ДУ практика

(Ответ: 1) равномерно

1)

Xn=1 sinn2nx; 2)

Xn=1 ennx2 :

х дится при x 2 R;

2) îáëàсти сходимости и равномер-

3. азложить совпадают:ункции ряд Тейлора по степеням x:

ной сх димости

1)

x 2 [0; +1):)

P

+ x 2x2):

1)

1

P

2 x; 2)n 1 + x3 2x2 ; 3)

1 ;

( sin+1 (2x)

; x 2 R; 2)

(1 + ( 1)n2n+1)xn; jxj <

(Ответ:1)

2

2 n=1

1)

(2n)!

ln(1=1

2

1

n

1

1

n+1 n

3)

P

x ; 2

< x 2:)

n=1

n

4. Вычислить интеграл с точностüþ 0; 001 :

0;3

(Ответ: 0,28.)

Z

ln(1t+ t)dt:

0

5. Найти первые 5 члåíîâ ðàçëîæения решения ДУ в степенной ряд:

y

00

0

(0) = 0:

(Ответ: y(x) = 1 + 2!

= y os x + x; y(0) = 1; y

+

3! + 5!

6! + : : : :)

x

x

x

5x6

Тригонометрические

яды Фурье

2.3.1.

азложение

периодических ункций

Если в каждой точке непрерывности ункции f(x) имеет место равенство

f(x) = a0

1

+ X(an os n!x + bn sin n!x);

n=1

равенства

тригоно

-

то ункциональный ряд в правой

ским рядом Фурье ункции f(x);

частисама ункция

я разложиìетричеой в яд

Ïó f(x)

дическая ункцияназываетспериодом 2`. Тогда воз-

Фурье.

можность разложенияпроизвольнаяее периояд Фурье и вид этого ряда описываются в двух

следующих теоремах.

61

нотон ая и ограничен ая на отрезке [ `; ` , то для

àáîð êîý -

a

n

; b

n

ункции f(xнекоторого) верно авенство

ициентов1) каждой точке непрерывности x0

1

f(x0) = a0

+

X

n=1 (an os n!x0 + bn sin n!x0);

S(x) равна

2) в каждой точке x

0

разрыва ункции f(x) сумма ряда

среднему ари метическому прåделов ункции слева и справа,Фурьет. .

S(x0) =

1

2(f(x0 0) + f(x0 + 0));

3) ряд Фурье ункции f(x) можно почленно интегрировать.

Теорема 2.15 (

коэ ициентах

да Фурье)

Если ункция

удовлетворяет условиÿ

теоремы Дирихле, то коэ ициен-

ты ее ряда Фурье вычисляются по ормулам:

1 Z`

f(x) os n!xdx;

n 1;

an = `

b

= 1

n 1;

n

Z`f(x) sin n!x dx;

`

`

1 Z`

a0

= 2` ` f(x) dx:

[ ; 0); с перио-

П р и м е р. азложить в ряд Фóðье ункцию f(x) = n 1

äîì T = 2` = 2 .

2 ; x2

[0; )

ø

. Заметим, что

62

f(x) удовлетворяет условиям теоремы

ем коэ ициенчиты Фурье.

Дирихле, зна

, раскладываетсункцияв тригонометрический ряд Фурье. Подсчита-

1

2Z0

a

=

1

Z

f( ) os nxdx =

sin nx

1 os nx dx +

Z n

3

1

sin nx 0

= 0:

=

4

0

2 os nx dx5 =

n

+ 2

n

0

Отдельно вычислим íулевой коэ èöиент Фурье:

3

1

1

2

Z0

3

a0 =

Z

1 dx +

Z

2 dx 5 =

:

2 f(x)dx =

2 4

0

2

Аналогично,

bn =

1

Z

f(x)3sin nx dx =

1

2

Z0

0

os nx

4

1 os nx dx +

Z

1

os nx

=

=

2 os nx dx5 =

2

n

2

n

1

1

0 os n

2

os n

=

1 os n

=

0

=

n +

n0

n

+ n

;

n

=

2

;

åñëè n = 2k + 1:

Èòàê, b

n

n

отличны от нуля лиøь при нечетных номерах n = 2k + 1; k 2 N, что

компактно записывается, при введении вместо n нового индекса суммирова-

Таким

образом, ряд Фурьå приниìàåò âèä:

íèÿ k:

3

1

2

f(x) =

+

X

2

k=0

(2k + 1) sin(2k + 1)x:

Напомним, что знàê

яда Фурье

âà между ункцией f(x) и суммой

сумма

яда равна f(x0

0)+f(x0+0)

полусумменепрерывностиорд нат слева и

справа от точек

разрыва. ра ик суммыравенсяда Фурье представлен на рис. 2.1.

для нее можно поставить

òочках

f(x). В точках разрыва x0

2

63

S(x)

2

1

x

óíê-

ва)и нечетных(совпадаетпериодическихс гра иком раскладываемойункций

разряда Фурье

ции2с..всюду,32..21.. раазложениекромеик суммыточекчетных

π

2π

3π

4π

−π

I. Функция f(x)

÷

н а я, 2`-периодическая. Тогда, используя свойства

интегралов от четíых и нечетных ункций, имеем

2

Z`

f(x) os n!x dx äëÿ n 0 ; bn = 0 äëÿ n 1:

an = `

0

Итак, ряд Фурье для четной ункции не содержит синусов:

f(x) = a0

1

+ X an os n!x:

n=1

II. Функция f(x) н е ч е т н а я, 2`-периодическая. Тогда

an = 0 äëÿ n 0 ; bn = 2

Z` f(x) sin n!x dx äëÿ n 1:

И ряд Фурье имеет вид:

`

0

1

f(x) = X bn sin n!x:

n=1

= 2 ункции в ряд

Фурье:П и м е р. азложить периодические с периодом T

1) f1(x) = x, x 2 ( ; ) ; 2) f2(x) = jxj, x 2 ( ; ).

2 = 1. Âñå ê

-

1). Функция f1(x) нечетная периодическая, частота ! =

T

ицие ты при косинусах обратятся в нуль: an = 0. Вычисляем коэ ициенты

ïðè ñèнусах:

2

Z x sin nxdx = 2

os n = 2 ( 1)n =

2 ( 1)n+1:

b

n

= 2

Z f

(x) sin nxdx =

0

1

0

64

n

n

n

y

a)

-

0

2

3

-

b)

-

0

2

3

f

(x) (а), четной

c)

0

x

2

3

ис. 2.2. ра ики сумм рядов Фурье дëÿ íå÷åтной ункции

ункции f (x) (b)

для ункции общегî âèäà f(x) ( )

1

Итого, ряд2

Фурье

имеет вид:

1

2

X ( 1)n+1

sin nx:

n=1

n

чений x, за ис-

ра ик суммы ряда представлен на рис. 2.2, a). Для всех

ключением точек разрыва, сумма

Фурье совпаäает созначениями f1(x).

2). Для четной ункции f (x) периоядаT = 2 , ! =

2 = 1. Все коэ ициенты

ïðè ñèíóсах равны нулю: bn2= 0. Коэ ициенты пðèT

косинусах

;

an = 2 Z f2 (x) os nxdx = 2

Z x os nxdx =

04

;

0

0

a0

=

n2

åñëè n = 2k + 1;

Итого, ряд Фóрье имеет вид:

2 :

1

1

1

+

X

an

os nx =

4 X

os(2k + 1)x:

2

n=1

2

65k=0

(2k + 1)2

2.3.3. азложение непериодических ункций

онечном интервале. То-

2)

Функция f(x) непериодическая, определенная на

f(x) задана на [0; ` . В этом случае для периодическуюого продолжения появ-

гда возможны следующие случаи:

с периодом T = b a

1) f(x) задана на [a; b . Мо

построить перио

ляются нескольк возможностей:

ункцию, совпадающую

f(x) на интервале [a; b .

оступить согласно слу аю 1);

дически. Тогда период новой

ïродолжить ункцию

÷

ò í î, à çà åì

ункции T = 2`, в ряд

войдуò

толькпериокосинусы;

продолжить ункцию

Фурьен ч е т н о, а затем периодически. Период новой

T = 2`, в ряд войдут только синусы.

П рункциим е р. азложить ункцию f(x) = x, x 2 [0; ), в ряд Фурье

а) по синусам;

б) по косинуса ;

в) продолжив периодически как ункцию

общегош е н и е . а). Доопределим

ункцию на интервале ( ; ) нечетным б

âèäà.

разом продолжим ее периодически с периодом T = 2 . Тогда получим в точ

ункции1 не содержит косинусов. Иòàê, ïîлучено

íóæíое разложение в ряд Фу-

ности f (x) из предыдущего примера (С. 64). азло

ие яд Фурье нечетной

рье по синусам и для всякого x 2 [0; ) сумма ряда совпадает с f(x) = x:

1

( 1)n+1

2

X

sin nx:

á). Âíî ü

ëèì

n=1

n

íà èíтервале ( ; ) четным образом и,

продолжив периодич

f (x) из предыдущего примера (С. 64). Для

f (x) полученодоопредзложениепîункцлучимосинусамèþ

кратных дуг и для всякого x 2 [0; )

сумма ряда совпадаетñêè,f(x) = x:

2

2

1

4

1

X

2

k=0

(2k + 1)2 os(2k + 1)x:

â). Ôó êöèþ f(x) = x,

x 2 [0; ), продолжаем периоäически на всþ äåé-

ствительíую ось с периодом T = : Тогда полупериод ` = , частота ! =

= 2:

66

2

`

кратных дуг. Вычислим их:

2

Z

1

an

2

Z

x os 2nxdx = 0 ; a0 =

; bn =

=

0

2

0

x sin 2nxdx = n :

В результате имеем ряд Фурье

1

1

X

sin 2nx:

2

n=1

n

ра ик суммы ряда представлен на рис. 2.2, ).

2.3.4. Вычисление сумм числовых рядов

åííî (ñì. Ñ. 45) è òî÷-

F Вычислить сумму

яда можно

но. Для точного

используем

4разлоприближения ункц й ряд Т

(ñì.

на С. 58 ) иличисловогоФурьеяд

.

При этом можно èспользоватьейлорауж

известныеП примерр . Найтвычисленсуммыèÿ числовых рядов:

азлож

(ñì.

приложения, приведенные на С.74).

1

1

1

1)

X

; 2)

X ( 1)k 1 sin 3k

:

k=0

(2k + 1)2

k=1

k

е ш е н и е .1). Испольçóåì ïîëóченное на С.65 разложение

4

1

1

При x = имеем:

jxj =

X

os(2k + 1)x:

2

k=0

(2k + 1)2

1

1

f( ) = = 4 X

os(2k + 1) ;

2

21

k=0

(2k + 1)

|

{z

}

откуда

= 1

4

X

1

=

2

:

k=0

(2k + 1)2

8

Заметим, что точно вычислить сумму можно и

ïо определению, см. пример 2 на С. 37.

67

x = 2

sin x sin 2x

+ sin 3x : : : +

( 1)n+1

nx

+ : : : ; < x < :

1

2

3

n

Ïðè x = 3 èìååì

f(3) = 3 = 2 X

( 1)k 1sin 3k;

1

1

k

откуда

k

3

X ( 1)k =1 sin 3k

=

:

2.3.5. Задачи для с

k=1

k

2

льного решения

1. азложить периодическуюамостояте

дом T ункцию f(x) в ряд Фурье, найти

значения S(x

) суммы полученногопериояда в заданных точках x

; x :

i

1

20;

1) f(x) = 10 x; x 2 (5; 15); T = ; x

= 15; x =

2

; x 2 (

10

1

2

2

32) f(x) =

x

0;

); T = 2 ; x = 0; x = 2 ;

1 3

T = 6; x

1

= 0; x

2

= 3:

10

P

( 1)n

1n ;x 0<x 3;

k=1

(Îòâåò: 1)

n

sin 5 ; S(15) = S(20) = 0;

2)

2

+ 4

P

( 1)n

os

2

;

2

S(0) = 0; S(2 ) =

3)

3P

2n+1 sin

3

nx;S(0) = S( 3) = 0. )

8

4

1k=1

n(2n+1) x

k=1

ðàçëожения в тригонометрический ряд Фурье, найти суммы

2. Èñïîëüçó

числовых рядоâ.

1

( 1)n

1

2n + 1

X

X

1)

2

k=0

2n + 1

;

2)

k=0

( 1)n

(4n + 1)2(4n + 3)2

:

(Ответ: 1)

4

;

2)

p

:)

32

2

68

213

4

5

7

6.

8.

910

2

3

14.

65

7

8

20

19.

Степанов В.В. Курс ди ренциальных уравнений / В.В.

. М.: Физматгиз,

1959. 468Í. .

ды интегрирования обыкновенных ди Степановеренц

ьных уравнений

/МатвеевН. .

Ìåòî. .: Âûñø. øê., 1967. 564 ñ.

вариационное исчисление / Л.Э. Эль-

Л.Э. Ди еренциальные у авнения

Эльсгольц. Матвеев.: Наука, 1969. 424 с.

уравнения и основы вариационного

Карташев А.П. Обыкновенные

исчисления / А.П. Карташ¸в, Б.Л.

. М.: Наука, 1976. 256 с.

îâ Þ.Í

áùèé êó ñ

обыкновенных

ренциальных уравнений / Ю.Н. Би

Бибиков. Л.: Изд-во Ле ингð. ун-та, 1981.ждественский232 .

Федорюк М.

. Îáûêíовенные ди еренциальныеуравнения / М.В. Федорюк. М.: На-

óêà, 1985. 448 .

Бугров Я.С.

Высшая математика: Ди еренциальные уравнения. Кратные интегралы.

яды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наук

1985. 464 ñ.

урав ений / Ю.С. Богданов, С.А. Мазаника,

Богданов Ю.С. Курс ди

Ю.Б. Сыроид. Минск: Унiвåðсiтэцкенциальных, 1996. 288 с.

Матвеев Н.М.

ди еренциальные уравнения / Н.М. Матвеев. СПб.:

Специальная литература, 1996. 372 с.

/ А.Н. Тихонов,

А.Б. Васильева,

Òèõ

À Í

Ди ер циальные уравнения

А. . Свешников. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 1998. 232 с.

Краснов

Ì.Ë.

ди еренциальные уравнения / М.Л. Краснов. М.:

Âûñø. øê., 1983. 128 ñ.

Филиппов А.Ф.ОбыкновенныеВведение теорию ди еренциальных уравнений / А.Ф. Филиппов

Ó ÑÑ, 2004. 240 ñ.

уравнениям / Э. Камк .

КамкеЭдиториал. Справочник по обыкновенным

Ì.: Íà à, 1976. 576 ñ.

Боярчук

А. . Справочное пособие по высшейди еренциальнымматематик . Т 5: Ди еренциальные

уравнения

примерах

/ А.К. Боярчук, .П. оловач. М.: Едиториал У СС,

2001. 384 .

ди еренциальным уравнениям /

Краснов М.Л.

Л. Краснов,

А.И. К селев, .И. Макаренкобыкновенным. М.: В сш. шк., 1978. 288 с.

Филиппов А.Ф.

по ди еренциальным

уравнениям / А.Ф. Ф липпов.

.: Наука, 1973. 128 с.

по обыкновенным ди еренциальным

Ìатвеев Н.М.

Сборникзадачах

уравнениям / Н.М. Матвеев. М нск: Вышэй

ая школа, 1977. 416 с.

À.Ì. Ди еренциальныеупражненийавнения: примеры задачи / А.М. Самойлен-

СамойленкКривошея,о, . .

Н.А. Перестюк. М.: Высш. шк., 1989, 384 с.

Ë.À.

Альсевич

Л.А. Практикум

ïî

ди еренциальным уравнениям /

Л.П. Черенкова. Минск: Вышэйшая школа, 1990. 320 с. Альсевич, Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1 / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1974. 480 .

69

43

5

6

27.

8

29

10

32.

33.

34.

Фихтенгольц.Ì.

.Ì.. ÊóðñÌ.: Íàóêди еренциального. 8 0 ñ.

и интегрального исчисления. Т.3

/

/.М. Фихтенгольц. М.: Наук а,1969. 760 с.

1

712

2

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.3 / Л.Д. Кудрявцев. М.: Высш. шк.,

8

576

ñ.

1989.

352

Воробьев Н.Н. Теория рядов / Н.Н. Воробь¸в. М.: Наука, 1986. 408 с.

ÿäû

/

Сборник

задач

ïî

математическому

анализу.

Интегралы.

Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кут

Â.È.

Чехлов,

В.И. Шабунин. М.: Наука, 1986.

Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,

В.И. Чехлов, В.И. Шабунин. СПб.: ИЧП ¾Кристалл¿

528 ñ.

çàäà

ïî

матем

îìó

анализу. Функции

ескольких переменных

/

Сборник

Å è

îâ

À.В. Сборник задатическпо

е для втузов. Т.2: Специальные разделы

ìàòåìатичматематическго анализа / А.В. Е имов, Б.П. Демидович (ред.). .: Наука, 1981. 368 с

94

96

А.В. Сборник

по математике для втузов. Т.1: Линейная алгебра и

1981основы. 464

îãî

н лиза / А.В. Е имов, Б.П. Демидович (ред.). М.: Наука,

Справочное пособие по высшей

математик. Т.1: Математический анализ:

введение в

анализ, производная, интеграл / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я. . ай, .П. оловач.

М.: Едиториал У СС, 2001. 360 с.

ое пособие по в

математике. Т.3: Математический анализ: кратные и

крСправочнейные

û / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я. . ай, .П. оловач. М.:

Едиториал

Ó ÑÑ, 2001. 224ñøåé.

Шмелев П А. Теорияинтегралядов в задачах и упражнениях / П.А. Шмелев. М.: Высш. шк.,

1983. 176

ñ.

70