ДУ практика

членов:используя в качестве

nэталоnííîãî ðÿäà(n nP=14)n122: Находим предел отношения общих

lim

= 1:

Так как 1 конечное

n!1

n(n + 1)(n + 2)

û âåäóò ñåáÿ одинак

. ÿä

îòëичное от нуля,

2). Начнем, как всегда,число, вычисëåíèÿ ïðåäела общего члена ряда:

n=1

1

1

n 4

тоже сховодится,

n=5

P

я, а значит знакоположительный ряд

P

n2 õî

n(n+1)(n+2)

à âìестедитсним сходится

первоначальный знакопеременный.

lim n sin

2

= lim n

2

= 2 =6 0:

n!1

n

n!1

n

ðåìà 2.6).

Значит ряд расходится (по н обходимому признаку схо

3). Вычислить предел общåãî ÷ëåíà ðÿäà ìîæно, например,димости,тепомощью

ïðà-

вила Лопиталя:

ln n

= lim

p

= 0:

lim p

7

4

Далее п

n!1

3

n

n!1

n7

3

n

àê

ê ряду непредåëüíûé ïðèçíàк сравнения. Действовать,

â ïð ìåðимени1), мыì

ìîæåì, òàê

2

ак бескон чно болüшая ln n не эквивалент-

íà íèкакой степеííîé

óíêöèè.

Äëÿ

нашего

ðÿäà

льзуем неравенство:

ln n < n: Тогда

3 n7

<

3 n7

=

3 n4

:

Поскольку ряд

n=1

3 n4

ходится как степе ной

ln n

n

1

P

1

p

p

p

p

показателем больше åäèíèöû,

и меньший ряд тожиспходится (по признаку

ñравнения, теорема 2.2).

яда равен нулю. Сле-

4). Для этого

яда очев дно, что предел общего чëåíà

дующий этап

выбор признака сх димости. Сравнение со степ

и рядами

здесь не работает. Однако проведем

сравнение с чуть подправленным

рядом

1

1

X

:

n=1

(3n + 1) ln(3n + 1)

Для этого найдем предел отношåíèя общих членов сравниваемых рядов:

2

n!1

2

1) ln(3n + 1)

=

2

онечное число, отличное от 0.

(3n +

3

lim

соотношение,

Ïðè ñðàâ åíèè

ë

а и мическую

ункцию со степенными: если > 0; то x

> ln x

для достаточíо большихполезноложительных

x;связывающиеначинаянекîторого x

:

41

0

предельному признаку ср внения, теорема

2.3). Äëÿ

второго ряда воспользу

емся интегральным признаком Êîøи. Вычислим соответствующий ряду несоб-

ственный интеграл:

1

1

1

Z

dx =

ln(ln(3x + 1))

= 1:

1

(3x + 1) ln(3x + 1)

3

1

То есть интеграл

1

(3x+1)

1

x+1)

dx расходèòñÿ,

следовательно, расходится

R

со тветствующий ему рядln(3=1

(3n+1) ln(3n+1)

(ïî

признаку

Êîøè,

5). Эт задача

îдразумåâàåò

1

интегралД'Аламберьному

à, òå ðåìà 2.4,

òåîðåìà 2.1). Íî

1

P

яд расх дится.

гда и п рвоначальный

вычислим отношение (n + 1) - гîпрчленаименениеядапризníàê- ìó:

(например поòîìó, ÷òî ïîä çíàê

2

ÿда присутствует акториаë). Ñîставим и

un+1

4np(n +

+ 5 (n 1)!

4p(n + 1)2 + 5

u

=

n 1)

2

=

p

2

:

n

n!4

p

n + 5

n

n + 5

Посчитаем предел найдåííîго отношения:

lim

un+1

= lim

4p(n + 1)2 + 5

= 0 < 1:

p

2

n!1 u

n

n!1

n

n

+ 5

Так как полученный пред

ñõ äè ñÿ.

меньше 1, ряä (ïî ïризнаку

6). Последний ряд исследуем с помощью радикальногоД'Алампризнакáåðà)Êîøè (òåî-

ðåìà 2.5):

p

s

2

n=2

2

1

1=2

r2

lim

n u

n

= lim n

3n + 1

= lim

3n +

=

3

< 1:

n!1

n!1

n!1

Поскольку п

äåл меньше 1,

яд сх дится.

Коши радикальный более удоб ы,

F Заметим, что признаки

Д'Аламбера

дела общего

члена

яда по необхалоновдимому признаку сх димости.вычислениеПоэтому при-

òàê êàê íå òð áóþò

подбора эт

. Кроме того, в этом случае

í

èå

пределов по

теоремам

Коши или Д'Аламбера

сложне , чем

мерах 5) 6) мы не проверяем равен ли нулю предел общего

члена ряда. Однако

теоремы Коши

è

Д'Аламбера

не всегда применимы.

42

Знакопеременным

ð

ñë

гаемые которого имеют разные знаки.

Знакочередующимся называется ряд,видà

1

a1

a2

+ a3

a4

ãäå âñå

a

+ : : : + ( 1)n+1an + : : : = X( 1)n+1an;

n

> 0 èëè a

< 0.

, ãäå u

n=1

ïðî-

Будем

n ðÿäû âèäà P u

n

n

числа

извольногорассматриватьз к или комплексные.n=1

действительныеju j ходится.

ÿä

u

í

я абсолютно сходящимся, если ряд

ju j

n

азывается условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд

n=1

n

P

n

n=1

n

P

P

расх дится. Напомним основные

.

Теорема

2.7 ( об абсолютнойтеоремых димостиразделаяда)

òî-

Пусть ряд

P ju

n

j, составленный

из модулей, сходится. Тогда ряд P u

n

же сходится.n=1

одимости комплекснозначных

äîâ)

n=1

Теорема 2.8 ( о

Пусть из комплексных чисел zn = xn

+ iyn образован рÿд n=1 zn. Справедливы

утверждения :

P

1) ðÿä

n=1

сходится тогда и только тогда, когда сходятся по отдельности

P zn

ðÿäû n=1 xn,

n=1 yn, причем

n=1 zn = n=1 xn + i n=1 yn;

P

P

P

P

P

2) ðÿä

P z

n

абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно схо-

n=1

P

P

дятся ряды n=1 xn

n=1 yn.

Теорема 2.9 ( признак Лейбница)

=1 2

3

> 0, выполняются

1)2 lim an

= 0.

для знакочередующегося ряда

nP( 1)n+1an, an

Пустьлагаемые ряда

по модулю: a > a

> a > : : : ,

условия :

Тогда ряд сходится,убываютсумма ряда не превосходит модуль первого слагаемого:

n!1

43

n=1( 1)n+1an a1:

P

ñí бимостирядовдимого(òк признакæ сногоаê õè

димостизнакоположительных)да дится(см. С.изучению40, стоитх 2димости.6начинать). Причемдвух действи

ельных рядов. В силу

теоремы

2.8 комплексныйтеоремаяд расх дится тогдаизучентольк

ò гда, когда расхомплекдится хотя бысводин из

авляющих

åãî

действительныхпроверкия

äîâ

ñõ

выполняется, нужно

2. Д лее, если необх димый

ðåòü

àбсолютную х

мость

яда. Для ряда из модулей, как знакополо

ельного, подб раем дин

из признаков

димостих

. Åñëè

посмох жид -

3.

åñòü, òî

è

закончено (в

2.7).

абсолютнойсследованиех

íåò, òî

состследу

ÿä (èëè

абсолютнаяряды) условную

мостьõ

например

по признаку

Лейбница (теоремà

2.9).

Пдимость,Еслир е р .

Исследоватьдимосхòèдимость следующихореìûÿäîâ:

1

2)

X( 1)n

2n 1;

1

1) X( 1) sinn3n ;

=1

n

3 n

n

( 1)n

3n

ln n

X

;

4)

X

+ i

:

ø

3) n=1

( 1)n 1

2n + 1

n=1

5n + 2

n

и е . 1). Заметиì, ïðåæде всего, что первый

яд является знакопе

ременным,

но не знакочередующимся. ассмотрим ïðåäåë

îáùåãî ÷ëåíà ÿäà:

lim( 1)n sin 3n

= 0; òàê êàê ( 1)n

1

бесконечно малая, а

3n

îграничен

n!1

3n

3n

P j sin 3nj

: Ограни-

íàÿ. Ïðîäîëæим исслеäîâàíèå: ðассмотрим ряд из модулейsin=1

3n

÷èì

÷ëåí ðÿäà:j sin 3nj

<

1

: По кольку ряд геомет ической прогрессии

P

1

3n

3n

ж сходится

знакополо-

n=1

3n общийс дитс , то меньший ряд

ð

). Следов тельнто,

первоíачальный(признакяд сравнениях дитс абсолютно.

2). Ýòîò ðÿäîâляется знàкочередующимñя. Проверим необходимый признак

жительныхс одимости:

lim( 1)n

2n 1

=

2

;

3

2

n!1

3n

; n = 2k + 1:

3

То есть предел общего члена не существует, а значит, ряд расхîäèòñÿ.

3). ÿä çíàê

я. яд из модулей имеет вид:

P

n

n

; поэтому

2n+1

	n=1
удобно его исследоватьочередующийспомощью радикального признака Коши (в частности,
44

Следовательно,4). яд

первоначальнnlim!1 n ûéun =ðÿänlim!1àá2ñîëþn 1òíî= ñ2ходится< 1: .

ÿ è õîäèòñÿ

ствительных частей

P

( )n

çíàê

ïî

Ëåйбница.

n=1

5n+2

1

= 0;очередующèéñ

1

lim

5n+2

n!1 5n+2

признакубывает. АбсолютДействитеíîé õëьно:димости здесь нет, последовательностьак как общий член ряда

монотонноиз дулей

1

эквивалентен (как бесконеч о малая) общему члену расх дя

5n+2

1

P

1

P ln n

щегося гармонического ряда

5

n=1

n.

èç ìíèìûõ ÷астей

n=1

n

знакопîëî-

жительный, обùèé ÷ëåí åãî стремитсядк нуëþ.

ln 2

исследования сх

признак сравнения (теорема 2.2):

ln n

для n 2. Для меньшего

а имеем

n

= ln 2

n, значит, он расходитсДля.

расхдимостидится

применимÿä из мнимых частей. Вывод: весь комплексный рядСледовательно,расх дящийся.

P ln 2

P 1

n

n

n=1

n=1

2.1.4. Приближенное вычисление сумм числовых рядов

До сих пор сумму числового ряда мы вычи

яли по определению, что,

во-первых, трудно и, во-вторых, в большинстве

ñëучаев невозможно. Но

âû-

ять точное значение суммы, как правило, не нужно. Пр ближенное

÷èñëение суммы

яда основано на том, что S есть предел частè÷íûõ ñóìì S

N

:

Тогда SN

åñòü

приближенное значение S с абсолютной погрешностью

1

X

jS SN j = j n=N+1 unj = jRN j:

Будем говорить, что сумма ряда вычислена с точностью ", если абсолютная

погрешн сть

е превосх дит "; то есть: jS SN j = j

1

P unj = jRN j ": Îöå-

нить абсолютную пог ешность, значит оценить остаток ряда R

по абсолют ой

величине. Числовые

û R

будем оценивать дву

n=N+1

N

N

я способами. Для оцеíêè

знакочередующегося ряда буд м исп льзовать теорему Лейбница (см. С.43, те-

F Пусть нужно найти суммупрогрессииÿäà

un

точностью ": Для эт го следует:

орема 2.9); для знакоположит

льного

хорошо суммируемый ряд бесконечно

убывающей геометрической

.

n=1

P

j " с помощью оценок

1) убедиться, что ряд сходится; 2) из

неравенства jR

N

45

приближенногоП м р 1 .значенияВычислитьäëÿсуммуS:

ряда с точностью " :

X

2n + 1

X

2

1) n=1 ( 1)n n3(n + 1)

; " = 0; 01 ; 2) n=1

(2n)!; " = 0; 001:

ÿ ðÿ-

å ø å í è å .

1). Ïå âûé ðÿä является знак

сходящи

По заключ нию этой

теоремы сумма знакочередующегосяочеðåäóющимся а не превосх дит

äîì, ò

ак удовлетво яет условиям теоремы Лейбница (см. С.43, теореìà 2.9).

модуля своåго первого слагаемого. Этот акт мы используем

для оценки остат-

êà ðÿäà:

1

2n + 1

2(N + 1) +

X

jRN j = j

n=N+1

( 1)n n3(n + 1)j juN+1j =

(N + 1)3((N + 1) + 1)

:

Если мы потребуем, чтобы выполнялось неравенство

2(N + 1) +

заданная

(N + 1)3((N + 1) + 1) " = 0; 01;

будет достигíóòа. Из этого неравенствà íàõîдим N: Проще

всего это

точностьделать подбором:5

;

N = 2; u3

=

7

100

; : : :

N = 1; u =

24

27 4

N = 5; u6

= 21613

7

100

:

Следовательно, для N

5

ается точность " = 0; 01 Понятно, что для

вычисления частичной суммыдостèãаточно взять 5 слагаемых:

5

2n + 1

S t S5 =

X

Вычисляя слаг

n=1

( 1)n n3(n + 1) t 1; 7304 t 1; 73

÷

суммы в десятичных дробях, мы обеспечиваем

два верных знакаемыепосле зап

òî åñòü

ок углений и ари метиче-

ñêèõ

берем

настичнойпоряд к больше (этого, как п авил , достаточно).

2). операцийЭтот яд знакоположительный, схточностьдящийся

(наприм р, по признаку

Д'Аламбера, см. С. 39). Оцениì îñòàòок ряда суммой бескоíå÷íî

убываþùåé

геометрической прогресñèè. Для этого заметим, что

=

23

2

=

1 ;

åñëè n = 2;

òî u

2

=

22

2

=

1

; åñëè n = 3; òî u

3

(4)!

42

22

46

(6)!

43

23

Таким образ м, остаток ряда R

4

4

N

; N 1; оценивается рядом геометрическîé

прогрессии сî знаменателем1 q =

:

1

1

21

1

1

RN =

X

2 n

X

=

N+1

=

:

n=N+1

(2n)!

n=N+1

2n

12 1

2N

Потребуем, чтобы

N

2

" = 0; 001: Тогда требуемая

сумму S

; гарантирувыполнялотри верныхñü íåðàâåзнакнствпослеî

çàïÿòîé:

точность будет достигнута, начиная N =

102

: Òåïåðü âûчисляем частичную

10

10

2 n

S t S10 =

X

n=1

(2n)! t 1; 67755 t 1; 678:

F Стоит заметить,

яда может быть д стато но грубой

оценка остатк

П р и мзавышенной),р 2 . Оценить погрешностьñóìмированиюавенсò S t S

для следующего

(òî åñòü

÷òî приводит к

åì ý

большегî

êîëè÷ества сла-

аемых в частичной сумме. Проиллюстри

на примере.

числового ряда:

1

2 n

10

X

= S:

å ø

н и . Погрешность

n=1

(2n)!

есть остаток ряда. Оценим его болåå àêêóðàòíî,

чем в предыдущем примере. Если

10; òî

2 n

2 n

= 1 :

(2n)! = 1 : : : n(n + 1) : : : (2n) 10n; òî åñòü un =

(2n)!

10n

Следовательно,

X

2 n

X

1

1

5

1

5n

n=11

(2n)!

n=11

5

4 5

R10

=

n =

11

1

=

10

10 7:

5

Мы видим, что десять слагаеìûõ

÷àñòè÷íîé ñóììå ìогут обеспечить 6 вер-

ных знаков после запятой. Таким образом, реальная точность приближенной

рмулы S t S

10

гораздо выше, чем г рантированная в предыдущем примере.

Íî нужно учесть, что была поставлеíа обратная задача.

2.1.5. Задачи для с

мостоятельного решения

10

n=1 9n2+12n 5

47

1. Найти сумму ряда P

6

по определению. (Ответ:

7

:)

1)Xn=1

n sin1

n3

X; 2)

n=1

5(n 1) +nn 1n

; 3)

nX

( 1)+(n1)!+ 3);

4)

n=1

n ln(n + 1); 5)

n=1 ( 1)n+1

2n + 1

; 6)

n=1

ln(n + 4)

:

(Ответы: 1)

ходится; 2) схоäèòся; 3) сходится; 4) расходится; 5) ходится;

3. Âû÷èñëèòü сумму ряда n=1 (2n 1)2(2n+1)2

ñ çàданной

точностью

" = 0; 001:

6) расход

òñÿ.)

P

( 1)n

Функциональные ряды

2.2.1.

Область сходимости ункционального ряда

ых на некотором множе-

Если u (x) последовательность

стве X, то ункциональным рядом называетсяункций,определенвыраж íèå âèäà

n

1

u1

(x) + u2

X

un(x):

(x) + : : : + un(x) + : : : = n=1

0

Пусть числовой ряд

n=1

n

0

P

n

, ñõî-

P u

(x

), составленный из значений u

(x) в точке x

дится числу S(x0 ). Тогда ряд n=1 un(x)

я сходящимся в этой точке, а

S(x) = n=1 un(x); определеннаяназываетсм альногожестве точек

ходимости ряда,

сама точка x

есть точка сходимости

ðÿäà.

n=1 jun(x)j

( óíê-

Множество точек x;ункциональногодля оторыхункциональногосх дится числовой ряд

0

P

ðÿäà.

ряда называется его областью

называетсФункция суммой

сх димости

сходимости.

P

öèè u

n

(x) знакопе еменные), будем называть

абсолютной

ðяда. Область

областьюх димости содержитссходимостив област

схункциональногодимости ряда (см. С. 43, теорема 2.7).

P

F Задачу нах ждения обл стиабсолютнойх димости ункциональн

ãî ðÿäà n=1 un(x)

можно пере ормулиро ать как

задачу исследования сходимости

соответству-

ющего числового яда в

от значения параметра x: Поэтому здесь

используются признаки схзависимостидимости числовых рядов.

48

å ø 1)å ínè=1å

. n21).

;

Î2)òметимn=1 2n2 ñíxà÷àë2à,e (÷òîx 1)3 ;область3) n=1 ( 1)пределенияn 1 2n слагаемых:

n

ÿäà

un(x)

=

sin2 x

âñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ

îñü. Íî äëÿ

любого

x верно

n x

j

1

: По признаку сравнения ( м. С.39,

2.2),

неравенство:jsin2

n2

äëÿ

всякого иксировàнного x ряд

P

n x

абсолютно

сх дится, теоремаê êàê

õî

степенной р д

P

1

n=1 sin2

n=1

n2

: Значит, область сходимости, бîëåå òîãî абсолютнойдитсхо-

äèìîñòè, âñÿ

p

n2

действит льная ось.

2

ëó÷ x 2: Òî-

2).

Îáëасть определения

ункций un(x) = 2

x 2 e (x 1)3

p

2

ãäà

n2 3 < 0 è lim un(x) = lim 2n2

n

= 0

вс кого x 2: Таким

x 2 e (x 1)3

(x 1)

n!1

n!1

õîäèìîñòè âûïîлняетсдля для

допустимых

образом, необходимый признак

значений параметра x: Теперь

èññëåäóем ряд на абсолютнуювсеходимость, для

чего применим радикальный признак Коши (см. С. 39, теорема 2.5):

q

2

p

n

lim

n

2n

x 2 e

(x 1)3

= 0 < 1 для любого x 2 :

n!1

ÿä

õ

òñ

области

x 2:

Таким о р зом,

îñü.

3).

Область определения ункцèй-сл гаемых определениявс

Исследуем абсолютнуюабсолюх тнодимость

ряднас помощью признакдействительнаяД'Аламбера

(см. С. 39, теорема 2.4):

jx 2j2(n+1)

n

2

lim

jun+1j

= lim

:

ju

j

= jx 2j

n!1

n

n!1 2(n + 1)jx 2j2n

Если jx 2j < 1; то ряд абсолютно сходится. Для x; таких, что jx 2j > 1;

яд расходится, так как предел общего чëåíà ðÿäа не равен нулю (см. С.39 ,

теорема 2.6):

lim u

n

= lim( 1)n 1 (x 2)2n

= 1:

n!1

n!1

2n

Отдельно рассмотрèì x 2 = 1: Подставим x = 3 в первоначальный р

получим:

P

( 1)

n 1

1

ÿ ðÿä (ñì. Ñ.43ÿä,

n=1

2n сх дящийся условно знак

àêæ

яд Лейбница, сходящий-

теорема 2.9). При подстàíовке x = 1; получим

ся условно:

P

( 1)

3n 1

1

: Таким

областьочередующийсх димости найдена это

2n

n=1
отрезок [1; 3 ; а область абсолютнойобразом,сх димости открытый интервал (1; 3):
	49

ÿä nP=1 un(x)

я равномерно сходящимся на множестве X, если после-

этомдовательностьмножествå,называетсготочаñòичныхь

сумм Sn(x) равномерно сходится к сумме S(x) на

8" > 0 9N(") : 8x 2 X 8n > N jS(x S (x)j = jR (x)j < " :

Известно,

(ò

е как абсолютная) х димость на множестве

и равномернаядимостьравномернаях димость не

n

n

àê

прич нно-следственной связью. Поэто-

X влечет

÷òîõ

ÿäà â

точке этого множ

. Но абсолютная

му соотношение

между областямисвязаныаждойх димости разного сортестваможно изобразить

схематично диаграммой: ñõ

областьх

димости

х димости

ть абс лютной

равномерной

С ормулируем

достаточный признак

сх димости.

Теорема 2.10 (признак равномерной

областьх димости Вейерштрасса)

P

n=1

n

(x)

существует такой числовой

Пусть для ункционального ряда

P u

ðÿä

n=1 an

(называемый

ìàæî

рядом или

мажор нтой

), ÷òî

jun(x)j an, 8x 2 X, 8n 2 N,

причерующимряд P an

сходится. Тогда ряд

P un(x)

равномерно сходится на

X.

n=1

n=1

ñëàã

яда на некотороммножествеестве

от x: Полученный оценкой

F

ие равномерной

х димости ряда будем проводить с помо

ùüþ

ИсследоваВейерштрасса. Для этого необхо

сверху оценить ункции-

числовойПаемыерпризнаке 1 . Исследовать равномернуюнезависходимость рядов на множестве:

яд (мажоранта) должен быть

õ äÿù

ÿ.

1

n2

+1( )2)

1) X

на интервале ( 1; +1);

(1

n=1

nx+ 1 os nx

2)

X

p

p

на отрезке [0; 2 :

(2.1)

n=1

3 n5

+ 1

50