дляакультет У ТУ-УПИ
	Издание подготовлено				при поддержктехнологическихпервого изик -технического акультета
Ó ÒÓ-ÓÏÈ.
	Библиогр.: 34 назв. ис. 2.								Ó	517:9 (075:8)
	ISBN 978-5-321-01341-0								ÁÁÄÊ	22:161:673
								; 2009
						УоликоваТУ УПИЕ.А., Соболева А.С.; 2009

ëàâà 1

Ди еренциальные уравнения

1.1. Ди еренциальные уравнения первого порядк

Обыкновенное ди

циальное уравнение (ДУ) это

уравнение, связыва-

ющее незав симую перемåíную x, искомую ункцию y(x) и ее производные или

ди еренцèàëû:

F

0

(x); y

00

(x); : : :; y

(n)

(x)

= 0:

(1.1)

x; y(x); y

Порядок n старшей производной, входящей в ДУ (1.1), называется порядком

ДУ. Иногда ДУ (1.1) можно привести к виду

(n 1)

y

(n)

= f

0

; y

00

; : : : ; y

;

x; y; y

азрешенному относительно старшей производной. Задача Коши для ДУ (1.2)

состоит в нахождении для данного уравнения такого решения, которое удовлетво-

рило бы следующим начальным условиям (НУ):

8

y

0

;

<

y

(x ) =

y

1

:

: y(n 1)

:

2:0 ;:

(1.3)

>

: : y0:0

: : :

Здесь x

0

n 1 0

y

; y

; : : :; y

0

заданное иксированное значение аргумента,

1 0

n 1 0

0

çàданные n чисел.

F (x; y(x); y0(x)) = 0 в общем виде.

Для n = 1 получим ДУ первого порядк

y = f(x; y) ДУ первого поряäêà,

разреш

нное относительно производной

dx

имеет вид:

искомой ункции. Задача Коши для него

y

dx = f(x; y);

(1.4)

y(x

) = y

:

На геометрическом язык

0

0

ÿ â

той интеграль-

задача Коши

н й кривой ди еренциального уравнения,заключаетсоторая прохпоискчерездит

начальную

точку

(x0

; y0 ).

3

классинений

первогоицируемпорядк

èç ïуравненияèëîæ каждого(ñì. Ñ.71)òèïà. Â.

следующих разделах мы

1.1.1. Уравнениярешаемс азделяющимися переменными

В разделе рассматриваются уðàвнения, которые могут быть записаны в виде

y0

=

dx

= f(x) g(y)

èëè

y

(1.5)6

P (x) Q y) dx + R(x) S(y) dy = 0:

Предполагаем, что ункции f(x) и g(y) непрерывны. Если g(y) = 0 при y = y

y = y

; : : :, то ункции y(x) y

, y(x) y

1

1

2

; : : : являются, как легко видеть,

ðåøåí2

ÿìè ÄÓ (1.5).

(1.5) на дробь dx

; ïîëó-

Åñëè g(y) =6 0, то, умножив обе части

èì d

= f(x)dx. Тем самым переменныеуравненияуравнении разделились g(îy)ткуда и

g(y)

н звание этого типа уравнениé), è осталось только проинтегрировать по x обе

÷àсти полученного уравнения:

d

= Z

f(x)dx + C;

(1.7)

Z

ãäå C

g(y)

константа.

АналогичноП р мпроизвольнаяе 1. Найти общий интåãðàë ÄÓ

разделяются перем нные в уравнении (1.6).

2

dx

= tg x sin y dy :

x os y

os

-

е ш е н е . Это уравнен е первого порядêà ñ разделяющимися

íûìè,

запис нное в симметр чной орме (1.6). Для разделения переменных

умножим прàвую и левую части уравнения на

os y :

Интегрируя, получим

tg x

tg x

os2 x dx = os y sin y dy :

1

1

Z

tg xd tg x =

Z

sin y d sin y

=>

1

2 tg2 x = 2 sin2 y + C :

Звездочкой будем помечать замечания по алгоритмам решения задач.

4

Ï ð

ì

2. Найти частный èíтеграл ДУ

0

os

2

t ln s; удовлетворяю

s = s

ùèé ÍÓ s( ) = 1:

ющимися переменными. Для ðàçäеления переменных умножим уравнение на

å ø å í

. Поскольку уравнение записано в виде (1.5), то оно с разд ля-

dt

2

:

1

dt = ln s ds :

s os t

2

s

Интегрируя, получим

Z

os t

1

Z

d tg t =

ln s d ln s

=> tg t =

2

Подстав

2

ln s + C:

чальные значениÿ t = ; s = 1 в найденный общий интеграл и

определим значение C:

1

1 + C; => C = 0 :2

tg = 2 ln2

s :

Следовательно, искомый час ный интеграл 2 tg t = ln

Ï

ì

р 3. Известно,

÷òî

скорость радиоактивного распада пропорцио-

времениш

оличеству. Пусть момент времåíи t количество вещества естьвеществаx, мо-

нальна к

x еще не распавшегося вещества. Найти зависимость x от

t, если в начальный момент времени t = t

0

имелось x = x

0

.

мент времени t + t количество составляет x x. За время t расп даетс

x

ñðедняя скорость распада за времÿ

количество вещества x. Отношение t

t, à

t!0

x

=

x

t

dt

åñòü

lim

скорость распада в ìîìент времени t. Тогда ДУ процесс :

x = kx,

де k > 0 коэ ициент пропорц ональности (посто

распа

менныемгновенДУíàияинтегрируя, получаем

dt

да), знак ¾ ¿ указывает на уменьшение x при возрастании t. азделяннаяя пере-

dx = kdt => ln jxj = kt + ln jCj => x = Ce kt:

Учитывая начальное условие x (t

; находим, что

C = x e 0 , поэтому

x (t) = x e

k(t t0)

:

0

0

0

5

dx = (x + y)2

:

данноешуравне и åние. Здеськ уравнениюпеременнсûðàå

зделенине

åмляются,переменныхо заменой. Положимможно свести

z(x) = x + y, тогда

z

= 1 +

y

:

dx

dx

Подставляя в уравнение, получим z

= 1 + z2

:

dx

азделяем переменные и интегриðóåì:

dz 2 = dx => ar tg z = x + C => z = tg (x + C) :

1 + z

Подставляя вместо z величину x + y, получаем общее решение данного уравне-

íèÿ

y = tg (x + C) x:

1.1.2. Однородные уравнения

Функция

f (x; y) называется однородной ункцией n -го измерения относи-

тельно переменных x и y, если при любомnдопустимом t справедливо тождество

f (tx; ty) t

f (x; y) :

Ди еренциаль ое

первого порядка

= f (x; y) называетс одно-

родным

уравнениеx y, если ункция f ( dxy) есть однородная ункция

нулев гоотносительноизмерения

тносительно перемеííûõ x;

и y. Такое уравнение всегда

ìîæíî представить в виде

y

= ' y

:

Îä ðî

dx

x

óðàâíения сводятся к уравнениям с разделением переменных под-

становкой z(x) = y

èëè y = z x; îòêóäà y0

= z0x + z.

П р идныем р 1 . ешить ДУ

2

2

x

2xydx + x + 3y

dy = 0 :

6

y0 = x2

2+xy3y2

=> y0

=

1 + 23xy 2

:

Теперь

0

0

ÄÓ

äнородное . Сделаем зам

xy

= z (x) : Получим

y = xz è y

= z

x + z: Ïîсле подстановки в

óравнение получим ДУ с разделя-

ющимиспонятно,чтопеременными:

=

2z

= > x

z

=

3 z +

3 :

z + xz0

1 + 3z2

dx

1 + 3z2

азделяя переменные при z =6 0, получим:

= Z 3d ln jxj :

Откуда

1 + 3z2 dz

=

3

dx 1

= >

Z

d(z + z3)

(z + z3)

3

z + z3

C

ln z + z3 = ln

jxj

+ ln jCj => z + z3 = x3 :

знака. Кроме того,

При этом моду и имеем право убрать, так как C

äëÿ C = 0:

После

обратной замены полó÷èì

решение z = 0; потерянное при разделении переменных,любоговх дит в общее решение

x3

y

+ y

= C:

Таким

x

2x3

3

= C.

общий интеграл ДУ: x y + y

dy = 0

П р иобразом,е 2 . ешить ДУ y

4

2x

y

dx +

x

4

2xy

3

3

е ш е н и е . азрешим уравнение относительно производной:

y0

4

2xy

3

при условии

x4

2xy3

=6 0 :

x

= y

3y

В данном случае

f (x; y) = y

4

3y

;

3

тогда

y

3

x 2xy

3y = f (x; y) :

f (tx; ty) =

= y

4

4

3

3

4

2xy

3

t

x

2txt ty

x

Таким образом, данное уравнение о

ородное. Исполь уем подстановку

y = ux, тогда y0

= u + xu0

. После деления

числителя и

çнаменателя на x4 =6 0

7

азделяем

xu0

+ u = 1 2u3

3

+ 1

=6 0 и интегрируем

ï è ó

x =6 0;

u

u

(èñпользуя переменныеразложени

äðîбейсловисуммуÿõ простейших):

u

1 2u3

Z

Z

1

u2

dx = u4 + u du =>

dx

=

u u3+ 1

du => ln jxj = ln

u3 + 1

+ln C:

Откуда находим общий интеграл:

3

+ 1

= Cu:

Подставляя

x

u

полученное выражение

u = y

, приходим к общему интегралу

исходного уравнения:

x

3

+ y

3

2x

= Cx y:

При решении уравнения мы полагали, что

4

3

x =6 0; u =6 0; u

3

+ 1 =6 0 ; x

2xy

=6 0:

Таким образом, возможные потерянные решения:

1

x = 0 ; y = 0; y = x; y = 2

3

x :

Можно показать, что эти

шения содержатся

общем интåграле. Так, если

0, то получим y = x

åñëè

C = 3 2

получим y = 2

x. Åñëè æå

конечному C

= 0 ), то xпараметра,y = 0 следовательно, либо x =

онечности,0 либо y = 0.

2

1

3

равное беск

3

возможно,

C = 1 (рассматривать значение параметра,

так как введение нового

2

например C1

= C 1, сводит этот случай к

1

1.1.3. Линейные уравнения и уравнения Бернулли

Линейным

я уравнение,

которое искомая ункция y и ее производная

y0 входят л и

называетсй о. Его общий

âèä:

Уравнение Бернулли0

y

0

+ P (x)y = Q(x):

(1.8)

имеет вид:

( =6 0; =6 1):

(1.9)

y + P (x)y = Q(x)y

При = 0 и = 1 это уравнение л и8í å é í î.

уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными:

v

0

+ P (x)v = 0;

0

v = Q(x)(uv)

:

Ï ð è ì å ð

u

1. Найти общее решение уравнения

y

0

+ 2

= xe

x2

:

е ш е н и е . Будем искать решениеxy(x) данного линейного уравнения в виде

y (x) = u (x) v (x) :

Подставляя в исходное уравнение, получим

èëè

u0v + uv0 + 2xuv = xe x2

(1.10)

u0v + (v0

+ 2xv) u = xe x2 :0

Опред лим ункцию v (x) как решение уравнения v

+ 2xv = 0. азделяя пере-

менныå, íàéäåì

:

dv = 2xdx => ln jvj = x2 + ln jCj => v = Ce x2

Выберем любое част ое решение, например, отвечающее C = 1. Тогда, подста-

âëÿÿ v = e

x2

â óðàâíение (1.10), получим

Откуда u0 = x, u = x2

e x2 u0

= xe x2 :

+ C. Общее решение èñходного уравнения

Ï ð è ì å ð

2 y (x) = u (x) v (x) = x2

+ C e x2 :

2. ешить уравнение

0

2

(1 2xy) y

= y (y 1) :

ш е н и е . азделим данное уравнåíèå íà

y

, тогда получим новое уравнение

dx

относительно x(y):

x

y (y 1) dy9 = 1 2xy;

линейное ДУ первого порÿädyê+ yтносите(y 1)ëüíîx = yx((yy).

1)Заметим здесь, что y = 0 и

y = 1 решения первона÷àëüíîãî ДУ. Делаем подстановку:

Уравнение приобретает вид

x (y) = u (y) v (y) :

1

u0v + uv0

+

2y

uv =

:

y (y 1)

y (y 1)

Вынесем u за скобки, тогда

u0v + u

v0

+

2

v =

1

:

(1.11)

y 1

y (y 1)

+

2

Находим v (x) как решенèå óðавненèÿ v0

v = 0. азделяя переменные и

интегрируя, получàåì:

2

y 1

dv = y 1dy;

ln v = 2 ln jy 1j + ln C:

Потенцируя полученное выражение, будем иìåòü

v =

C

2

:

Выбираем C = 1, подставляем v =

(y 1)

1

2

в уравнение (1.11). Отсюда

u0

(y 1)

1

:

2

=

азделяем переменные

(y 1)

y (y 1)

èíòегрируеì: du = y 1dy, u = y ln y + C. Таким

общий интеграл исходного уравнения будет иметь вид (с учетом поте-

образом,янных решений): x = uv = y ln y + C

;

y

y = 1 :

y = 0;

2

(y 1)

П р и м е р 3. Найти решение уравнения Бернулли

y

0

y tg x = y

2

os x:

10