ДУ практика

Числовой ряд

P 1

n2(1 +1(nx)2) n12 :

яд равн мерно схо-

х дится, поэтому ункцèîнальный

дится

âñåé

n=1 n2

ÿìîй (по признаêó

см. теорему 2.10).

В ч стнос и, областьчисëîвойх димости

область равномернойВейерштрасса,ходимости здесь сов-

есть часть области определениункциÿ íàé ýòîì îòðåçêå

p

íеравенñòâà:

p

2).

Область

определ

-слагаемых луч x 1

Отрезок [0; 2

ïàäàют (э о вся действительная ось).

+ 1

3 n5; тверны. .

p

p

:

j os nxj 1; 1

x + 1

p

3;

3

n5

p

p

p

x + 1 os nx

3

3

P

1

5

3

n5 + 1

n5

Òàê

ак числовой ряд

n=1

5

с показателем

> 1 сходится, то первоначалüíûé

ункциональный ряд равíîмерно сходится на множестве [0; 2 :

n3

3

2.2.3. Степенные ряды

Степенным называется ряд вида

1

X an(x x0)n = a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 )2 + : : :

n=0

вообще говоря,

ê

ë å ê ñ í û å

числа.

десь x; x0 и коэ ициенты an

Теорема 2.11

0(об области привестиходимости

степенногопростомуяда)

n=0

n

Çаменой (x x ) = z можно

ðÿä ê áîë

1

1

âèäó P a zn.

Для всякого степенного ряда

P an(x x0)n существует число R 0 (ра-

n=0

диус сходимости ряда) такое, что на множестве jx x j < R ряд абсолютно

сходится, на множестве jx x

j > R расходится, а0 в граничных точках

jx x j = R может

0

ести себя по-разному.

Теорема 2.12 (о

равномерной

сходимости степенного ряда)

0

1

Действите ьный степенной ряд

P an(x x0)n равномерно сходится на лю-

n=0

бом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости ряда.

51

ныйинтегрированияяд будет 2равномер.лежат

ñõîÿäåãîможноинтервалаÿ òîé æ

схобластидимостинтегр.

ровать,проинтегрированесли пределы-

3.Степенвнутриной

ÿä

жнопочленно ди еренцировать

любое

число раз внутри его

интерваладитьсхо

ðÿä èç

производных буд

иметь

тотСледствиеж интервал сх димости, что

исх дный, за исключением, можåò

áûòü,

А нах дить область

абсолютнойобластьхдимости,

можно?

используяда

признаки схот-

F Â ñèëó

теоремы

2.11

õ

димости

степенного р

отличается

граничных точек.

димости разве что в

точках (jx x j = R).

области абсолютной

знакоположительных

ð

( Д'АламбераграничныхКоши). 3

Исследо ание

димостиПдимостир е р . 1). Найти круг схядовдимости кîмплекснозначного ряда

0

õ

в граничных точках проводится

тдельно подстановкой точек в ряд.

1

X (z + 5i)2n+2

n=1

4n(2n2 1) :

2).Найти область сходимости действительногî ðÿäà

1

(x 7)n

X

:

n=1

3n(n + 1)

; ãäå R

точностью " = 0; 01 сумму ряда в точках x = 7 R

Вычислитьдимостирадиу хо

ðÿäà.

5

3). Найти сумму ряда

1

1

X

( 1)(n 1)

xn 1 :

n=1

1 + n

е ш е н и . 1). Для исследования абсолютной сходимости ряда используем

признак

Ä'Àëàìáåðà

(см. С.39 , теорема 2.4):

1)

jz + 5ij2

центром

un+1

jz + 5ij2(n

4n(2n2

òî÷êнеравенствz = î 5i радиуса+1)+2. На границе

=

jz + 5ij = 2 è

lim

un

= lim

4n+1(2(n +

1)jz + 5ij2n+2

4

< 1:

n!1

n!1

Полученное

jz + 5ij <

зад ет на комплексной плоскости круг с

3

можно исïîëüзовать ормóëû-следсòâèÿ этих признаков для нахождения радиусаэтогоñх димостикругяда P a

(x x )n :

0

p

1

0

1

an+1

1

n=0 n

R

= lim j

j

èëè R

=

lim

n

janj.

an

52

n!1

n!1

область2). Применимсходимостиïðèçíàêÿäà Ä'Àëàêðóãмберана комплексной:

плоскости jz + 5ij 2 :

un+1

3n

(x 7)n+1

1

n!1

u

n!1

3n+1((n + 1) + 1)(x 7)n

3

Ç à÷èò,

lim

n

= lim

=

jx 7j :

точки

èíòåðâàле jx 7j < 3 ряд ходится. ассмотрим

èíòå

âàëà: x = 4; x

10 : При подстановк

èõ

степеннойграничныеяд получ м число

ûå ðÿäû n=1 n+1

;

n=1 n+1: Первый из этих

ядов знакочередующийся,этогоуд -

íå âõ äèò

область сх димости. Интервалтеоремасх димости

найден: 4 x < 10: Те-

â

P ( 1)n

P

Лейбница (см.43,

2.9), поэтому x = 4 точка

яющий те

плетворрь подставим в рÿä

точки x = 7 R

= 7 3

: Получим числовûå ðÿäû:

сх димости. Втор

ремей яд расходящèéñÿ çíàêополож тельный, то есть x = 10

3

1

1

5

5

3

1

( 1)n

S(7

X

X

:

5) =

n=1

5n(n + 1); S(7 +

5) =

n=1

5n(n + 1)

Первый из этих рядов

оположительный, второй знакочередующийся

(оба сх дятся, так как точкзнакx нах дитс

внутри области сх димости) При-

ближенное

вычисление

числовых рядов

было описано в разделе 2.1.4 на

С. 45. Для вычислениясуммы знакоположительного ряда

îöåним его сверху

рядом геометричесêîй прогрессии:

1

1

1

1

1

1

1

<

; поэтому RN =

X

n

<

X

=

:

n

n

n

N

5

(n + 1)

n=N+1 5

(n + 1)

n=N+1 5

5

4

1

4

Потреáóåì, ÷òîáû

5N

" = 0; 01 ; тогда N 2: Сл

äëÿ äостиже-

ния указанной точíîñòè äостаточно вçÿòü äâà ñëàãàåмыхдовательно,частичной сумме:

S(7 +

3

3

10

1

= 0; 22 :

Äëÿ

(çíàê

5) t S2(7 + 5) =

+ 523

ÿ)

яда оценка остатка

яда может быть про-

веденавторогоак же с п мощьючередующегосÿäà геометрической

прогресñèè

(хотя может быть

использована и

теорема

Лейбница, см. С. 43).

1

( 1)n

1

1

1

R

N

=

X

X

:

n=N+1

5n(n + 1)

5N

4

53 n=N+1 5n(n + 1)

S(7

5

) t S2(7

5

) =

10

+

5

2

3

= 0; 02 :

3).un+1

Найдем

признаку

èíòåðâàë

х димости

ïî

lim

u

= jxj < 1 : Åñëè jxj = 1;

яд расходитñÿ

по необходимому признаку

ñõîäèìîсти). Итак, область определенèÿ ункции S(x) èíòåрвалД'Аламбера:1 < x < 1

Заметим, что для x =6 0 верно равенство:

n!1

n

1

1

S(x) = x 1

X

( 1)n

xn = x 1S(x) :

n=1

1 + n

Области

сумму S(x). Для этого

ÿ S(x) è S(x) ñîâï äàþò.

представимопðåäåядленв вèде суммы рядîâ (òàкже сходящихВычислимя на óêàçàííîм интерва-

ëå):

1

1

1

1

( 1)n

X

( 1)n

X

X

xn :

S(x) = n=1

1 + n

xn = n=1

( x)n

+ n=1

n

1

n

x

P

Первый р суммируем как ряд геометрической

( x)

=

1+x

:

Второй ряд, как любой степенной, можно почленнопрогрессии:ди еренцировать в

области сходимîñòè:

!

1

0

1

n=1

1

0

( 1)n

1

X ( 1)n

X

X

Но тогда

n=1

n1

xn

= n=1 Z

n

xn

= n=1

( 1)nxn 1 =

1 + x

:

X

( 1)n

xn =

1

n=1

n

1 + xdx = ln(1 + x) + C :

При подстановке x = 0 â ëåâîé ÷àñòè ðàвенства получается 0, а в правой C, то

åñòü C = 0: Ìû íàøëè S(x) =

x

ln(1 + x): Íî òîãäà 8x =6 0 è jxj < 1

1+x

S(x) = x 1S(x) = x 1

x

+ x)

=

1

+ x 1 ln(1 + x) :

Заметим, что lim

1+x

=

1 + x

+ x 1 ln(1 + x)

и S(0) = 1; то есть ункция S(x)

x!0

определена и непрерывна на интервале ln(1; 1):

54

ядом Тейлора для ункции f(x) в окрестности точки

называется ряд

f(x0) +

f

0

(x

)

(x x0 ) +

f

00

(x

)

(x x0 )2 + : : : +

f

(n)

(x )

(x x0 )n + : : : :

1!

0

2!

0

n!

0

Ïðè x

ðÿä

. Åñëè ðÿä Ò

для ункции f(x)

= 0 получаетс

сх дится к ней, то говорÿ

, чтоМаклоренаункция

ейлораяд Тейлора.

0

единственности разлоазложимаения в степенной ряд)

Теорема 2.13 (о

Пустьf(x) = a

0

+ a

(x x

) + a

(x x

)2 + : : : + a

n

(x x

)n

+ : : : ;

1

0

2

0

0

ãäå ñтоящий справа ряд сходится

некоторой ок ес

ности точки x0 к унк-

ции f(x): Тогда этот ряд

является

рядом Тейлоðà, òî

åñòü

an = f

(n)

(x0 ) :

n!

теорема утвер

, что найти разложение ункции

F Ñ îðìó

изводную ункцлированнаяf(x) в указанной точкждаетx для любого n. Часто эт задача

f(x) в степенной

яд, значит, найти разло ение в ряд Тейлора. Но для нах

ждения коэ ициентов ряда Тейлора, необходимо уметь вычислять n-ю пр

трудна. Но есть другой способ: использовать0уже готовые стандартные разло-

П р ипростейшихм . азложить ункции

Маклоренав яд Тейлора.

жения

ункций в ряд

(см. приложение, приведенное

íà C. 74).

9x

a) ïî

x; á) ïî

(x + 1

1)f(x)

);

2)f(x) = x sin

x + 1 a) ïî

степеíÿìx; á) ïî

степеням(x

20 x x2

2

p

4

ø

3)f(x) = x2

4 5x по степеням x:

н и е . 1а). Для разложения этой дроби в ряд Маклорена представим

åå â

âèäå ñóммы простейших дробей:

= x

1

1

9x

2

= x

9

:

20 x x

(x 4)(x + 5)

x 4

x + 5

55

x 1 4

= ( n=0 x4

)1 =q 41 X1

x4 n ; x4 < 1;

1

4)(1

n=0

x

1 X ( 1)nxn

=

x

=

1

n

;

< 1:

x + 5

5(1

)

5

5

5

5

n=0

 îáщей части îáëàñти сходимоñòè jxj < 4 âåðíû ðàâåíñòâà

9x

1

1

1

1

( 1)n

1 X x

1 X ( 1)nxn

=

X

+

xn+1 :

20 x x2

= x4

n=0

4n + x5

n=0

5n

n=0

4n+1

5n+1

В итоге п лучен яд Маклорена для исх дной ункции.

1á). ×òîбы применить стандартные

разложения (по степеням x), сделаем за-

ìåíó y = x + 1 (òî åñòü x = y 1) в ункции:

9y 9

2 :

f(y) =

9(y 1)

2 =

20 (y 1) (y 1)

20 + y y

Далее алгоритм òîò æå, ÷òо и в пункте а). аскладываåì äробь в сумму эле-

ментарных дробей:9y 9

2

=

9

9

=

4

+

5

:

20 + y y

(5 y)(4 + y)

5 y

4 + y

Каждое слагаемое раскладывàåì ïî ñòåïåíÿì y; èñïîëьзуя геометрическую про-

грессию:

4

4

1

=

y

= 4 X y

; jyj < 5 ;

5 y

4 + y

5 )

4

5n

4n

4(1 5(1 4 ))

n=0

5

1

( 1)nyn ; jyj < 4:

=

y

= 5 X

 îáласти сходèìîñти jyj < 4 получаем:

n=0

1

9y 9

4

1

1

( 1)nyn

4

( 1)n+15

X y

5 X

=

X

yn :

20 + y y2

= 5

n=0

5n +

4

n=0

4n

n=0

5n+1 +

4n+1

Таким образом, после обратной з мены получаем раçëîæение первоначальной

ункции по степеням x + 1 â îáëàñòè jx + 1j < 4 :

9x

1

4

( 1)n+15

2 =

X

+

(x + 1)n :

20 x x

n=0

5

n+1

4

n+1

56

Сумма x2 + 1 уже состоитf(x) =èçx sinстепенейx + 1 x:= Ä2ëÿ 2ðазложенияos 2x + 1 : ункции os 2x вос-

1

y2n

пользуеìся стандартным разложением: os y =

P

( 1)n

;

y 2 R: В нашем

(2n)!

случае y = 2x; поэтому дëÿ x 2 R

1

n=0

1

f(x) = x x

os 2x+1 = x

+1 x X( 1)n

(2x)2n = 1+X( 1)n+1 22n 1x2n+1

2á). Äëÿ ðàçëîжения по стåпеням (x

4 ) вновь сделаем замену

ïåременной:

2

2

2

2

n=0

(2n)!

n=1

(2n)!

y = x : Òîãäа раскрываем скобки и используеì îðìóëу приведения:

4

+ 1

(y +

os 2(y + ) = y

+

+ 1 + y sin 2y + sin 2y:

f(y) = y + 4

4 )

2

2

4

2y

8

2

8

Далее примениì стандартноå разложенèå

1

2n+1

y

y

1

sin2 +1

y)

X

y)

X

f(y) =

2

+

8

+ 1 +

2

n=0

( 1)n (2n + 1)! +

8

n=0

( 1)n

(2n + 1)!

и сгруппирóåм слагаеìые по одинаковым степеням y :

1

1

22n

X

f(y) = 8

+ 1 +

2

+

4

y + y2

+

n=1

( 1)n

(2n + 1)!

4 y2n+1 + y2n+2

:

Итак, после обратной заìåíû ïîëó÷èì äëÿ x 2 R

+ 1 +

1

+

(x

1 f(x) = 8

2

4

4 ) + (x

4 )2 +

+

X

22n

+ (x

:

n=1

( 1)n (2n + 1)!

4 (x

4 )2n+1

4 )2n+2

3). В этой задаче применим стандартное разложениå

1

(1 + x)

X ( 1) : : : ( n + 1)

xn ; jxj < 1

äëÿ = 1

= 1 + n=1

n!

: Подсчитаем êîý ициенты ряда для n 1 :

2

1

(

1

1

n + 1)

( 1)n 1

( 1) : : : ( n + 1)

=

2

2

1) : : : (2

=

1 3 : : : (2n 3) :

n!

n!57

2n

= 2x2

1 +f(Xx) =( x1)2

n41 1 5x3 =: :2:x(2n 1 +3) 554xx n=! =

1 n=1

2nn!

4

4

= 2x2

X 5n2

:

n=1

8nn!1 3 : : : (2n 3)xn+2 äëÿ jxj < 5

2.2.5. Применение рÿäîâ Тейлора

у н к ц и й. Если ункция f(x) в окрест-

I. Â û

ñ ë å í è å

ç

à ÷

è

ности

x0 разложена в

степенной

ряд n=0 an(x x0)n; то для точки x1 из

областиточкисх димости ряда f(x1)

=

P an(x1 x0)n. Таким

äëÿ âû-

1

значения

1

P

нужно вычислить сумму числовогобразом,яда. Приемы

n=0

оценки остатка ряда ункципримèåры рассмотрены на С. 45.

численияш

е . Для ункции f(x)

e

имеем

pe

= f( 2): яд Маклорена

Ï ð

1

с точностüþ " = 0;

:

м е р . Вычислить pe

1

для э ой ункции имеет вид: e

= n=0

x

01

содержится в

n!

; x 2 R: Поскольку 2

x

1

1

P xn

области сходимости, то верно равенство

1

1

1

1

n

=

X

=

X ( 1)n

:

e 2

n=0

n2!

n=0

2nn!

Оценим остаток знакочередующегося числового ряда (см. С. 43, теорема 2.9):

jRN j uN+1

=

2

N+1

1

0; 01:

(N + 1)!

Из неравенства нахîдим3N 3: Окончательíî ïîëó÷èì

1

X ( 1)n

= 1

1

+

16

1

e 2 t

n=0

2nn!

2

48 t 0; 542 :

II.

ый знак после запятой.

В ы обеспечиваетл

äèíòâåðã ð à ë î â .

жение ункции в степенной

Алгоритмяд позволяет интегрировать ункцию,

почленназло интегрируя ее ряд в области

58

Ï ð è ì

р .Вычислить3

приближенное значение интегр

R00;2;5

ln(1+x2 x2) dx ñ

достижчностью " = 10

: Указатьочностичисловерхнемчленови

яда, взятыхпределахв частичнуюнтегриñóììованияу для.

шенияи е . Замеòим сначална

то подынтегральная ункция

íå

ðеделена

â òî÷ê

x

=

нужной0; предел в этой

òî÷ê

с ществует

равен 1. Доопредел в унк

бесконечное

число раз ункцию

ó÷èì

нижнемыми огран ченными пр извод-

цию в нуле значением ее

предела,

епрерывную ди еренцèруемую

ряд Тейлора. Найдем этîстистепеннойнепрерывяд с помошью ст

разложения

0

x

= 0

полдынтегальная ункция раскладываетс в

ными. Значит, в окреñòí

0

ln(1 + y) = P

( 1)n yn

; y 2 ( 1; 1): Ïоложим y = x2;андартноготог

1

n+1

1

1

n=0

x2(n+ )

x2n

ln(1 + x2)

1

X

( 1)n

=

X

x2

= x2

n=0

n +

1

n=0

( 1)n n + 1 ; x 2 ( 1; 1) :

Теперь, учитывая, чтî промежуток интегрированиÿ íàõодится в области схо-

димости,

íаходим интеграл

0;5

1

1

Z

0;5

Z

0;5

ln(1 + x2)

Z

x2n

x2n

0;2

dx =

0;2

X

X

0;2

x2

n=0

( 1)n n + 1 dx =

n=0

( 1)n n + 1dx :

Мы свели задачу к вычислению

степенной ункöèè è прибли-

женному вычислениþ ñóìì äâóõ

первоочисловыхáðàçнойядов:

Z

0;5

ln(1 + x

1

x n+1

5

1

0;2

X

(n +

=

x2

dx = n=0( 1)n

1)(2n + 1)

0;2 =

:

X

( 1)n (n + 1)(2n + 1)

( 1)n

(n +

1)(2n

+ 1)

(0; 5)

+1

X

(0; 2)

+1

n=0

n=0

Оба ч словых

ÿäà знакочередующиеся ряды Ле бница. Согласно тео еме

Лейбница, количество слагаемых N = 2 в

частичной

сумме для первого ðÿäà

находим из неравенства

(0; 5)

N

1) + 1)

((N + 1) + 1)(2(+1)+1N

< 10 3 :

Для второго ряда аналогичное неравенство

(0; 2)

N

1) + 1)

((N + 1) +

1)(2(+1)+1N

< 10 3

59

0;2

ln(1x+2 x ) dx t X

(n +1)1)(2(0; 5)n + 1)

X

(n +1)1)(2(0; 2)n + 1)

t 0; 121 :

В ответе гара

n=0

ûõ

n=0

.

тированы

äâà

âåð

после

. ешение мно

III.

ø

ö

знакл ь ы х узапятойв е н

ãèõ

еренциа

üíûõ

уравне

можно найти

â âèäå ÿäà.

тельного ди еренцирования

ïðèменяется для ди еренциальных

уравнений

Напримернетривиальныâèäå õÿäà

Тейлора (

ëè

его частичíèé

суммы). Метод последова

(ÄÓ),

относительно

аршей

дной, при наличии началь-

Ï

словийразрешенныхм . Представить виде

степенногопроизвояда решение д еренциального

íûõ

.

0

x

00

x

000

x

IV

x

уравнениявиде яда Маклорена:

членовш и

. Поскольку

íàчальное óñловие заäàíî â íóëå, èщем решение в

y

0

= y

2

3

,

äîâлетворяющее начальному условèю y(0) = 1. Найти

ïÿòü

+ x

ÿäà.

1!

+ y (0)

2!

+ y

(0)

3!

+ y

(0)

4!

+ : : :

y(x) = y(0) + y (0)

Первое слагаемое находим из начального условия: y(0) = 1

Далее, из ДУ

Ди еренцируем ДУ, учитывая, что y2(x) сложная

ункция:

(0) = y2(0) + 0 = 1.

00

2

000

0

2

+ 6x,

y000

(0) = 6;

= 2

yy0y0

+ 2yy00

IV

+ 3x : Подставляем x = 0: y (0) = 2 1 1 + 3 0 = 2. И так далее:

y

= 2

0

y

00

+ yy

000

0

y

00

+ 3

,

y

IV

(0) = 0.

2y

+ y

Искомое решение ДУ в окрестíîñòè íóëÿ:

5

y(x) 1 + 1 x + 2! x2 +

6

+

30

= 1 + x + x2 + x3 +

3! x3

4! x4

4 x4:

2.2.6. Задачи для с

льного решения

1. Найти область схамодимостиñтоятерядов, исследовать их на абсолютную сходи-

мость (x 2 R; z 2 C ).

1

1

1

n x

n+1

2n+1(z 4)n

X os

nx

X

X

1)

n

; 2)

( 1) n

;

3)

( 1)

(n + 1)

ln(n +

:

n=1

p

n=1

n=1

p

1)

ÿ ïðè x 2 (0; +1), àáсолютно

(Отве : 1) абсолюòно сходится на R; 2) схо

сходится при x 2 (1; +1); 3)абсолютно60сходится в области jz 4j <

2 :)