94

Лекции 8 – 9

Числа вида

m

: m

, n

образуют множество рациональ-

О

= q =

n

ных чисел.

Если

m

< n ,

то

рациональная

дробь называется правильной, если

О

m≥ n – неправильной.

!Рациональные дроби представляются в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.

Пример:

13 = 0,333... = 0,(3) , 52 = 0, 4 = 0,3999... = 0,3(9) ,

997 = 0,0707... = 0,(07) .

ОЧисла, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I . Например,

2=1,41... , π =3,14159265359..., e = 2,71828 18284 59045... .

ОРациональные и иррациональные числа составляют множество действи-

тельных чисел = I .

!Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.

8.3. Числовые промежутки

Примеры числовых множеств:

Множество элементов x:

Элемент множества:

Отрезок (сегмент):

Интервал:

Полуинтервал (полусегмент):

Луч:

{x}

x{x}

{x} =[a,b]: a ≤ x ≤b, где a {x},b {x}

{x}= (a,b): a < x < b

{x} = (a, b]: a < x ≤ b,{x} =[a, b): a ≤ x < b,

{x} =[a, ∞): (x ≥ a)

{x} = (−∞, b]: (x ≤ b)

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

95

Окрестность точки c - это произвольный интервал (a,b), содержащий точку с.

Эпсилон – окрестность точки с. {x : x − c <ε}

или c −ε < x < c + ε .

b

c

8.4. Ограниченные множества

ОМножество {x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что x {x}: x ≤ M , где М называется верхней гранью множества {x} (ВГ {x}).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5}, M1 = 5, M2 = 6, M3 =10,....

ТОграниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

ОНаименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup{x} (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ {x}).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5}, x = 5 .

ОМножество {x} называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что x {x}: x ≥ m , где m – нижняя грань {x} (НГ {x}).

ТОграниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

ОНаибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью

x= Inf {x} (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ {x}).

О Множество {x} называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что x {x}: x ≤ M . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху.

ОМножество {x}называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа М > 0 найдется элемент x {x}, удовлетворяющий неравенству: x ≥ M .

96	Лекции 8 – 9

Пример:

Неограниченные множества:

(-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.

!Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.

О

Число

М

называется

наибольшим

элементом

множества

{x},

M =max{x}, если 1) M {x}; 2) x {x}: x ≤M .

О

Число

m

называется

наименьшим

элементом

множества

{x},

m = min{x}, если 1) m {x}; 2) x {x}: x ≥ m .

!

Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наи-

меньший) элемент, а может и не иметь его:

{x} =[a;b], max{x}=b, min{x} = a ;

{x} = (a;b),

max{x},

min{x} не существуют.

8.5. Числовые последовательности

О

Если каждому натуральному числу n по определенному закону постав-

лено

в

соответствие

некоторое

число

xn ,

то множество

x

n}

=

x , x , x ,....x ,...

нумерованных чисел x , x , x ,.... называется чи-

{

{ 1 2

3

n

}

1 2

3

словой последовательностью. Элементы этого множества называются членами или элементами последовательности.

! Числовая последовательность может быть задана: 1) перечислением элементов;

2) заданием общего члена последовательности как функции номера xn = f (n);

3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: xn+1 = f (xn ), x1 = const - одно-

членная рекуррентная формула, xn+2 = f (xn+1, xn ), x1 = c1, x2 = c2 - двучленная рекуррентная формула, и т.д.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

97

Пример:

1){−1,1, −1,1,...}={(−1)n };

2)0, 1 , 2 ,... = n −1 ;2 3 n

3) {1, 2,3,...} ={n};

4)

x

=

xn

,

x

=

1

x

=

1

, n =1, 2,3,...;

n+1

2

1

n

2n−1

5)

xn+2

= xn+1 + xn ,

x1 =1,

x2

=1

x3 = 2, x4 = 3,...

ОЕсли рассмотреть произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел: k1,k2 , k3 ,....kn ,... и выбрать из последовательности {xn} ее члены с соответствующими номерами xk1 , xk2 ,...,xkn ,... то полученная по-

следовательность называется подпоследовательностью последовательности {xn}. Например, для произвольной последовательности подпосле-

довательностями являются последовательности четных или нечетных членов.

!Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы теоремы об ограниченных множествах.

Пример:

Последовательность	{	n }	=	{	}	=	{	}
		x			−n			−1, −2, −3,... −n,...	ограничена сверху,

поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn ≤ −1.

Последовательность {xn } ={n2 } ограничена снизу, т.к. xn = n2 ≥1 .

Последовательность	1		ограничена. Для любого n N 0 <	1	≤1, т.е.
				n
n
M =1, m = 0 .

Пример:

Неограниченные последовательности:

1) {xn } ={n2 }. При любом M > 0 достаточно взять n > M .

2) {(1 −(−1)n )n}. Среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий условию xn ≥ M для любого M > 0 .

98	Лекции 8 – 9

8.6.Свойства ограниченных последовательностей

1.Сумма двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

2.Разность двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

3.Произведение двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

!Неограниченные последовательности таких свойств не имеют.

9.1. Предел числовой последовательности

О

Конечное число a называется пределом числовой последовательности

{x

}(обозначается

lim x

n

= a или

x → a ), если для любого положи-

n

n→∞

n

n→∞

тельного числа ε

найдется такое натуральное число

N (зависящее от

ε ), что при всех n > N выполняется неравенство

xn − a

<ε .

Это может быть описано также в следующих терминах:

последовательность {xn } сходится к a ;

последовательность {xn } имеет предел, равный a ;

xn (общий член последовательности) стремится к a .

Сокращенная запись:

(nlim→∞ xn = a) ( ε > 0 N = N (ε ): n > N (ε )

xn − a

< ε).

ОПоследовательность, имеющая конечный предел, называется сходящей-

ся.

!То же утверждение может быть сформулировано короче.

Число a есть предел последовательности {xn}, если ее члены отли-

чаются от a сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». ε > 0 xn − a <ε - точная

формулировка первого утверждения, а n > N (ε) - второго.

Пример:

n −1		,	lim xn		= lim	n −1		−	1	=1.
Дано: {xn }=						n	= lim 1
	n		n→∞		n→∞		n→∞		n
Докажем, что lim 1−			1	=1.
	n→∞		n

Доказательство:

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности								99
ε > 0,	n −1 −1 < ε 1 −	1 − 1 < ε;	1	< ε, n >		1
	n	n	n			ε
Если взять N (ε )	– любое целое,	большее,		чем	1	,	то неравенство
					ε

n n−1 −1 < ε будет выполнено n > N (ε ), ч.т.д. Геометрическая интерпретация примера:

0		1		2			3			4			5		1
	2
x1					3			4			5		6
	x			x3			x4			x5			x6
	2

− ε < x n − 1 < ε , 1 − ε < x n < ε + 1 .

ε =	1		1		= 2; n > 2		xn −1				<	1		.
		, N
	2		2									2
ε =	1		1		= 5; n > 5		xn −1		<			1	.
		, N
	5		5									5

!Последовательность {(−1)n} не имеет предела, так как нельзя указать

номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.

ОПоследовательности, не имеющие предела, называются расходящими-

ся.

9.2.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

ОПоследовательность {xn} называется бесконечно большой, если для

любого положительного числа M можно указать такое натуральное число N (зависящее от M ), что при всех n > N выполняется неравенство xn > M .

M > 0 N = N (M ): n > N (M ) xn > M .

ОЕсли числовая последовательность {xn} бесконечно большая и ее члены

(по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак ( + или −), говорят, что последовательность {xn} имеет предел +∞

(или −∞ ): lim x	n	= +∞ ,	x	→ +∞ или lim x		n	= −∞ ,	x → −∞.
n→∞			n	n→∞	n→∞			n
								n→∞

100	Лекции 8 – 9

Пример:

Последовательности {nα }, α > 0 , являются бесконечно большими, т.к.

для любого M > 0 из nα > M следует, что если n > α M , то условие определения выполнено.

ОПоследовательность {xn} называется бесконечно малой, если для лю-

бого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N (ε) выполняется

неравенство xn <ε .

( ε > 0 N (ε): n > N (ε): xn < ε ).

! Из определения предела последовательности следует, что последова-

тельность {xn} бесконечно мала, если lim xn = 0 .

n→∞

Пример:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = qn , q <1, явля-

ется бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого ε > 0 из неравенства q n < ε следует, что при n > log q ε это неравенство выпол-

нено, т.о. N (ε) = [log q ε].

9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей

ТБесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть {xn} – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного

ε, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство xn <ε . Выбирая в качестве M максимальное из чисел ε, x1 , x2 ,..., xn −1 , получим xn < M для всех n , что и требовалось доказать.

ТСумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

ТРазность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

ТПроизведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

101

Доказательство:

Пусть {xn} – бесконечно малая, а {yn} – ограниченная последовательно-

сти, т.е. для любого ε > 0

существует N (ε) такое,

что для n > N (ε)

xn

<ε , и существует такое число M , что для всех n

yn

< M . Тогда для

последовательности {xn yn}

при n > N (ε) имеем

xn

yn

<ε M . Так как

M – фиксированное число, а ε – сколь угодно малое, то ε M также сколь угодно малое. Теорема доказана.

СПроизведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно малая последовательность всегда ограничена.

ТЕсли элементы бесконечно малой последовательности {xn} не равны

1

нулю, то последовательность будет бесконечно большой.

xn

Т Если {xn} бесконечно большая последовательность и xn ≠ 0 , то после-

1

довательность – бесконечно малая.

xn

Пример:

1). Последовательность

sin n

– бесконечно малая,

т.к. ее элементы яв-

n

ляются произведением

элементов

ограниченной

последовательности

{sin n} и бесконечно малой последовательности

1

.

n

2). Последовательность

n +1

– бесконечно малая, т.к. является суммой

n3

бесконечно малых последовательностей

1

и

1

.

n2

n3

−n

3). Последовательность

e

– бесконечно малая, т.к. является произве-

n

дением бесконечно малой последовательности {e−n } на бесконечно малую

последовательность

1

.

n

Последовательность {xn}

называется фундаментальной, если для лю-

О

бого положительного ε > 0 найдется номер N (ε)

такой, что для всех n ,

удовлетворяющих условию n > N (ε),

и для всех натуральных чисел m

( m =1,2,3,...) справедливо неравенство

xn+m − xn

<ε.

ε > 0 N (ε) : n > N (ε) m N : xn+m − xn <ε .

102	Лекции 8 – 9

ТКритерий Коши. Для того чтобы последовательность {xn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

9.4. Свойства сходящихся последовательностей

1º. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: xn = a +αn , где {αn} – бесконечно малая последовательность.

Доказательство:

По определению предела ε > 0 N (ε ): n > N (ε ), xn − a < ε .

Рассмотрим αn = xn − a xn = a +αn , подставим

a +αn − a <ε ε > 0 N (ε) : n > N (ε) αn <ε , т.е. limαn = 0 αn - бесконечно малая последовательность.

n→∞

2º.

3º.

!

Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство:

Пусть a = lim xn и b = lim xn , a ≠ b , a < r < b – два предела сходящейся

n→∞ n→∞

последовательности {xn }.

ε > 0 N1 : n > N1 xn − a < r − a n > N1 xn < r ;ε > 0 N2 : n > N2 xn −b < b − r n > N2 xn > r .

Выберем N = N (ε)= max{N1 ,N2} и n ≥ N : тогда должно одновременно выполняться xn < r и xn > r , что невозможно, значит, a = b . Сходящаяся последовательность ограничена.

Обратное	утверждение неверно, например, последовательность
	πn	является ограниченной, но предела не имеет.
{xn} = sin
	2

4º. Сумма, разность, произведение			и также частное (при	условии, что
n	yn ≠ 0 и lim yn ≠0) двух сходящихся последовательностей {xn} и
	n→∞
{yn} есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответст-
венно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных
последовательностей.
Доказательство (сумма):
Пусть	{xn} и {yn} – сходящиеся последовательности			и lim xn = a ,
		yn = b + βn где {αn} и {βn}		n→∞
lim yn	= b . Тогда xn = a +αn ,			– бесконечно
n→∞			xn + yn = a +b +αn + βn , т.е. последова-
малые	последовательности,	и

тельность {xn + yn − a −b} – бесконечно малая, и поэтому {xn + yn} сходится и имеет своим пределом a + b .

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

103

САрифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.

5º. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с не-

	которого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ b ( xn ≥ b ), то и предел
	этой последовательности	lim xn	≤ a удовлетворяет	неравенству a ≤ b
	( a ≥ b ).	n→∞
	1. Если элементы xn и yn	сходящихся последовательностей {xn} и {yn},
С
	начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn , то их
	пределы удовлетворяют такому же неравенству: lim xn ≤ lim yn .
			n→∞	n→∞
	2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn}				находятся на
	отрезке [a;b], то и ее предел также находится на этом отрезке.
6º.	Пусть {xn} и {zn} – сходящиеся последовательности и lim xn = lim zn = a .
				n→∞	n→∞
	Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}
	удовлетворяют неравенствам		xn ≤ yn ≤ zn .Тогда	последовательность
	{yn} сходится и lim yn = a .
7º.	n→∞
	Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходит-
	ся к тому же пределу.

9.5. Монотонные последовательности

ОПоследовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не

меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 ( xn ≥ xn+1 ).

ОНеубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

ОЕсли вместо нестрогих неравенств xn ≥ xn+1 и xn ≤ xn+1 имеют место строгие неравенства xn < xn+1 или xn > xn+1 , то последовательности называют-

ся возрастающей и убывающей соответственно.

104

Лекции 8 – 9

Пример:

1). Последовательность {1,1, 2, 2,3,3, 4, 4,..., n, n,...}

- неубывающая.

n

2

– возрастающая, так как xn+1 > xn .

2). Последовательность

n

2 +1

Действительно,

(n +1)2

−

n2

=

(n +1)2 (n2 +1)− n2 ((n +1)2 +1)

=

(

)

n +

2 +1

n2 +1

((n +1)

2

+1)(n

2

+1)

1

=

2n +1

> 0 .

((n +1)2 +1)(n2 +1)

3). Последовательность 1

– убывающая, так как

n

x

− x =

1

−

1

= −

1

< 0 .

n (n +1)

n+1

n

n +1

n

ТПризнак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (имеет предел).

Доказательство:

{xn}- ограничена сверху {xn} имеет

x = Sup		{	x покажем, что lim x		= x .
			}	n→∞ n					x
1)	n, xn ≤ x ;
2)	ε > 0 найдется элемент xN > x −ε ,
n > N, xN ≤ xn				(по условию {xn}- неубываю-

щая), т.е. запишем последовательно:

x −ε < xN ≤ xn ≤ x x −ε < xn ≤ x

−x ≤ −xn < −x +ε 0 ≤ x − xn < ε xn − x <ε ,

то есть по определению предела x = lim xn .

n→∞

!1. Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.

2. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

105

Пример:

{x

} ,

x

=1+

(−1)k

, lim x

=1

, однако {x

} - немонотонная.

n

n

n2

n→∞

n

n

ТНеограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

9.6. Число е как предел монотонной последовательности

Рассмотрим последовательность {x	}, x	=	1	+	1 n .
n	n
					n

Исходя из признака сходимости монотонной последовательности, достаточно доказать, что:

1){xn} - является возрастающей;

2){xn} - ограничена сверху.

1+1 n

Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела .

n

Доказательство:

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a +b)

n

= anb0 + nan−1b1 +

n(n −1)

an−2b2

+

n(n

2!

−

1)(n

−

2)

n−3 3

n

(

n −

)(

− 2

)

...

(

n

−

(

)) 0 n

+

a

b

+...... +

1 n

n −1

a b ,

3!

n!

где n! =1 2 3 ... n .

Тогда

xn =

1 n

=1+ n

1

n(n −1) 1

n(n −1)...(n −(n −1))

1

1+

+

+...

+

=

n

2!

n

2

n!

n

n

n

1

1

1

1

2

1

1

2

n −1

=

2 +

1

−

n

+

1

−

1

−

+... +

1−

n

1

−

n

... 1−

.

2!

3!

n

n

n!

n

Аналогично для xn+1

xn+1

1

1

1

1

2

= 2 +

1

−

+

1−

1−

+... +

2!

n +1

3!

n +1

n +1

106 Лекции 8 – 9

	1				1				2					n
+			1	−			1	−				... 1	−				,
	(n +				n +1				n +1					n +1
		1)!

1)	1 −	1	<	1 −	1			. Заметим, что x	содержит на одно положитель-
					n +1			n+1
		n
ное слагаемое больше, чем xn , следовательно n xn < xn+1 .
Таким образом, {xn}								– последовательность возрастающая

2)При n ≥ 2 0 < 1− 1 <1=> xn > 2 .

n

3)xn < 2 + 2!1 + 3!1 +... + n1! ; если заменить каждое слагаемое еще боль-

шим:	1	= 1	,	1			=	1		<		1				=	1		,... ,		1	<			1	,
				3!				2 3				2 2					22
	2! 2																				n! 2n−1
получаем: xn <									1		1					1				1
					2 +					+				+				+... +					.
									2		22					23				2n−1

{...} - сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой

b =	1	, q =	1	,b =	1	, S =	b (1 − qn )	S =1−	1	;
							1
1	2		2	n	2n−1		1 − q		2n

n S <1 n xn <3.

Вывод: возрастающая последовательность {xn} ограничена сверху, следовательно, последовательность сходится.

			+	1 n
	!
		1. Обозначение lim 1		= e , 2 < e < 3 (Эйлер);
		n→∞		n
				e ≈ 2,7 1828 1828 459045...

2. Число e имеет большое значение в математическом анализе. y = ex - показательная функция с основанием e ;

y = ln x - натуральный логарифм (логарифм по основанию e ).

3. Справедливо утверждение: если {αn} – произвольная бесконечно малая последовательность и αn ≠ 0 , то

lim (1+αn ) 1 αn = e. n →∞

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

107

9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы

ОТочка x бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности {xn }, если в любой ε -окрестности этой точки име-

ется бесконечно много элементов последовательности { xn }.

!Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на числовой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки.

Подобный «геометрический» подход позволяет высказать два утверждения, строгое доказательство которых опустим:

1)всякая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку;

2)последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится.

Пример:

1). Последовательность { 1−(−1)n } имеет две предельные точки x = 0 и x = 2 , но не имеет предела.

2). Последовательность {e−n } имеет одну предельную точку x = 0, которая является одновременно пределом этой последовательности.

ТПринцип Больцано – Вейерштрасса. У всякой ограниченной последо-

вательности существует хотя бы одна предельная точка.

		Наибольшая предельная точка	последовательности		{xn}			называется
О
		верхним пределом последовательности и обозначается					=		x .
						a		lim
								n→∞ n
		Наименьшая предельная точка	последовательности		{xn}			называется
О
		нижним пределом последовательности и обозначается a = lim xn .
							n→∞
	Пример:
		1). Последовательность 1, 1	, 1, 1 , ..., 1,	1
	2		3	n
		имеет верхний предел a = 1 и нижний предел a = 0 .
		2). Последовательность 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, ..., 1, 2, n, ....

имеет нижний предел a =1 , тогда как обычного предела у нее нет, поскольку она неограниченная.

108	Лекции 8 – 9

Сформулируем без доказательства теорему, показывающую важность

этих понятий (значения пределов в ней могут быть и несобственными числами, т.е. +∞ или −∞).

ТДля любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела (в обычном смысле).

!Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным числом.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями:

множество, элемент множества;

целые, натуральные, рациональные, действительные числа;

виды числовых множеств (интервал, сегмент, луч и т.п.);

ограниченные и неограниченные множества;

числовая последовательность, способы ее задания;

предел числовой последовательности;

бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства;

свойства сходящихся последовательностей;

монотонные последовательности, признак сходимости монотонной последовательности;

предельная точка (точка сгущения) последовательности.

Лекции 10 - 11 ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

В лекциях 10 – 11 рассматривается одно из основных понятий математики – понятие функции. Обсуждаются способы задания функции, различные свойства функций, приводится классификация функций и, для справки, таблица основных элементарных функций с их графиками. Далее рассмотрено опорное для всего математического анализа понятие предела функции, приведены разновидности определений (определение по Коши и определение по Гейне, предел в точке и предел в бесконечности, односторонние пределы и т.п.). Заканчивается лекция описанием бесконечно малых и бесконечно больших функций - весьма удобного математического инструмента, широко использующегося в различных доказательствах.

10.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции

10.2.Основные характеристики функции

10.3.Обратная функция. Сложная функция

10.4.Основные элементарные функции

10.5.Элементарные и неэлементарные функции

11.1.Предел функции в точке

11.2.Предел функции в бесконечности

11.3.Односторонние пределы

11.4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

11.5.Таблица определений предела

10.1.Понятие функции. График функции.

Способы задания функции

Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно относится к установлению соответствия между элементами двух множеств.

ОЕсли задано правило f , по которому каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y ,

то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x), x X , y Y .

Множество X называется областью определения функции (ООФ) и

обозначается D( f ). Множество изменения функции Y называется об-

ластью значений функции (ОЗФ) и обозначается E ( f ).

В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ Y являются числовыми множествами, X , Y . В этом случае переменная величина x называется независи-

мой переменной или аргументом, величина y - зависимой переменной

или функцией (от x). Число y , соответствующее данному значению x, назы-

вается частным значением функции в точке x.

110	Лекции 10 – 11

ОМножество точек (x, f (x)) плоскости Oxy называется графиком функции y = f (x).

Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.

При аналитическом задании функция может быть определена:

f		(x), x D	D( f )
	1	1		;
1) явно - уравнением вида y = f (x) или y =	f	(x), x D D( f )
	2	2

2)неявно - уравнением вида F (x, y )= 0 ;

3)параметрически – с помощью вспомогательной переменной –

параметра – x = x(t ),

t T .

y = y (t ),

Пример:

Явное задание:

{ }

{

}

{ }

{

}

1). y = 1 − x2 ,

x =

x :

x

≤

1 ,

y =

y : 0

≤ y ≤1

;

y =

x

x,

x ≥ 0,

=

2).

−x,

x < 0,

{x}={x : −∞ ≤ x ≤ ∞},{y}={y : 0 ≤ y ≤ ∞}

1, x > 0,

3). y = sgn x - знак x ,

sgn x = 0, x = 0,

−1, x < 0,

{x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞}, {y} ={−1,0,1}

0, x −иррац.,

4). Функция Дирихле y =

1, x −рац.,

{x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞},

{y}={0,1}.

5). y =[x]- целая часть x (наибольшее целое,

не превосходящее x )

D ( f )={x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞},

E ( f )={y} ={y :целыечисла};

эта функция может быть задана в виде

...

1, x [1; 2),

[x]= 0, x [0;1), .

−1 x [−1; 0),

...

Функции. Предел функции

111

Неявное задание:

уравнение F (x, y)= 0 может определять не одну, а несколько функций вида y = f (x). Так, уравнение x2 + y2 −1 = 0 определяет две функции: y = f1 (x)= + 1 − x2 и y = f2 (x)= − 1 − x2 .

Аналитический способ задания функции является наиболее точным и предпочтительным для дальнейшего исследования функции методами математического анализа. Графическое и табличное описание возникает, например, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных зависимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую аналитическую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую экспериментальные данные (так называемая аппроксимация).

10.2. Основные характеристики функции
О	Функция f (x)	с симметричной относительно нуля областью определе-
	ния X называется четной, если для				любого x X	выполняется равен-
	ство f (x)= f (−x).
	Из определения четной функции следует, что ее график симметричен
относительно оси ординат. Например, функции y = x2 ,						y = x являются чет-
ными, их графики имеют вид:
		y		y = x2	y
					y = x
		y0
	–x0	0	x0	x	0	x

ОФункция f (x) с областью определения X называется нечетной, если для любого x X выполняется равенство f (−x) = − f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции y = x3 и y = 2x являются нечетными, их графики имеют вид:

112										Лекции 10 – 11
	y					y
			y = x3			y0		y = 2x
				x		–x0				x
		0					0	x0
							–y0
Функция y = x2 + x не является					ни четной,			ни	нечетной, так как

(−x)2 + (−x)= x2 − x ≠ ±y .

ОФункция y = f (x) называется периодической, если существует такое

число T ≠ 0 , что для любого x X выполнены условия: 1) x +T X ; 2) f (x +T )= f (x). Число T называется периодом функции y = f (x).

Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ограниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим под-

разделяются и сами функции.

О Функция f называется ограниченной на множестве E D( f ), если

A : x E f (x) ≤ A .

Например, функция y = sin (x) ограничена на всей числовой оси; y = x3 ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей

	области определения x .
	Функция	f	называется ограниченной сверху (снизу) на множестве
О
	E D( f ), если A : x E f (x)≤ A ; ( A : x E							f (x)		≥ A ).
	Например, y = x2			ограничена снизу на всей области определения x .
	Точная верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на
О
	E называется точной верхней (нижней) гранью функции f										на E и
	обозначается sup f (x ) ( inf f (x)).
			x E		x E
				1
	Например,		sup		= 0 , inf x2 = 0 .
		x (−∞;0)		x	x
	Если число		sup f (x) ( inf f (x)) принадлежит множеству M значений
О
			x E		x E
	функции				то оно называется наибольшим (наименьшим) зна-
		f	на E ,
	чением f	на E и обозначается max f (x) ( min f (x)).
					x E	x E
Например, min x2 = 0 ,					max 1 не существует.
		x		x (−∞;0) x							( f ).
Пусть y = f (x) определена на множестве D( f ) и множество E D

Функции. Предел функции				113
О Если x1, x2			E :
x1 < x2		f	(x1 )< f (x2 ) -	f (x) возрастающая на E ;
x1	< x2	f (x1 )≤ f (x2 ) -		f (x) неубывающая на E ;
x1	< x2	f (x1 )> f (x2 ) -		f (x) убывающая на E ;
x1	< x2	f (x1 )≥ f (x2 ) -		f (x) невозрастающая на E .

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на E , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на E .

10.3. Обратная функция. Сложная функция

О Функция y = f (x), x X , y Y обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого y Y существует только одно значение x X такое, что y = f (x).

ОТогда функции y = f (x), осуществляющей

отображение множества X в множество Y, может быть сопоставлена функция x = g (y),

осуществляющая отображение Y в X, такое, что g ( f (x))= x . Эта функция называется обратной к f (x) и обозначается f −1 (y).

С другой стороны, для функции x = f −1 ( y) обратной является функция y = f (x), поэтому функции y = f (x) и x = f −1 (y) называют-

ся взаимно обратными.

Графики функций y = f (x) и x = f −1 (y) совпадают, но если мы хотим описать функцию f −1 (y) обычным образом, то есть ее аргумент

обозначить через x , а зависимую переменную через y , то графическая иллюстрация изменится.

Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симмет-

y	y = f (x)
y	x = f −1(y)
x	x

x

x = f −1(y)

y

y

y = f −1(x)

x

114				Лекции 10 – 11
ричны относительно биссектрисы первого и
третьего	координатных	углов, то	есть линии	−1(x)
y = x .
Множество значений обратной функции
y = f −1 (x)	совпадает с	областью	определения	x

функции y = f (x), а область определения обратной функции y = f −1 (x) совпадает с множеством значений функции y = f (x).

Пример:

1) y = 1x = f (x), x (− ∞, 0) (0, ∞), y (− ∞, 0) (0, ∞);

g (x)= f −1 (x)= 1x (обратная функция совпадает с исходной).

2)		x	,	x > 0,	x (− ∞, 0) (0, ∞),
	y = f (x)= e
	− e x ,			x < 0,	y (−1,0) (1,∞);
y = f −1 (x)= ln x, x >1,					x (−1, 0) (1, ∞),
	ln(− x), x (−1, 0), y (− ∞,0) (0,∞).

f и

Если

g -

функции

одного переменного,

то функция h ,

О

определенная

соотношением

h(x)= g f (x)

на

области

D(h)=

{

( f ):

}

x D

,

называется сложной функцией или

f (x) D(g )

суперпозицией (композицией) функций f и g и обозначается g f .

Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции f и в точке x , а затем для данного числа, рассматриваемого как аргумент, вычисляется значение функции g .

Операция суперпозиции может применяться повторно, например,

F (x)= lg sin (tg (x2 )) представляет собой суперпозицию пяти операций: возведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма.

Функции. Предел функции

115

10.4.Основные элементарные функции

1.Степенные функции

1.1. y = xn , n N .

1.2. y = x1n , x ≠ 0 .

1.3. y = n x .

1.4. y = xα , α .

116	Лекции 10 – 11
2. Трансцендентные функции
2.1. Показательная	2.2. Логарифмическая
y = ax , a > 0, a ≠1.	y = loga x, a > 0, a ≠1, x (0,∞) .

3. Тригонометрические функции

3.1. y = sinx		3.2. y = cosx

3.3. y = tg x, x ≠		π	+ nπ		3.4. y = ctgx, x ≠ kπ .
		2

.

Функции. Предел функции

117

4. Обратные тригонометрические функции

4.1. y = arcsin x, | x |≤1. arcsin(−x) = −arcsin x .

4.2. y = arccos x, | x |≤1. arccos(−x) =π −arccos x .

	4.3. y = arctg x ,			4.4. y = arcctg x .
arctg(−x) = −arctg x .			arcctg(−x) =π −arcctg x .

arcsin x + arccos x =

π

, arctg x + arcctg x = π , arctg x =

π

−arctg

1 .

2

2

2

x

5. Гиперболические функции

5.1. Гиперболический синус

5.2. Гиперболический косинус

y = sh x =

ex −e−x

y = ch x =

ex + e−x

.

.

2

2

118	Лекции 10 – 11

5.3. Гиперболический тангенс

	y = th x =		ex −e−x	=	sh x	.
			ex + e−x		ch x

ch2 x −sh2 x =1, th x cth x =1 , sh(x + y) =sh xch y +sh y ch x ,

5.4. Гиперболический котангенс

	y = cth x =		ex + e−x	=	ch x		.
			ex −e−x		sh x

ch(x + y) = ch xch y +sh xsh y .

10.5. Элементарные и неэлементарные функции

ОФункции, получающиеся из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций суперпозиции, называются

элементарными функциями.

(Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школьного курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обыч-

ными тригонометрическими функциями.)

Рассмотренные выше функции y =sgn x , y = x , y =[x], функция Ди-

рихле относятся к неэлементарным.

11.1. Предел функции в точке

	11.1.1. Число A называется пределом функции y = f					(x)	в точке a , ес-
О
	ли	для	любой	последовательности	{xn}		такой,			что
	xn D( f ),		xn ≠ a, lim xn	= a , выполняется равенство		lim f (x		n	)= A , ко-
			n→∞			n→∞
	торое обозначают: lim f (x)= A .

x→a

Определение 11.1.1 сформулировано «на языке последовательностей»

(иначе определение предела по Гейне).

Функции. Предел функции		119
	Пример:
	1) y = x; xn → a	y(xn )= xn → a lim x = a.
	n→∞	x→a

2) y = y (x)− функция Дирихле, x →a, y →? рациональные−{xn } → a {y (xn )} →1,

иррациональные−{xn }→ a {y (xn )}→ 0.

Функция Дирихле не имеет предела при x → a , где a - любое.

О11.1.2. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке a , ес-

ли ε > 0 δ (ε ) > 0 : x : 0 < x − a < δ (ε ) f (x)− A < ε .

A + e
A	2ε
A - e
	δ	δ
0	a −δ	a +δ

Таким образом, для любой ε - окрестности точки А можно найти δ - окрестность точки a , такую, что все значения функции для x из δ - окрестности точки a попадут в ε - окрестность точки А.

Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x

расположена к точке a , тем ближе значение f (x) к числу A .

Определение 11.1.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта» (иначе оп-

ределение предела по Коши).

11.2. Предел функции в бесконечности

Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о поведении функции при x →+∞ ( x → −∞).

О 11.2.1. Число A называется пределом				f (x) при x →+∞ ( x → −∞), ес-
ли {xn}: xn → +∞ f {xn} → A			{xn}: xn → −∞ f {xn}→ A .
n→∞	n→∞			n→∞	n→∞

Определение 11.2.1 сформулировано «на языке последовательностей».

О11.2.2. Число A называется пределом f (x) при x →+∞ ( x → −∞),

если

ε > 0 M (ε ): x : x ≥ M f (x)− A < ε

( ε > 0 M (ε ): x : x ≤ M f (x)− A < ε ).

120	Лекции 10 – 11

Определение 11.2.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта».

ТОпределение 11.1.1 определение 11.1.2, определение 11.2.1 определение 11.2.2, т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны.

Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства существования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне.

Пример:

1) y = x2 , x →1. Доказать, что lim x2 =1.

x→1

Доказательство:

ε

ε > 0

x2 −1

< ε,

(x −1)(x +1)

< ε

x −1

<

.

x +1

Так как в предельном переходе рассматриваемая область значений x на-

ходится вблизи точки a =1 , можно считать,

что 0 < x < 2 ,

x +1

= x +1 ,

1 < x +1 < 3 ,

1

<

1

<1 , тогда

x −1

< ε , т.е. можно взять δ (ε )=ε . Что-

3

x +1

f (x)

при x → a , следует для любо-

бы доказать существование предела

го ε найти формулу для построения δ (ε).

2)

y =

x +1

, x →∞.

Доказать, что lim

x +1

=1 .

x

x

x→∞

Доказательство:

x +1

1

1

1

ε > 0

−1

< ε

< ε

x

>

, т.е. M (ε )=

.

x

x

1

1

ε

ε

3)

y = sin

,

x → 0 . Доказать, что lim sin

не существует.

x

x

x→0

Доказательство:

Рассмотрим две последовательности

xn

=

1

,

lim xn

= 0 ,

f (xn )= sin (nπ )= 0 ,

lim f (xn )= 0 ;

πn

2

n→∞

π

n→∞

′

=

′

′

2nπ

′

,

= 0 ,

+

=1 ,

xn

π + 4πn

lim xn

f (xn )= sin

2

lim f (xn )=1.

n→∞

n→∞

Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений

функции сходятся к различным пределам, lim sin 1 не существует.

x→0 x

Функции. Предел функции

121

11.3. Односторонние пределы

О	11.3.1. Число A называется правым пределом функции				y = f (x)			в
	точке a , если {xn} → a , (xn > a) {f (xn )}→ A . Эквивалентное опре-
	деление: число A называется правым пределом функции y = f (x)							в
	точке a ,	если ε > 0 δ (ε ) > 0 : 0 < x − a <δ (ε )		f (x)− A			< ε .
	Обозначение правого предела: lim f (x ) = A .
		x → a +0
О	11.3.2. Число A называется левым пределом функции y = f (x) в точке
	a , если	{xn }→ a : (xn < a) {f (xn )}→ A, или если			ε > 0 ,			то

δ (ε )> 0 : 0 < a − x <δ (ε )				f (x)− A		<ε .
Обозначение левого предела:				lim f		(x ) = A .
				x → a −0
Пример:
		y = Sgn x , lim Sgn x =1,		lim Sgn x = −1.
		x→+0		x→−0

ТФункция y = f (x) имеет предел в точке a , если правый и левый преде-

лы в точке a существуют и равны: lim	f (x) = lim	f (x)= lim f (x) = A .
x→a+0	x→a−0	x→a

Доказательство:

Из определения 11.3.1 ε > 0 δ1 (ε ): 0 < x − a <δ1 (ε ) f (x)− A <ε .

Из

определения

11.3.2

для

того

же

ε

δ2 (ε ): 0 < a − x < δ2 (ε )

f (x)− A

< ε .

Возьмем

δ (ε)= min{δ1,

δ2},

тогда

можно

сказать,

что

ε > 0 δ (ε):

x − a

<δ (ε), то есть lim f (x)= A .

x→a

11.4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

иих свойства

		Функция α (x) называется бесконечно малой	в точке	a , если
	О
		limα (x) = 0 .
	!	x→a		x →+∞
		Аналогично определяется функция, бесконечно	малая при

122	Лекции 10 – 11

( x → −∞).

Функции. Предел функции

123

Свойства бесконечно малых функций:

))

x→a

(

x

)

x→a

(

x

)

x→a (

α

(

x

)

+ β

(

x

= 0 .

Т

Если limα

= lim β

= 0 , то lim

Доказательство:

Из условия следует, что для любой последовательности xn → a соответствующие последовательности α(xn )→ 0 и β (xn )→ 0 .

Покажем, что α(xn )+ β (xn )→ 0 . Для этого фиксируем произвольное ε :

N1 (ε): n > N1 α(xn ) < ε2 и N2 (ε ): n > N2 β (xn ) < ε2 .

Возьмем N = max{N1, N2},

тогда для n > N α(xn )+ β (xn ) ≤ α(xn ) + β (xn ) <ε .

!Свойство может быть расширено: сумма конечного количества бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

ТПроизведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

С

лая.

Т

О

Например,			2	sin	1		= 0.	x	2	- бесконечно малая функция в точке
		lim x			x
		x→0
x = 0 ; sin	1	- ограниченная функция.
	x

Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно ма-

	Если lim f (x)= A ≠ 0, limα(x)= 0 , то lim			α(x)	= 0.
				f (x)
	x→a	x→a	x→a
	Функция	f (x) называется	бесконечно	большой в точке a , если

M δ (M )> 0 : x : 0 < x −a <δ f (x) > M . Записывается это как

lim f (x)= ∞. Если же функция при x → a не только возрастает по абсо-

x→a

лютной величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают:

lim f (x)= +∞ M δ (M )> 0 : x : 0 < x − a <δ f (x)> M ;

x→a

lim f (x)= −∞ M δ (M )> 0 : x : 0 < x − a <δ f (x)< M .

x→a

!1). Аналогично определяются функции, бесконечно большие при

x → +∞ ( x → −∞ ).

2). Функция, бесконечно большая при x → a , является неограниченной в окрестности точки a , но обратное утверждение неверно: не всякая не-

ограниченная функция является бесконечно большой. Так, f1 (x)= 1x -

124								Лекции 10 – 11
						1
				sin
бесконечно большая при x →0 , а f2 (x)=						x		- является неограни-
						x
ченной при x → 0 , но бесконечно большой не является.
В первом случае для любого числа	M можно указать окрестность
точки x = 0 , в каждой точке которой			f (x)			> M ; во втором случае для

любого числа M в каждой окрестности точки x = 0 можно указать точку, в которой f (x) > M , но в этой же окрестности найдутся точки,

не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, f (x)= 0 .

Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при x → a подтверждается следующей теоремой.

ТЕсли α (x) - бесконечно малая функция при x → a и α(x)≠ 0 при x ≠ a ,

то α(1x) - бесконечно большая функция при x → a . Если α(x) - беско-

1

нечно большая, то α(x) - бесконечно малая.

Свойства бесконечно больших функций

1˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.

2˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

3˚. Сумма бесконечно больших функций может не быть бесконечно боль-

шой функцией:
f (x)= x , g (x)=1 − x ,	f (x)+ g (x)=1.	f (x) и g (x) - бесконечно боль-
шие при x → ∞ функции, но f (x)+ g (x)		таковой не является;
f (x)= x , g (x)=1 − x2 , f (x)+ g (x)=1 + x − x2 .
Все функции, f (x),	g (x) и f (x)+ g (x) - бесконечно большие при

x → ∞.

11.5.Таблица определений предела

Втаблице приведены все встречавшиеся в лекции определения пределов. Для краткости приведены только определения Коши.

Функции. Предел функции

125

Понятие

Обозначение

Определение

Предел функции

lim f

(

x

)

= A

0

(

)

0 : x : 0

x

a

f (x)

A

ε >

δ

ε

>

<

−

< δ

−

< ε

f в точке x = a

x→a

«Обращение

lim f (x)= +∞

δ

(M )

>

<

x

−

a

<δ

f (x)

>

M

функции f

x→a

M

0 : x : 0

lim f

(x)= −∞

M

(M )

0 :

x : 0

x

a

f (x)

M

в бесконеч-

δ

>

<

−

<δ

<

ность» в точке

x→a

x = a

lim f

(

x

)

= ∞

M δ (M )> 0 : x : 0 <

x −a

< δ

f (x)

> M

x→a

Предел функции

lim

f

(

x

)

= A

ε > 0

M (ε ): x : x ≥ M

f (x)− A

< ε

f при x → +∞,

x→+∞

соответственно

x→−∞

f

(

x

)

= A

ε > 0

M (ε ): x : x ≤ M

f (x)− A

< ε

x → −∞

lim

«Обращение

lim

f (x)= +∞

M

x0 (M ): x :

x ≥ x0 f (x)> M

функции f

x→+∞

в бесконеч-

lim

f (x)= −∞

M

x0 (M ): x :

x ≥ x0 f (x)< M

ность» при

x→+∞

lim

f

(

x

)

= +∞

M

x

M

)

: x :

x ≤ x f

(

x

)

> M

x → +∞,

x→−∞

0 (

0

соответственно

lim

f (x)= −∞

M

x0 (M ): x :

x ≤ x0 f (x)< M

x → −∞

x→−∞

lim

f (x)= ∞

M

x0 (M ): x : x ≥ x0

f (x)

> M

x→+∞

lim

f (x)= ∞

M

x0 (M ): x : x ≤ x0

f (x)

> M

x→−∞

Пределы справа

lim

f

(

x

)

= A

ε > 0

δ (ε )> 0 : x : 0 < x − a <δ

f (x)− A

< ε

и слева

x→a+0

x→a−0

f

(

x

)

= A

ε > 0 δ (ε )> 0 : x : 0 < a − x <δ f (x)− A < ε

lim

«Обращение

lim

f (x)= +∞

M

δ (M )> 0 : x : 0 < x −a <δ f (x)> M

функции f

x→a+0

в бесконеч-

lim

f

(

x

)

= +∞

M

δ

(

M

)

> 0 : x : 0 < a − x <δ f

(

x

)

> M

x→a−0

ность» справа и

lim

f (x)= −∞

M

δ (M )> 0 : x : 0 < x −a <δ f (x)< M

слева

x→a+0

в точке x = a

lim

f (x)= −∞

M

δ (M )> 0 : x : 0 < a − x <δ f (x)< M

x→a−0

x→a+0

f

(

x

)

= ∞

M δ (M )> 0 : x : 0 < x −a < δ f (x) > M

lim

x→a−0

f

(

x

)

= ∞

M δ (M )> 0 : x : 0 < a − x < δ f (x) > M

lim

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями:

функция, график функции, способы задания функции;

предел функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы;

бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

Лекции 12-13 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

В лекциях 12–13 доказаны основные теоремы, на которые опираются конкретные приемы вычисления пределов функций. Рассмотрены первый и второй замечательные пределы, позволяющие вычислять пределы неопределенных выражений, приведена классификация бесконечно малых величин, показана важность эквивалентных бесконечно малых для вычисления пределов функций. Рассмотрено понятие непрерывности, излагаются определения и теоремы, разъясняющие это понятие.

12.1.Свойства функций, имеющих предел

12.2.Замечательные пределы

12.2.1.Первый замечательный предел

12.2.2.Второй замечательный предел

12.3.Сравнение бесконечно малых функций

13.1.Непрерывность функции

13.1.1.Непрерывность функции в точке

13.1.2.Непрерывность функции на множестве

13.1.3.Непрерывность основных элементарных функций

13.1.4.Свойства непрерывных функций

13.1.5.Непрерывность обратной функции

13.1.6.Непрерывность сложной функции

13.1.7.Свойства функций, непрерывных на отрезке

13.2.Точки разрыва и их классификация

12.1.Свойства функций, имеющих предел

Для рассмотрения свойств функций, имеющих предел, будет полезна следующая теорема о связи бесконечно малой функции и функции, имеющей предел. Теоремы этого параграфа сформулированы для пределов в точке x0 ,

но все они справедливы и для пределов при x → ±∞.

Т	Если lim f (x) = A и A <∞, то f (x) = A +α(x), где limα (x) = 0.
	x→x0				x→x0
	Доказательство:
	Если lim f (x) = A, то, по определению Коши, при произвольном ε > 0
	x→x0		f (x)− A				f (x)− A		=α(x).
	выполняется неравенство				< ε . Обозначим

Тогда для любого ε > 0 выполняется α (x) < ε . Но это и означает, что α(x) – бесконечно малая при x → x0 .

126	Лекции 12 – 13

!Справедливо и обратное утверждение: если функция f (x) представима

		в виде		f (x) = A +α(x), где limα(x)= 0 , то существует lim f (x) = A.
										x→x0	x→x0
	Пусть функции y = f (x)							и y = ϕ (x)			имеют одну область определения D .
	Т	Если lim f ( x) = A и limϕ(x) = B , то
			x→x0					x→x0
	1)		lim ( f (x) +ϕ (x)) = lim							f (x) + lim ϕ (x);
			x→x0						x→x0		x→x0
	2)		lim ( f (x) ϕ (x))= lim							f (x) lim ϕ (x);
			x→x0					x→x0			x→x0
	3)		lim (k f (x))= k lim f (x);
			x→x0					x→x0
					f (x)		lim f (x)
	4)		lim			=	x→x0		, где ϕ (x) ≠α (x) .
				ϕ (x)			lim ϕ	(x)
			x→x0
							x→x0
		Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой:
	lim f (x) = A f (x) = A +α(x),										где limα(x) = 0;
	x→x0										x→x0
	lim ϕ (x) = B ϕ (x) = B + β(x),										где lim β(x) = 0
	x→x0										x→x0

Докажем свойство 1:

f(x)+ϕ (x)= (A + α (x))+ (B + β (x))=

=(A + B)+ (α (x)+ β (x))= (A + B)+γ (x),

где γ (x)=α(x)+ β (x).

Применяя теорему о связи вновь и учитывая, что

	lim γ (x) = lim (α(x) + β(x))= 0,
	x→x0	x→x0
получаем	( f (x) +ϕ (x))= A + B = lim f (x) + limϕ (x).
lim
x→x0		x→x0	x→x0

!Свойства 1, 2, 4, в которых фигурируют три различных предела, можно читать в двух направлениях: если два любых предела существуют, то существует и третий и соотношение выполняется.

Замечательные пределы. Непрерывность функции

127

Пример:

Вычислить предел lim

x2

+ 5

.

x2

− 3

x→2

x2

+5

Значение

функции

f

(x) =

определено

в

точке

x = 2 ,

x2

−

3

0

f (2) =

22

+ 5

=

9

= 9 , поэтому

lim

x2 + 5

=

9.

22

− 3

1

x2 −3

x→2

Если функция f (x)

определена в точке x0 , то

lim f (x) = f

lim x

)

= f (x0 ).

x→x0

(x→x0

Пример:

Вычислить предел lim

x3

+ x

.

− 3x2

x→∞ x3

+1

Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и

знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на x3 :

x3 + x

∞

1+1 x2

1+ 0

lim

=

= lim

=

=1.

3

−3x

2

+1

−3 x +1 x

3

1

−0 +

0

x→∞ x

∞

x→∞1

Пример:

Вычислить предел lim

9 +5x + 4x2

−3

.

x

x→0

Непосредственно подставляя число x0

= 0 в функцию, получаем неопре-

деленность (0/0). Учтем формулу (a −b)(a + b) = a2

−b2

и умножим чис-

литель и знаменатель на выражение (

9 +5x +4x2 +3):

9 +5x +4x2

−3

0

( 9 +5x +4x2 )2 −(3)2

lim

=

= lim

=

9 +5x +4x2 +3)

x→0

x

0

x→0 x (

= lim

9

+5x +4x2 −9

= lim

5 +

4x

=

5 +0

=

x→0 x ( 9 +5x +4x2 +3)

x→0

9 +5x +4x2 +3

9 +0 +0 +

3

=

5

=

5 .

3

+

3

6

128

Лекции 12 – 13

Пример:

Вычислить предел: xlim→+∞ (

x2 +1 − x).

В данном примере имеет место неопределенность типа (∞ - ∞); наличие

иррациональности не допускает прямого сокращения, поэтому применя-

ется следующий прием:

f (x)− g (x)=

(f (x)− g (x))( f (x)+ g (x))

=

f 2 (x)− g2 (x)

:

f (x)+ g (x)

f (x)+ g (x)

lim (

x2 +1 − x) =(∞−∞) = lim

( x2 +1)2 − (x)2

x2 +1 + x

=

x→+∞

x→+∞

x2 +1− x2

1

= lim

= lim

= 0

x→+∞

x2 +1 + x

x→+∞ x2

+1 + x

Если функции

y = f (x)

и y =ϕ(x)

имеют одну область определения D

Т

и x D f (x)≤ϕ(x),

то lim f (x) ≤ limϕ(x). Иначе говоря, знак нера-

x→x0

x→x0

венства сохраняется при предельном переходе. Заметим, что из строгого

неравенства f

(x)<ϕ(x) по-прежнему следует lim f (x) ≤ limϕ(x) : пусть

x→x0

x→x0

f (x)= x4 , ϕ(x)= x2 , при

x

<1

f (x)<ϕ(x), но lim f (x) = limϕ(x) = 0 .

x→0

x→0

Теорема о пределе промежуточной функции.

Т

Если 1) x D f (x)≤ϕ(x)≤ g (x)

, 2) lim f (x) = lim g(x) = A ,

x→x0

x→x0

то limϕ(x) = A.

x→x0

12.2.Замечательные пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

Втеории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

12.2.1. Первый замечательный предел

		y = sin x	при x → 0 имеет предел, равный 1: lim sin x		=1.
Т	Функция
		x	x→0	x

Замечательные пределы. Непрерывность функции										129
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность.
Пусть COB = x , 0 < x < π		, OC = OB = r =1 ,
	2
AC = sin x ,	OA = cos x , BD = tg x . Сравнивая
площади треугольника OAC , сектора OBC
и треугольника OBD , получаем
S OAC < SOBC < S OBD ,
1 sin x cos x < 1 x < 1			sin x .
2	2	2	cos x
Разделим двойное неравенство на				sin x (> 0):	cos x <	x	<	1		. Нера-
						sin x			cos x
				2
венство	справедливо		и	для	x < 0 ,			так		как
cos(−x) = cos x, sin(−x) = sin(x) . Перейдем к пределу при							x → 0 : cos(x)
	−x	x
- функция непрерывная, cos x →cos(0) =1. Применяя теорему о пределе
промежуточной функции, получаем:
	1 ≤ lim sin x ≤1, то есть lim sin x =1.
	x→0	x		x→0	x

!В первом замечательном пределе имеет место неопределенность 0 .

0

Пример:

Вычислить предел: lim sin 2x .

x→0 x

Если x → 0, то и 2x → 0 и тогда

sin 2x

0

2 sin 2x

sin 2x

lim

=

= lim

= 2 lim

= 2

1

= 2.

x

0

2 x

2x

x→0

x→0

x→0

Пример:

Вычислить предел: lim tgx .

x→0

x

tg x

0

sin x

1

sin x

1

1

lim

=

= lim

= lim

lim

= 1

= 1.

x

0

x

x

cos x

cos0

x→0

x→0

cos x

x→0

x→0

130									Лекции 12 – 13
	12.2.2. Второй замечательный предел
		Функция		+	1 x
	Т
			y(x)= 1			при x → ∞ имеет предел, равный числу e :
					x		+	1	x
						lim 1		x	= e .
						x→∞

Доказательство:

При рассмотрении предела монотонной последовательности было полу-

чено соотношение:

+

1 n

= e .

lim 1

x →+∞.

n→∞

n

Пусть

Любое

x

удовлетворяет

двойному

неравенству

n ≤ x < n +1 ,

где

n =[x]

-

целая

часть

x .

Тогда

1

< 1

≤ 1 ,

n +1

1 n

x

n+1

x

n

1+

1

<1+

1

≤1

+

1

1

1

x →+∞

и

1 +

< 1 +

≤ 1

+

. При

n +1

x

n

x

n +1

n

n →+∞.

Рассмотрим раздельно пределы левой и правой части двойного неравенства:

+

1

n+1

1

n

lim 1

e

+

=

n→∞

n +1

=

= e

lim 1

,

n

1

1

n→∞

+1

lim 1 +

n

+1

n→∞

+

1

n+1

1

n

1

= e 1 = e .

lim 1

n

= lim 1 +

lim 1 +

n→∞

n→∞

n

n→∞

n

Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем, что

	+	1 x		+	1 x
e ≤ lim 1			≤ e , откуда lim 1			= e.
x→+∞		x	x→+∞		x

Пусть x → −∞. Сделаем замену переменной: t = −(x +1),

x = −(t +1);

из x → −∞ следует t →+∞.

1

x

1

−t−1

t

−t−1

t +1 t+1

lim 1

+

x

= lim 1−

= lim

= lim

t

=

+1

x→−∞

t→+∞

t +1

t→+∞ t

t→+∞

1 t+1

+

1

t

+

1

1 t

+

1

= e 1

= e

= lim 1 +

= lim 1

t

1

t

= lim 1 +

lim 1

t

t→+∞

t

t→+∞

t→+∞

t

t→+∞

Замечательные пределы. Непрерывность функции

131

С lim(1+t)1/ t = e

t→0

(заменим переменную: t =	1	; lim(1+t)1/ t = lim(1+1 x)x = e ).
	x	t→0	x→∞

Пример:

Вычислить предел: lim (1 +1 x)7 x .

x →∞

(1+1 x)

7 x

∞

(1

+1 x)

x 7

(1+1 x)

x 7 7

lim

=

= lim

=

lim

= e .

1

x→∞

x→∞

x→∞

ОФункция y =( f (x))ϕ(x) ( f (x)> 0 ) называется степенно-показательной функцией или сложно-показательной функцией.

ТПредел степенно-показательной функции y =( f (x))ϕ(x) при x → x0 вычисляется по формуле:

			lim ϕ ( x)
lim ( f (x))ϕ ( x) = lim f (x) x→x0				.
0		0
x→x	x→x

Применим основное логарифмическое тождество, считая lim f (x) = A, lim ϕ (x) = B.

			x→x0			x→x0
				ϕ ( x )				lim ϕ ( x) ln f ( x)	=
	lim ( f (x))ϕ ( x) = lim eln( f ( x))					= lim eϕ ( x) ln f ( x) = ex→x0
	x→x0		x→x0			x→x0
	lim ϕ ( x) lim ln f ( x)							lim ϕ ( x)
				= eB ln A	= eln AB = AB = lim			f (x) x→x0 .
	= ex→x0	x→x0
						x→x
							0

!Во втором замечательном пределе имеет место неопределенность 1∞ .

Пример:

x +1 2 x−1

Вычислить предел lim

.

x→∞ x − 2

Вычислим

предел

lim

x +1

= lim

1 +1 x

=

1 + 0

=1

и

предел

1 − 0

x →∞ x − 2

x→∞ 1 − 2 x

(2x −1) = ∞. Таким образом, функция

x +1

2 x −1

lim

y =

порождает не-

x →∞

x − 2

определенность [1∞].

x +

1

x +1

x +1

− x +

2

3

1

=1

+

−1 =1+

=1+

=1

+

.

x −

2

x

−2

x

−2

((x −2) 3)

x −2

132

Лекции 12 – 13

x +1

2 x−1

∞

1

2 x−1

lim

= (1 )

= lim

1

+

=

x→∞ x − 2

x→∞

((x − 2) 3)

x−2

(2 x−1)

3

1

x−2

3(2 x−1)

3

lim

= lim 1

+

= ex→∞

x−2

= e6 ,

x→∞

((x

− 2) 3)

поскольку lim

6x −3

= 6.

x→∞

x −2

12.3. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции α1(x) и α2(x) являются бесконечно малыми при x → x0.

Если lim α1(x) = A, то возможно несколько ситуаций:

x→x0 α2 (x)

1)если A < ∞, то α1(x) и α2(x) называются бесконечно малыми одного порядка;

2)если A = 1, то α1(x) и α2(x) называются эквивалентными. Обозначение:

α1(x) α2(x) lim α1(x) =1;

x→x0 α2 (x)

3) если A = 0, то функция α1(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с α2(x).

Введем символ α1(x) = о (α2(x)) lim α1(x) = 0.

x→x0 α2 (x)

Т Если α1(x), α2(x), α3(x) являются бесконечно малыми при x → x0 и при

этом α1(x) α2(x), α2(x) α3(x), то lim

α1(x)

= lim

α1(x) .

x→x0

α2 (x)

x→x0

α3 (x)

В самом деле, α3(x) α2(x) lim

α3 (x) =1.

x→x0

α2 (x)

Тогда

lim

α1(x)

= lim

α1(x) α3 (x)

= lim

α1(x)

lim

α3 (x) = lim

α1(x)

1 =

x→x0

α2 (x)

x→x0

α3 (x) α2 (x)

x→x0

α3 (x)

x→x0

α2 (x)

x→x0

α3 (x)

= lim

α1(x) .

x→x0

α3 (x)

Замечательные пределы. Непрерывность функции					133
Аналогично: если α1(x) α2(x) при x → x0, то
1)	lim ( f (x) α1(x)) = lim ( f (x) α2 (x));
	x→x0			x→x0
2)	lim	α1(x)	= lim	α2 (x)	;
	x→x0	f (x)	x→x0	f (x)
3)	lim f (α1(x))= lim f (α2 (x)).
	x→x0			x→x0

ТЕсли x → 0, то выполняются следующие эквивалентности:

	1) sin x x	5) arcsin x x			9) 1−cos x		x2
							2
	2) tg x x	6) arctg x x			10)	sh x x
	3) ex – 1 x	7) ln(1 + x) x			11)	1± x −1 ±			x
									2
	4) ax −1 x ln a	8) loga (1+ x)	x		12)	(1 + x)α −1 αx
			ln a

!Указанные эквивалентности являются следствиями соответствующих предельных соотношений:

sin x →1,					ax −1	= →ln a				,
x	x→0
					x				x→0
tg x →1,					(1+ x)a −1				= →a ,
x	x→0				x
									x→0
loga (1+ x) = →			1	,	1+ x −1			= →		1	.
	x	x→0	ln a		x					2
									x→0

Пример:

Вычислить предел lim (1 + sin x)1 x .
	x →0
При x → 0 применим sinx x.
lim (1 + sin x)1 x = lim (1 + x)1 x = e.
x →0	x →0

Пример:

Вычислить lim ln(1 + sin x) .
x→0	sin 4x

При x → 0 применим эквивалентность sinx x, sin4x 4x.

134

Лекции 12 – 13

lim

ln(1 + sin x)

= lim

ln(1 + x)

=

1

lim

ln(1 + x)

=

1

1 =

1

.

x→0

sin 4x

x→0

4x

4 x→0

x

4

4

Пример:

Вычислить lim

1 + cosπ x

.

x →1

tg2π x

Заменим t = x - 1. Получаем t → 0 и x = t + 1, тогда cos πx = cosπ(t + 1) =

= cos (πt + π) = -cosπt, tg2πx = tg2π(t + 1) = tg2(πt + π) = tg2πt.

2 sin2 πt

πt 2

1

+ cosπ x

0

1

− cosπt

2

2 2 =

lim

=

= lim

= lim

= 2 lim

2

2

2

x→1

tg

π x

0

t →0

tg πt

t →0

tg πt

t →0

(πt)

= 2 lim

π2t2

4

=

2 lim

1

=

1

.

π2t2

t →0

t →0

4 2

13.1. Непрерывность функции

13.1.1. Непрерывность функции в точке

О		Пусть функция	y = f (x)	определена на множестве D и пусть точка
		x0 D . Функция	y = f (x)	называется непрерывной в точке x0 , если
		функция определена в точке x0 , существует предел lim f (x) и при этом
					x→x0
		lim f (x) = f (x0 ). (Иначе: 1) f (x0 ) , 2) lim f (x) , 3) lim f (x) = f (x0 ) ).
		x→x0		x→x0	x→x0

!1). При нарушении любого из трех условий функция называется разрывной в точке x0 .

2). Поскольку lim x = x0 , поэтому первое определение непрерывности
x→x0		)
может быть записано в виде lim f (x) = f	lim(x)		, то есть операция вы-
x→x0	(x→x0

числения непрерывной в точке x0 функции y = f (x) и операция вычисления предела перестановочны.

Пример:

1)	f (x) = x , x	lim f (x) = lim x = x = f (x ) .
	0	x→x	x→x	0	0
		0	0
f (x) = x - непрерывна в любой точке					x0 по опре-

делению.
2) f (x) =		2	, x < 0,		1
	x
	1, x ≥ 0.
f (x) непрерывна в любой точкеx0				≠ 0 ,	0

Замечательные пределы. Непрерывность функции

135

f (x) разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

Рассмотрим точку x0 D функции y = f (x) и точку x ≠ x0 .

Величина ∆x = x − x0 называется приращением аргумента, x = x0 +∆x .

Величина ∆ y = f (x0 + ∆x)− f (x0 ) называется приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента ∆x .

О Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция

определена в точке x0 и при этом lim ∆y = 0.

∆x→0

Вариант формулировки: функция непрерывна в точке, если беско-

нечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

Пример:

Показать, что первое и второе определения непрерывности равносильны. Используя арифметические свойства предела, получаем

			lim ∆y = 0, lim		[f (x0 + ∆x) − f (x0 )]= 0,
			∆x→0	∆x→0
			lim f (x0	+ ∆x) − lim		f (x0 ) = 0,		lim	f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 0.
			∆x→0		∆x→0			∆x→0
	По определению приращения ∆x = x − x0 , поэтому
					lim	f (x0	+ ∆x) = lim f (x),
					∆x→0			x→	х0
	и тем самым lim			f (x) − f (x0 ) = 0			или	lim	f (x) = f (x0 ).
			x→x0					x→x0
	Функция	y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция
О
	определена в		точке	x0 ,	существуют				односторонние пределы
	lim f (x),	lim	f (x) и при этом			lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) .
	x→x0 −0	x→x0 +0				x→x0 −0		x→x0 +0

!Все три определения непрерывности равносильны. Используется также понятие односторонней непрерывности.

ОФункция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел

lim f (x) и при этом	lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0	x→x0 −0

ОФункция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел

lim f (x) и при этом	lim	f (x) = f (x )	.
	x→x +0	0
x→x +0	0
0

136	Лекции 12 – 13

!Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что

функция непрерывна в точке x0 , если она непрерывна в ней справа и слева.

13.1.2. Непрерывность функций на множестве

ОФункция, непрерывная в любой точке множества D , называется не-

прерывной на множестве D .

Для некоторых точек множества двусторонние пределы могут не суще-

ствовать, например, если в качестве множества D рассматривается отрезок [a,b]. В этом случае в крайних точках отрезка двусторонние пределы заменяются на односторонние.

ОФункция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна на интервале (a,b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций

Основными элементарными функциями обычно называют следующие: y = xα , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x, arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x.

ТОсновные элементарные функции непрерывны в каждой точке x0 их области определения.

Пример:

Показать, что функция y = x2 непрерывна в произвольной точке					x	веще-
					0
ственной оси.
∆y = (x0 + ∆x)2 – x02 = x02 + 2x0 ∆x + ∆x2 – x02 = 2x0 ∆x + ∆x2.
lim ∆y = lim (2x0 ∆x + ∆x2 )= 2x0		lim ∆x + lim ∆x lim ∆x = 2x0 0 + 0 0 = 0.
∆x→0	∆x→0	∆x→0	∆x→0	∆x→0

!Непрерывность функции y = xn в произвольной точке x0 вещественной оси доказывается с использованием формулы бинома Ньютона.

Пример:

Показать, что функция f (x) = sin x		непрерывна в произвольной точке x0
вещественной оси.
Докажем, что:
1) lim sin x = 0 . {xn } → +0		(x > 0) .
x→+0
По лемме 0 < sin xn < xn	при n → ∞ , по теореме о переходе к пределу в
неравенствах lim sin xn	= 0 . lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в
n→∞	x→0+

Замечательные пределы. Непрерывность функции

137

точке x = 0 справа. Пусть {xn} → −0 . Заменим x на (−x), (−x) > 0 .

Тогда выполняется условие: 0 < sin(−x) < (−x) , 0 < −sin x < (−x) .

Умножим

неравенство

на

(-1).

Тогда

0 > sin x > x .

Рассмотрим

(xn < 0) ,

xn < sin xn < 0

lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в

точке x =0 слева.

x→0−

2) точки x = x0 ≠ 0 .

Покажем,

что lim sin x =sin x0 ,

то есть

lim(sin x −sin x0 ) = 0 .

x→x0

x→x0

sin x −sin x

= 2 cos

x + x0

sin

x − x0

.

0

2

2

x + x0

lim (sin x −sin x0 ) = 2 lim (cos

x + x0

sin

x − x0

) = 0

(так как

cos

-

2

x→x0

x→x0

2

2

величина ограниченная,

sin

x − x0

- бесконечно малая и →0 ) и все

2

произведение →0 .

Пример:

Вычислить предел: lim sin x.

x→π4

Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому

					π				2
	lim sin x = sin lim x									.
					= sin			=
						4			2
	x→π	x→π
	4		4

13.1.4. Свойства непрерывных функций

ТЕсли функции y = f (x) и y =ϕ(x) определены на множестве D и непрерывны в точке x0 D , то функции

+ϕ ϕ )(x), k f (x),f (x) (x),f (x) f (x

ϕ(x)

непрерывны в точке x0 , причем частное требует условия ϕ(x0 )≠ 0 . Поскольку функции непрерывны в точке x0 , выполняется условие:

	lim f (x) = f (x0 ),		limϕ (x) =ϕ (x0 ).
	x→x0		x→x0
Используя арифметические свойства предела, получаем:
lim	( f (x) +ϕ (x))= lim f (x) + limϕ (x) = f (x0 ) +ϕ (x0 ),
x→x0		x→x0	x→x0
но это и означает, что функция		f (x)+ϕ(x) непрерывна в точке x0 .

138	Лекции 12 – 13

С1). Многочлен Pn(x) = anxn + … +a1x + a0 непрерывен в любой точке x0 вещественной оси.

	2). Дробно-рациональная функция R(x) =	P (x)	=	a xn +... + a x + a			не-
		n		n	1	0
		Q (x)
				b xm +... + b x + b
		m		m	1	0

прерывна в любой точке x0 вещественной оси, где Qm(x0) ≠ 0.

ТЕсли функция y = f (x) непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

ТОб устойчивости знака непрерывных функций.

Если f (x)

- непрерывна

в точке

x0

и

f (x0 ) ≠ 0 ,

то

такая δ -

окрестность

точки x0 , что

для всех

значений x из этой окрестности

f (x) ≠ 0 и имеет знак, совпадающий со знаком f (x0 ) .

Доказательство:

По условию, lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Таким образом, ε > 0 δ :

x − x0

<δ

f (x) − f (x0 )

<ε ,

то есть, f (x0 ) −ε < f (x) < f (x0 ) +ε .

Если взять ε : ε <

f (x0 )

, то числа f (x0 ) −ε ,

f (x0 ) +ε

и

f (x0 ) должны

иметь одинаковый знак. Таким образом, для ε < f (x0 ) , f (x) из ε - окрестности имеет один знак с f (x0 ) .

13.1.5. Непрерывность обратной функции

ТЕсли:

1)y = f (x) - строго монотонная, непрерывная на [a,b],

2)α = f (a), β = f (b) , то x = f −1 ( y) - строго монотонная, непрерывная на [α, β].

Пример:

y =sin x , на	−	π	,	π	- строго монотонна и непре-
		2		2

рывна имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию x = arcsin y на [−1,1].

После переобозначения y = arcsin x .

13.1.6. Непрерывность сложной функции

ОФункции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными:

	Замечательные пределы. Непрерывность функции				139
		Пусть: 1) x =ϕ(t) задана на {t} и имеет	множество	значений	{x};
	О
		2) y = f (x) задана на {x}.
		Тогда на {t} задана сложная функция	y = f (x) , где	x =ϕ(t)	или

y = F(t) = f [ϕ(t)], x - промежуточный аргумент, t - независимая переменная.

Пример:

y =sin x , x = t2 , y = sin t2 - сложная функция.

ТНепрерывность сложной функции.

Если: 1) x =ϕ(t) непрерывна в точке t = a ,

2)y = f (x) непрерывна в точке x =b =ϕ(a) ,

то y = f [ϕ(t)] непрерывна в точке t = a .

Доказательство:
Используя определение предела по Гейне, докажем, что
				lim f [ϕ(t)]= f [ϕ(a)]= f (b) .
{ n}			{	t→a
		→ a		n }
t			ϕ(t	) →ϕ(a) = b (доказано условие 1)),
xn =ϕ(tn ) , то есть {xn} →b , { f (xn )} → f (b) (доказано условие 2)),
но	f (xn ) = f [ϕ(tn )], то есть {tn} → a , {f [ϕ(tn )]}→ f [ϕ(a)] f [ϕ(t)] -

непрерывна в точке t = a , что и требовалось доказать.

!1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения,

вычитания, умножения, деления (если знаменатель ≠ 0 ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции.

2).	Для непрерывной в точке x0 функции f (x) справедливо:
lim f (x) = f (x0 ) = f (lim x) .
x→x0	x→x0

Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций:

а) б)

lim ex	2	lim x2	= e25 ,
		= ex→5
x→5

lim ln(1 + sin x) = ln(lim(1 + sin x)) = ln(1 + 0) = 0 .
x→0	x→0

140

Лекции 12 – 13

13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если f (x) непрерывна на

[a,b], то она

ограничена на этом отрезке

Т

( M и m : m ≤ f (x) ≤ M x [a,b]).

Пример:

π

f (x) = sin x, 0,

2

,

1

m = −1, m = −5, m

= 0,

0

π

M = 2, M = 3,

M =1,

2

m = inf {f (x)}= 0, M = sup{f (x)}=1,

!Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.

Пример:

f (x) = 1x непрерывна на интервале (0, 1), то есть

x , 0 < x <1. f (x) - не ограничена.

01

ТЕсли f (x) непрерывна на [a,b], то она достигает на нем своих точной

верхней и точной нижней граней

( x1 [a, b]: f (x1 ) = M , x2 [a, b]: f (x2 ) = m ).

Доказательство:

От противного: если нет точки

x1 f (x) < M

x

f (x) − M

< 0 или

− f (x) > 0 .

M

1

, F(x) - непрерывна на [a,b] (по теореме о

Рассмотрим F(x) =

M

− f (x)

непрерывности сложной функции).

[a,b],

Из непрерывности F(x) следует ее ограниченность на

F(x) =

1

−

1

,

≤ B f (x) ≤ M

1

M − f (x)

B

−

- неточная верхняя грань. Полученное

M

- верхняя грань, тогда M

B

противоречие доказывает теорему.

Замечательные пределы. Непрерывность функции

141

Пример:

π

π

) =1 .

1)

= 0,

M = f (

f (x) = sin x , x 0,

2

m = f (0)

2

2)

f (x) =

x

, x [−1,1].

=1 .

m = 0, M

!1). Для интервалов (a,b) и полуинтервалов [a,b) или (a,b] теорема не справедлива.

Пример:

y = x, (0,1) .

Значения m = 0 и M =1 - не достигаются на x (0,1) .

2). Для f (x) , непрерывной на [a,b], m и M можно назвать наименьшим и наибольшим значениями функции:

max f (x) = M ,min f (x) = m.

ТЕсли функция y = f (x) непрерывна на [a,b] и имеет на концах отрезка значения f (a) и f (b) разных знаков, то найдется точка ξ (a,b) такая, что f (ξ) = 0.

Доказательство:
Пусть f (a) < 0, f (b) > 0 . Рассмотрим {x}: f (x) < 0 , {x}	- ограничено
сверху, например, числом b sup{x} =ξ . Покажем, что	f (ξ) = 0.

Если бы f (ξ) =C > 0 , тогда по теореме о сохранении знака непрерывной

функции существовала бы δ -окрестность точки ξ : x (ξ −δ,ξ +δ) f (x) > 0 , но тогда бы ξ не являлась бы точной

верхней гранью sup{x}, где f (x) < 0 . Аналогично для f (ξ) =C < 0 остается f (ξ) = 0, что и требовалось доказать.

ТТеорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= f (x) - непрерывна на [a,b], имеет на

концах отрезка значения f (a) = A, f (b) = B и число С расположено между числами А и В : A < C < B , то найдется точка ξ (a,b) такая, что f (ξ) =C .

142	Лекции 12 – 13
Доказательство:
Рассмотрим:	C : A <C < B, F(x) = f (x) −C F(a) < 0, F(b) > 0. F(x) -
непрерывна	на [a,b]. По предыдущей теореме ξ (a,b) ,

F(ξ) = 0 f (ξ) −C = 0 f (ξ) =C , что и требовалось доказать.

!Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида F(x) = 0 методом половинного деления отрезка.

Пример:

Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0?

Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных функций.

f(0) =1>0, f(2π) = -2π + 1 < 0. Следовательно, внутри отрезка [0, 2π] имеется, по крайней мере, один корень исходного уравнения.

Пример:

	Принимает ли функция	f (x) =	x3	−sin π x +3 значение 2	1	внутри отрез-
			4		3

ка [-2, 2]?

Функция является непрерывной на [-2, 2]. На концах отрезка функция принимает числовые значения f(-2) = 1, f(2) = 5.

Так как 1 < 2	1	< 5,	то ξ (-2, 2) такая, что	f (ξ) = 2	1 .
	3				3

13.2. Точки разрыва и их классификация

Точка x0, в которой функция y = f(x) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции.

Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности.

О	Если	односторонние	пределы	существуют,	причем
	lim	f (x) = lim f (x), а функция y = f(x) не определена в точке x0, или
	x→x0 −0	x→x0 +0

lim f (x) ≠ f (x0 ), то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

x→x0

!Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

	f (x),		x ≠ x ,
f1			0
	(x) = lim f (x), x = x .
		0	0
	x→x

Замечательные пределы. Непрерывность функции								143
Пример:
			2	−4 , x ≠ 2,
		x
5		f (x) = x		−2
				x = 2.
		5,
4		Точка x = 2 - точка устранимого разрыва, посколь-
2		ку lim f (x) = lim			f (x) = 4 ,		f (2) =5 ≠ 4 .
		x→2+0		x→2−0
0	2					2	−4	, x ≠ 2,
		Устраним разрыв:			x
					f1 (x) = x		−2
								x = 2.
					4
Функция	f1 (x) непрерывна всюду.

ОЕсли: 1) x0 – точка разрыва f (x) ,

2)существуют конечные пределы справа и слева:

	lim		f (x), lim f (x) ,
	x→x0	+0	x→x0	−0
3) lim f (x) ≠	lim	f (x),
x→x0 +0	x→x0 −0

то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый конечный скачок).

Пример:

y = f (x) = 1 1 , x = 0 - точка разрыва f (x) .

1+2x

							x → +0,											x → −0,
lim		1			=		1			→ +∞,	= 0 . lim		1			=		1			→ −∞, =1.
			1				x							1				x
x→0+0											x→0−0
1		+ 2x				1				→ +∞.	1		+ 2 x				1				→ 0.
						2		x									2		x

x= 0 - точка разрыва первого рода.

ОЕсли хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода.

144	Лекции 12 – 13

Пример:

	f (x) =	1	, x = 0 -	точка разрыва 2-го рода; так
		x	f (x) = +∞ ,		f (x) = −∞.
	как lim			lim
0	x→0+			x→0−
	.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

методы практического вычисления пределов;

замечательные пределы;

эквивалентные бесконечно малые;

различные определения непрерывности;

свойства непрерывных функций;

классификацию точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Целью этого раздела является исследование поведения функции y = y( x) в окрестности точки x по ее числовым характеристикам в самой этой точке.

Лекции 14 - 15 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

В лекциях 14 – 15 излагаются основные понятия дифференциального исчисления – понятия производной и дифференциала, рассматривается их геометрический и механический смысл. Выведены правила и формулы дифференцирования, указаны методы вычисления производных для различных способов задания функций. Показано практическое применение дифференциала в приближенных вычислениях.

14.1.Производная функции.

14.1.1.Определение производной функции

14.1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции

14.1.3.Механический смысл производной

14.2.Правила и формулы дифференцирования

14.2.1.Производная суммы, разности, произведения и частного функций

14.2.2.Производная обратной функции

14.2.3.Таблица производных

14.2.4.Производная сложной функции

14.2.5.Логарифмическая производная

14.2.6.Производная неявной функции

14.2.7.Производная функции, заданной параметрически

15.1.Производные высших порядков

15.1.1.Определение производной n-го порядка

15.1.2.Правила вычисления производной n-го порядка

15.1.3.Вторая производная от неявной функции

15.1.4.Вторая производная от параметрически заданной функции

15.1.5.Механический смысл второй производной

15.2.Дифференциал функции

15.2.1.Дифференциал независимой переменной

15.2.2.Свойства дифференциалов

15.2.3.Геометрический смысл дифференциала

15.2.4.Применение дифференциала к приближенным вычислениям

15.2.5.Дифференциал сложной функции

15.2.6.Дифференциалы высших порядков

146	Лекции 14 – 15
14.1. Производная функции

14.1.1. Определение производной функции

Пусть y = f (x) определена на (a,b) и x (a,b) - некоторая фиксированная точка, ∆x - приращение аргумента в точке x , ∆y = f (x +∆x) − f (x) - со-

∆y

ответствующее приращение функции, ∆x - отношение приращений (зависит от ∆x , x - фиксировано).

								∆y
О	Производной функции f (x) в точке x		называется			lim			при условии,
						∆x→0		∆x
	что он существует. Обозначение:	y′ = dy	= lim	∆y	= lim			f (x + ∆x) − f (x)		.
				∆x
		dx	∆x→0			∆x→0			∆x

ОФункция f (x) называется дифференцируемой в точке x , если производная y′(x) существует; операция нахождения производной называется

дифференцированием.

ОФункция f (x) называется дифференцируемой на интервале (a,b), ес-

ли она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций.

Пример:

y = sin x, y′ = ?

′	sin(x + ∆x) −sin x	0			= lim
y (x) = lim	∆x	=	0
∆x→0					∆x→0

		∆x		sin	∆x
	cos x +	2			2
= lim						= cos x, т.к. lim
		∆x
∆x→0						∆x→0
		2

(sin x)′ = cos x .

2 cos x + ∆2x sin ∆2x = ∆x

sin ∆x

∆x2 =1 . 2

Пример:

y(x) = loga x, 0 < a ≠1

′

, y (x) =?

x +∆x

∆x

∆y = loga (x +∆x) −loga

x = loga

= loga 1

+

.

x

x

∆x

loga 1+

∆x

1

y′ = lim

x

∆x

= lim loga 1

+

=

∆x

x

∆x→0

∆x→0

Производная и дифференциал

147

1

1

1

∆x

∆x

x x

= loga

+

∆x

+

∆x

=

lim

1

x

= loga lim

1

x

∆x→0

∆x→0

1		1 loga e .
loga ex	=
		x

(loga x)′ = 1x loga e , (ln x)′ = 1x .

Пример:

y = xα ;

y′ = (xα )′ = lim (x + ∆x)α − xα .

∆x→0 ∆x

Без ограничения общности можем считать α натуральным показателем и раскрыть скобку, как бином Ньютона:

lim (x + ∆x)α

− xα

= lim

xα +α xα−1 ∆x +α (α −1)xα−2 ∆x2

+ ... − xα

=

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

= lim α xα−1

∆x + α (α

−1)xα−2 ∆x2

+ ...

= lim α xα−1

+ o(∆x)

=α xα−1 .

∆x

∆x

{

}

∆x→0

∆x→0

14.1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной

инормали к графику функции

Рассмотрим две точки графика функции f (x) : M (x, f (x)) и P(x + ∆x, f (x + ∆x)) . MP -

секущая.

При стремлении ∆x к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки M .

О	Касательной к	графику	функции
	y = f (x) в точке	M (x, f (x))	называется предельное положение секу-

щей при ∆x → 0 ( P → M ).

ОНормалью к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.

ТЕсли функция y = f (x) имеет в точке x производную f ′(x) , то график функции в точке M (x, f (x)) имеет касательную с угловым коэффициентом f ′(x) .

148								Лекции 14 – 15
Доказательство:			∆y
Пусть		tgϕ(∆x) =		и	∆x →0 .	Так	как	существует
	∆y		∆x
lim		′			1) существует предельное положение
	∆x	= f (x) = lim tgϕ(∆x) , то:
∆x→0		∆x→0

секущей, то есть касательная; 2) угловой коэффициент касательной равен f ′(x) .

С1). Значение y′(x0 ) позволяет записать уравнение касательной к кри-

	вой y = y(x) в точке x0 :
	y − y0 = y′(x0 ) (x − x0 ).
	2). Поскольку условие	перпендикулярности прямых: k1 k2 = −1, то
	уравнение нормали имеет вид:
	y =	f (x0 ) +	−1	(x − x0 ) .
			f ′(x0 )

3). При y′(x)> 0 в точке x функция является возрастающей, а при y′(x)< 0 – убывающей.

14.1.3. Механический смысл производной

		Рассмотрим движение точки по прямой. S = f (t)								- перемещение точки в
	момент времени t ,						′	f (t + ∆t) − f (t)	-	мгновенная скорость в
						V = f (t) = lim
								∆t
	момент времени t .						∆t→0
		Пример:
				S (t )=	gt2		, V (t) =S '(t )= gt .
						2

14.2. Правила и формулы дифференцирования

14.2.1.Производная суммы, разности, произведения и частного функций

1)(c)′ = 0 , c = const ;

2)( f (x) ± g(x))′ = f ′(x) ± g′(x) ;

3)(c f (x))′ = c f ′(x) ;

4)( f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + g′(x) f (x) ;

	f (x)	′		′		′
5)			=	f (x)g(x) − g (x) f (x)			.
	g(x)			g	2	(x)

Производная и дифференциал

149

Доказательство правила 2:

lim ( f + ∆f )+(g + ∆g )−( f + g )

=

∆x→0

∆x

= lim

f + ∆f − f

+ lim

g +∆g − g

=

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

= lim

∆f

+ lim

∆g

= f + g

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

.

Пример:

′

1

y = 3sin x +5log2 x −10 ,

= 3cos x +5 x log2 e .

y

14.2.2. Производная обратной функции

ТПусть f (x)

1)строго монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 ,

2)функция дифференцируема в точке x0 и f ′(x0 ) ≠ 0 , тогда:

1)существует производная обратной функции в точке x0 : (f −1( y))′;

2)(f −1( y))′y=y0 = f ′(1x0 ) .

Доказательство:

Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной обратной функции x = f −1 ( y) . Рассмотрим x = f −1 ( y) в окрестности точки y0 = f (x0 ) . Зададим приращение аргументу ∆y ; ему соответствует

приращение функции ∆x и ∆∆yx = ∆1y (*).

∆x

Из строгой монотонности f −1 ( y) при ∆y ≠ 0 следует, что ∆x ≠ 0 . Устре-

мим ∆y →0 , из непрерывности				x = f −1 ( y) ∆x → 0 . Но при ∆x → 0 ,
∆y → f ′(x0 ) , следовательно,	∆x			→		1	.
	∆y				f ′(x0 )
∆x				1
Таким образом, (f −1( y))′y=y0	=					.
		f	′(x0 )

150											Лекции 14 – 15
Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементар-
ных функций.
1) y = ax , (ax )′ = ? a > 0, a ≠ 0							. x = loga y ;
(ax )′ =	1	=			1		=	y	=	ax	= ax ln a ;
	′			1				loga e		loga e
	(loga y)			y	loga e

(ax )′ = ax ln a , (ex )′ = ex .

2)y = arcsin x , (arcsin x)′ = ? x = sin y ,

(arcsin x)′ =

1

=

1

=

1

=

1

;

(sin y)′

cos y

1 −sin2 y

1 − x2

(arcsin x)′ =

1

.

1 − x2

3) (arccos x)′ = −

1

.

1 − x2

1

4) y = arctg x, (arctg x)′ =?

x = tg y , (tg y)′ =

;

cos2 y

(arctg x)′ =

1

= cos

2

y =

1

=

1

;

(tg y)′

1 + tg2 y

1 + x2

(arctg x)′ =1+1x2 .

5)(arcctg x)′ = −1+1x2 .

14.2.3. Таблица производных

Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования.

1.(xα )′ =α xα−1 .

2.(ax )′ = ax ln a (a > 0, a ≠1) (ex )′ = ex .

3.	(loga x)′ = loga e	1	(a > 0,a ≠1) (ln x)′ =	1 .
	(sin x)′ = cos x .	x		x
4.
5.	(cos x)′ = −sin x .

Производная и дифференциал

151

6.(tgx)′ = cos12 x .

7.(ctgx)′ = −sin12 x .

8.	(arcsin x)′ =			1	.
	1			− x2
9.	(arccos x)′ = −			1		.
				1 − x2

10.(arctgx)′ = 1 +1x2 .

11.(arcctgx)′ = −1 +1x2 .

12.(shx)′ = chx .

13.(chx)′ =shx .

14.(thx)′ = ch12 x

15.(cthx)′ = sh12 x

Гиперболический синус shx = ex −2e−x .

Гиперболический косинус chx = ex +2e−x .

Гиперболический тангенс	thx = shx .
	chx

= chx

Гиперболический котангенс cthx shx .

14.2.4. Производная сложной функции

Т

Если:

1) y = f [ϕ(t)]

- сложная функция, t- независимая переменная,

ϕ -

промежуточный

аргумент;

2) существуют

f ′(x ) и

ϕ′(t0 ) , где

0

x0 =ϕ(t0 ) , то {f [ϕ(t)]}′ = f ′(x0 ) ϕ′(t0 ) .

Доказательство:

Рассмотрим:

t0 +∆t ∆x =ϕ(t0 +∆t) −ϕ(t0 ) , ∆x ∆y = f (x0 +∆x) − f (x0 ).

Пусть ∆t →0 , тогда lim

∆x

(см. условие f ′(x0 ) = y′(x0 ) ).

Вычислим:

∆t→0

∆t

lim

∆y

= lim

∆y

∆x = lim

∆y

lim

∆x = f ′(x0 ) ϕ′(t0 ) ,

что и

требовалось

∆t→0

∆t

∆t→0

∆x

∆t

∆t→0

∆x

∆t→0

∆t

доказать.

!Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y = f (u), u =ϕ(x) , тогда

152

Лекции 14 – 15

y

′ = y

′u ′. Например,

y = earctg x ;

y = eu , u = arctg x, y

′

= ? Решение:

x

u

x

1

x

1

y ′

= eu , u

′

=

,

y ′ = earctg x

2

2 .

u

x

1 + x

x

1

+ x

14.2.5. Логарифмическая производная

При вычислении производной некоторого выражения полезно предвари-

тельное логарифмирование этого выражения.

Рассмотрим функцию y = f (x), y′ = ?

ln y = ln f (x), [ln y]x′ =

1

y′;

y′

- называется логарифмической производной.

y

Отсюда y′ = y [ln y]′.

y

Пример:

1) y = xα , α ≠ 0, y′ = ?

ln y =α ln x,

y′

=α

1 .

y

x

1

xα

α

′

α−1

y′

=

y α

x , y′ =α

, (x

)

=α x

.

x

2)

y = (sin x)x2

, y′ = ? ln y = x2 ln(sin x) ,

y′

= 2x ln(sin x) + x2

1

cos x .

y

sin x

{

}

′

2

x2

y

=

2x ln(sin x) + x

ctg x (sin ) .

Пример:

В общем случае для степенно-показательных выражений.

y = f (x)ϕ( x) ln y =ϕ( x) ln f ( x) .

	y′ = f (x)ϕ( x) ϕ′(x) ln f (x) +ϕ( x)	f ′(x)	.
		f (x)

Пример:

Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей.

1). y = sin x cos x x, y′ = ? ln y = ln sin x +ln cos x +ln x .

	y′		cos x		−sin x		1		1
		=		+		+		y′ = sin x cos x x ctg x − tg x +
	y		sin x		cos x		x
									x

Производная и дифференциал																								153
	2). y = 5 x3 (x −1)7														, y′ = ?
									x + 6
	ln y =		1		3ln x + 7ln										(x −1)					− ln (x + 6) ;
			5
		′				1				3			7						1
	(ln y)		=								+						−						;
						5							x −1						x +
								x												6
	y′ =	1	3							7					1						x3 (x −1)7
						+							−						5					.
		5							x −1					x	+ 6								x + 6
			6

14.2.6. Производная неявной функции

Пусть уравнение F

(x, y (x))= 0 задает неявно функцию y = y(x).

Для

вычисления

y′(x)

нужно

продифференцировать

тождество

F (x, y) = 0 по переменной

x , рассматривая функцию F (x, y (x))

как слож-

ную

функцию

аргумента

x , а

затем

полученное

уравнение

F1

(x, y (x), y′(x))= 0 разрешить относительно y′(x).

Пример:

x2 y2

′

a2 + b2 =1, y

= ? ( y > 0) .

Решение:

Первый способ. Выразим явно y из уравнения:

y = ± b

a2

− x2

. Так как y > 0 ,

y = b

a2 − x2

,

a

1

a

b

1

b

x

2

y′ =

(a2

− x2 )−2 (

−2x)= −

= − b2

x

.

a 2

a

a2 − x2

a

y

Второй способ.

Продифференцируем выражение

x2

+

y2

=1 по пере-

a2

b2

менной x :

2x

+

2 y

y′ = 0 , откуда y′ = −

b2

x

a2

b2

.

a2

y

!Выражение для производной y′(x) может зависеть как от x , так и от y .

14.2.7. Производная функции, заданной параметрически

154		Лекции 14 – 15
Пусть функция	x = x(t)	.
	y = y(x)задана параметрически:
	y = y(t)

ТЕсли: 1) x(t), y(t) - дифференцируемы, 2) x = x(t) имеет обратную функ-

′

′

′

y

′

t

yx

=

.

цию t = t(x), t (x) , 3)

x (t) ≠ 0 , то

x

′

Доказательство:

t

y = y(t), t =t(x) . Рассматривая t как промежуточ-

Рассмотрим функции:

ный аргумент, можно считать, что

y

- сложная функция x . Тогда

y

′ = y

′ t

′, t ′ =

1

y ′ =

yt′

.

x

t

x

x

x ′

x

x ′

t

t

Пример:

x = t2 , y = t3 , yx′ = ?

Решение: xt′ = 2t, yt′ = 3t2 , yx′ = 3t2 = 3 t . 2t 2

15.1. Производные высших порядков

15.1.1. Определение производной n-го порядка

ОПроизводной второго порядка от функции y = f (x) называется произ-

водная от ее первой производной. Обозначение: f ′′(x) =( f ′(x))′.

Производной n -го порядка (или n–й производной) называется произ-

водная первого порядка от производной (n −1)-го порядка.:

f (n) (x) = (f (n−1) (x))′.Также используют обозначение y(n) (x) = d n y . dxn

Пример:

1)y = sin x, y′ = cos x, y′′ = −sin x, y′′′ = −cos x .

2)y = xn , y′ = nxn−1, y′′ = n(n −1)xn−2 ,…, y(n) = n!, y(n+1) = 0 .

15.1.2.Правила вычисления производной n-го порядка

1.[f (x) + g(x)](n) = f (n) (x) + g(n) (x) .

2.Формула Лейбница (производная произведения):

Производная и дифференциал

155

n

[f (x) g(x)](n) = ∑Cnk f (n−k )

k =0

из n по k , k! (читается k ных k , причем (k +1)! = (k

	(x) g(k ) (x) , где Cnk =	n!		- число сочетаний
		k!(n − k)!

- факториал) определен для целых неотрицатель-

+1) k!, 0! =1! =1.

Пример:

Найти n–ю производную от функции y = eax x2 . Решение:

y = f (x) g(x); где

f (x) = eax ; g(x) = x2

f (x) = eax ;

g(x) = x2 ;

f

′

ax

;

′

x;

(x) = a e

g (x) = 2

f

′′

2

e

ax

;

′′

(x) = a

g (x) = 2;

g

′′′

(x) = 0;

f (n) (x) = an eax ;

g(n) (x) = 0.

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена.

Вычисляем коэффициенты:

k =

0 → Cn0 =

n!

=1;

n!

n!

k =

1 → Cn1 =

= n;

1!(n −1)!

k =

2 → Cn2 =

n!

=

n(n −1)

;

2!(n − 2)!

2

y(n) (x) = an eax x2 + nan−1eax 2x + n(n −1) an−2 eax 2.

2

15.1.3. Вторая производная от неявной функции

Рассмотрим

неявную

функцию

y = y (x),

определяемую

уравнением

F(x, y) = 0 . Для

отыскания

второй

производной

соотношение

F(x, y) = 0

дифференцируем два раза по переменной x , считая

y

функцией x , и выра-

жаем y′′ как функцию y и x .

Пример:

x2 + y2 =1, y′′ = ?

2x + 2 y y

′

y

′

2x

x

′

′

+ 2 y y

′′

= 0 ,

= 0,

= −

2 y = − y , 2 +

2 y

y

y

′′

1 +(y′)2

y2

+ x2

= −

= −

y

y3 .

156	Лекции 14 – 15

15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции

x = x(t)

Рассмотрим

y = y(t)

′ ′

(y′x )′

или

′′

y′

′

′

1

y

′′x

′ − x

′′y ′

1

.

′′

t

t

tt

t

tt

t

x =

=

=

2

yxx = (yx ) x =

yxx =

tx

(xt′)

xt′

xt′

xt′

xt′

Таким образом,

yxx′′ =

y

′′x ′ −

x

′′y ′

.

tt t

tt t

(xt′)3

15.1.5. Механический смысл второй производной

Пусть

S = f (t)

- закон

движения

тела, движущегося поступательно.

Скорость тела V (t ) в данный момент времени:

V (t )= f ′(t) . Если движение

неравномерно, то для приращения времени ∆t

приращение скорости состав-

ляет∆V .

Тогда

∆V

- среднее ускорение тела за промежуток времени ∆t . При ∆t → 0

∆t

получим ускорение в данный момент времени t :

a

= lim

∆V

=V ′(t) .

∆t

a(t )=

f ′′(t)

∆t→0

Таким образом,

-

ускорение прямолинейного движения равно

второй производной от перемещения по времени.

15.2. Дифференциал функции

15.2.1. Правила вычисления производной n-го порядка

x (a,b)

Если

функция y = f (x)

-

дифференцируема на

(a,b), то

lim

∆y

′

∆y

при

∆x → 0 стремится к числу f

′

∆x

= f (x) . Отношение

∆x

(x) , следо-

∆x→0

∆y

вательно,

отличается

от f

′

на

бесконечно малую α (x):

∆x

(x)

∆y

′

(x)=

′

∆x

= f (x) +α(x), причем lim α

0 , или ∆y = f (x) ∆x +α(x) ∆x .

∆x→0

Рассмотрим

′

f

′

′

бесконечно

f (x)∆x . В общем случае

(x) ≠ 0 ,

f (x)∆x -

малая величина первого порядка относительно ∆x при ∆x → 0 .

	Производная и дифференциал		157
	Поскольку lim	α (x) ∆x	= lim α (x)= 0 , тоα (x) ∆x - бесконечно малая вели-
		∆x
	∆x→0		∆x→0

чина более высокого порядка, чем ∆x .

ОГлавная, линейная по ∆x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy = f ′(x) ∆x .

!Главная часть, потому что α(x) ∆x - бесконечно малая более высокого

порядка малости, чем ∆x . Линейная, потому что дифференциал зависит от ∆x в первой степени.

15.2.2. Дифференциал независимой переменной

Пусть y = x . Тогда ∆y = ∆x, y′ = (x)′ =1, dy = dx = ∆x .

Вывод: дифференциал независимой	переменной равен ее приращению,
′	′

dx = ∆x . В общем случае: dy = f (x)∆x = f (x)dx .

dy = f ′(x)dx .

СПроизводная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (так называемые обо-

значения Лейбница): f ′(x) = dydx

15.2.3. Свойства дифференциалов

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy = y′(x) dx , то справедливы обычные правила дифференцирования.

1.d (c)= 0 ;

2.d (u ± v)= du ± dv;d (u ± c)= du ;

3.d (uv)= udv + vdu;d (uc)= cdu ;

4.	u	=	vdu −udv		.
	d		v	2
	v

15.2.4. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y = f (x) . Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют:

′	′	, MT - ка-
M (x, y), M (x + ∆x, y + ∆y) , ∆y = NM

сательная в точке M .

Рассмотрим ∆MNT :

MN = ∆x, NT = ∆x tgϕ , NT = ∆x f ′(x) , dy = NT .

158	Лекции 14 – 15
Дифференциал функции y = f (x) в точке	x есть приращение ординаты каса-
тельной к графику функции в точке x .

15.2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Метод основан на замене приращения функции ∆y = f (x + ∆x)− f (x) приближенно дифференциалом этой функции: ∆y dy = f ′(x)dx .

Это возможно, так как ∆y и dy отличаются на бесконечно малую вели-

	чину o(∆x). lim	∆y	=1 + lim	α∆x	=1 + lim	α	=1.
		dy		f (x)∆x		f (x)
	∆x→0		∆x→0		∆x→0
				′		′

Основные рабочие формулы:

x = x0 + ∆x ,

f (x) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + dy , f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x .

Геометрический смысл: истинная функция на отрезке [x0 , x0 ется линейной функцией, график которой – касательная в точке

+ ∆x] заменя-

(x0 , f (x0 )).

Пример:

Вычислить приближенно 4 15,8 . Решение:

Пусть y = 4 x , x0 =16 . Тогда y(16)= 4 16 = 2 ;

y = (15,8)= y(16)+ ∆y ; заменим ∆y ≈ dy = y′(x)∆x ;

∆x =16 −15,8 = −0,2 ;

y′(x)= x 14 ′ = 14 x 14−1 = 14 x−3 4 ; y′(16)= 14 16−34 = 418 = 321 .

Тогда y(15,8)= 2 + 321 (− 0,2)= 2 − 0,0062 =1,9938 .

Пример:

Вычислить приближенно значение объема V шара радиусом r =1,02 м. Решение:

Так как V (r)=	4	π r 3	, то, полагая r0 =1 , ∆r = 0,02	, V ′(r )= 4πr2	и ис-
	3

пользуя формулу для ∆V , получаем:

V (1,02) =V (1)+∆V ≈V (1)+V ′(1) 0,02 = 43 π + 4π 0,02 4, 44 м3.

Производная и дифференциал

159

15.2.6. Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = f [ϕ(x)], Пусть u – промежуточный аргумент: y = f (u), u =ϕ(x) . yx′ = fu′ ux′ умножим это равенство на dx :

yx′dx = fu′ ux′ dx , dy = fu′du .

Сравнение с dy = fx′dx показывает, что дифференциал функции сохраняет

свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

15.2.7. Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f (x) - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′(x)∆x = f ′(x)dx

также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал.

ОДифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом)

функции f (x) называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном dx .

d 2 f (x) = d (df (x)) = d ( f ′(x)dx) = dx d ( f ′(x)) = dx f ′′(x)dx = f ′′(x) (dx)2 =

′′	2	; d	2	f (x) =	′′	2	.
= f (x)dx					f (x)dx
Аналогично				определяется				дифференциал	порядка	n:
d n f (x) = d (d n−1 f (x)).					Можно показать, что d n f (x) = f (n) (x)dxn .					Здесь

dxn = (dx)n .

!1. Для независимой переменной d 2 x = 0, d 3 x = 0,…

2. В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго диф-

ференциала будет другой, отличной от выражения d 2 f = f ′′(x)dx2 . Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y = f (x),

x = g (t ), t - независимая переменная.

Тогда

d 2 f = d (df )= d ( f ′(x) dx)= d ( f ′(x)) dx + f ′(x) d (dx)=

160	Лекции 14 – 15
	= f ′′(x) dx2 + f ′(x) d 2 x = f ′′(x) (g′(t ))2 dt2 + f ′(x) g′′(t ) dt2 .

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифферен-

циала не инвариантна.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

понятия производной и дифференциала, их геометрический и механический смысл;

правила и формулы дифференцирования;

таблицу производных;

способы вычисления производных от сложных функций;

функций, заданных неявно и параметрически;

таблицу производных;

производные высших порядков и правила их вычисления;

применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Лекция 16 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА.

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В лекции 16 рассмотрены основные теоремы анализа (Ролля, Лагранжа и Коши), широко использующиеся практически во всех разделах анализа. Излагается правило раскрытия неопределенностей Лопиталя – Бернулли, позволяющее вычислять пределы с помощью дифференцирования. Выводится формула Тейлора, которая при достаточно широких предположениях относительно вида функции дает возможность представить ее приближенно в виде многочлена и оценить допускаемую при этом погрешность.

16.1.Основные теоремы анализа.

16.1.1Теорема Ролля (о нуле производной)

16.1.2.Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)

16.1.3.Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)

16.1.4.Правило Лопиталя – Бернулли. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей

16.1.5.Формула Тейлора. Частные случаи формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Оценка остаточного члена. Приложения формул Тейлора и Маклорена

16.1.Основные теоремы анализа

16.1.1. Теорема Ролля (о нуле производной)

ТЕсли: 1) функция f (x) - непрерывна на отрезке [a,b], 2) на интервале (a,b) существует производная f ′(x) , 3) значения функции на концах от-

	резка совпадают,	f (a) = f (b) , то существует точка ξ (a,b)		такая, что
	′
	f (ξ) = 0 .
	Доказательство:	f (x) непрерывна на [a,b],
	Так как функция		то на отрезке существуют
	наибольшее M и наименьшее m значения функции.
	Возможны два случая: 1) M = m и 2) M > m .			′
	Рассмотрим: 1)	M = m , f (x) - постоянная,	следовательно,
				f (x) = 0

x (a,b);

162

Лекция 16

2) M > m ,

следовательно, хотя бы одно из этих значений достигается

внутри [a,b], так как f (a) = f (b) .

Пусть f (ξ) = M , ξ (a,b).

Так как

f (ξ) - наибольшее значение

функции, то f (ξ +

x)− f (ξ )≤ 0 при лю-

бом знаке

x .

f (ξ + x)− f (ξ)

≤ 0,

x > 0 ,

x

f (ξ + x)− f (ξ)

≥ 0, x < 0

,

x

переходя к пределу

x →0 и рассматривая отдельно правый и левый

пределы, получаемlim

f (ξ +

x)− f (ξ )

= f ′(ξ ) ≤ 0 ,

x > 0 ,

x

x→+0

lim

f (ξ +

x)− f (ξ )

= f ′(ξ )≥ 0 ,

x < 0 .

x

x→−0

′

Эти соотношения совместимы, если f

(ξ) = 0 .

Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x .

СТеорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в ноль без ее вычислений.

!Если f (x) такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [a,b], то может не оказаться такой точки ξ , в которой f ′(ξ) об-

ращается в ноль.

Пример:

y = x ,

(y0прав )′ =1,

(y0лев )′ = −1.

y′(0) не существует (по определению).

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

163

16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)

ТЕсли: 1) f (x) - непрерывна на отрезке [a,b], 2) на интервале (a,b) существует производная f ′(x) , то существует, по крайней мере, одна точ-

	ка ξ (a,b) такая, что							′
							f (b)− f (a) = f (ξ) (b −a).
	Доказательство:
	Обозначим			f (b)− f (a)				= Q . Построим F (x)= f (x)− f (a)−Q (x −a).
					b − a
	F (x) обладает следующими свойствами: 1) непрерывна на [a,b],
	2) F′(x) на (a,b), 3) F (a)= F (b)=0 .
	Из теоремы Ролля следует, что существует точка ξ (a,b) такая,								что
	F′(ξ) = 0 , F′(x)=(f (x)− f (a)−Q(x − a))′, F′(x)= f ′(x)−Q = 0, урав-
	нение		f ′(x)−Q = 0				имеет решение x =ξ , т.е. f ′(ξ ) = Q ,		или
	f	′(ξ ) =	f (b)− f (a)			.
				b − a
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
CB	=	f (b)− f (a)			- угловой коэффициент се-
AC
		b − a

кущей AB .

f ′(ξ) - угловой коэффициент касательной к кривой y = f (x) в точке x =ξ . На кривой AB

найдется, по крайней мере, одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB .

!1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или форму-

лой конечных	приращений. Так как		a <ξ <b,	то ξ −a <b −a ,
ξ −a =θ (b −a),	где	0 <θ <1,	откуда	ξ = a +θ(b −a) ,
f (b)− f (a)= f ′ a +θ (b		− a) (b − a).
2). Точек ξ может быть несколько.
3). Если f (a)= f (b), то		f ′(ξ )= 0 , получаем утверждение теоремы Рол-

ля.

4). Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычислений: f (b)− f (a)= f ′ a +θ (b − a) (b − a), где 0 <θ <1. Положим θ = 12 ,

164

Лекция 16

тогда f (b)− f (a)≈ f ′ a +b

(b − a).

Погрешность

тем меньше, чем

ближе b к a .

2

Пример:

arctg1,1 = ?

b =1,1 ; a =1, 0 ;

b −a = 0,1; arctg1,1 ≈ arctg1+0,1 (arctg x)′,

x = 1,1+1,0

= 2,1 .

2

2

(arctg x)′ =

1

;

1

=

2,1 =

1

≈ 0,5 , arctg1,1 ≈

π +0, 05 .

1+ x2

1+ x2

x=

2

2,1

4

16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)

ТЕсли: 1) f (x),ϕ(x) непрерывны на [a,b], 2) на (a,b) существуют про-

изводные f ′(x),ϕ′(x), 3) ϕ′(x)≠ 0 x (a,b), то существует, по край-

ней мере, одна точка ξ (a,b) такая, что	f (b)− f (a)	=	f ′(ξ)	.
	ϕ(b)−ϕ(a)
			ϕ′(ξ)

Доказательство:

ϕ(b)≠ϕ(a), так как иначе, по теореме Ролля, ϕ′(x) обратилась бы в ноль, по крайней мере, в одной точке ξ (a,b).

Рассмотрим вспомогательную функцию:

	F (x)= f (x)− f (a)−	f (b)− f (a)	ϕ(x)−ϕ(a) .
		ϕ(b)−ϕ(a)

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, суще-
ствует точка ξ (a,b) такая, что F′(ξ )= 0 ,
	f (b)− f (a)						f (b)− f (a)
F′(ξ)= f ′(ξ)−			ϕ′(ξ)= 0 , f ′(ξ)=					ϕ′(ξ).
	ϕ(b)−ϕ(a)						ϕ(b)−ϕ(a)
Разделим на ϕ′(ξ ), ϕ′(ξ )≠ 0 , получим
		f (b)− f (a)			f ′(ξ)
				=		.
		ϕ(b)−ϕ(a)			ϕ′(ξ)

!Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора					165
16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли
Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа		0		и		∞
		0
						∞

методами дифференциального исчисления.

Рассмотрим F (x)= ϕf ((xx)), где f (x) и ϕ(x) дифференцируемы в неко-

торой окрестности точки a , исключая, быть может, саму точку a . Если при
x → a		f	(x)		и ϕ(x) → 0			(∞), функция F (x) имеет в точке a неопределен-
ность		0		или			∞
		0					.
							∞

Вычислить lim F (x) поможет следующая теорема (правило Лопиталя).

x→a

ТПравило Лопиталя. Если: 1) f (x), ϕ(x) - непрерывны на [a,b]; 2) на (a,b) существуют f ′(x), ϕ′(x), причем ϕ′(x)≠ 0 ;

3) f (a)=ϕ(a)= 0 ; 4) существует предел lim

x→a

предел lim f (x), причем

x→a ϕ (x)

Доказательство: Возьмем на отрезке [a,b]

lim	f (x)	= lim	f ′(x)	.
	ϕ (x)
x→a		x→a	ϕ′(x)

точку x ≠ a .

f ′(x)

ϕ′(x) , то существует и

На отрезке [a, x] по теореме Коши

f (x)

− f (a)

=

f ′(ξ)

a <ξ < x ,

ξ -

ϕ(x)

−ϕ(a)

ϕ′(ξ)

промежуточная точка отрезка [a, x].

Но f (a)=ϕ(a)= 0 , значит,

f (x)

=

f

′(ξ)

. Если x → a ,то и ξ → a , сле-

ϕ(x)

ϕ′(ξ)

f (x)

довательно, lim

= lim

f ′(ξ)

= lim

f ′(x)

.

ϕ(x)

ϕ′(ξ)

ϕ′(x)

x→a

ξ→a

x→a

Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

! 1). Если рассматривается предел при x → ∞, ϕ(x)→ 0 , f (x)→ 0 , то утверждениеостостаетсясправесправедливым: :

				1
		f (x)		f
	lim		= lim	z		=
		ϕ(x)		1
	x→∞		z→0
				ϕ
				z

x = 1z z → 0

= lim

z→0

	1				1
f ′			−
					z	2
z								= lim
					1
	1							z→0
ϕ′			−
					z	2
z

	1
f ′				f ′(x)
z			= lim		.
	1		x→∞	ϕ′(x)
ϕ′
z

166

Лекция 16

2). Если

f ′(a)=ϕ′(a)= 0 и

f ′(x), ϕ′(x) удовлетворяют условиям тео-

ремы,

то

можно

применять

правило

Лопиталя

к

f ′(x)

lim

f ′(x)

= lim

f ′′(x)

. Правило Лопиталя можно применять не-

ϕ′(x)

ϕ′′(x)

x→a ϕ′(x)

x→a

сколько раз.

3). Без доказательства приведем следующее утверждение:

f

(x)

∞

f ′(x)

lim

=

= lim

.

ϕ(x)

ϕ′(x)

x→a

∞

x→a

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей

Пример:

0

.

0

a)

lim sin 2x

= lim cos 2x 2

= 2 .

x→0

x

x→0

1

б)

lim

x2

0

= lim

2x

0

= lim

2

=

=

= ∞ .

x −sin x

1−cos x

sin x

x→0

0

x→0

0

x→0

Пример:

∞
	.
∞
a)	lim	ax	= lim		ax ln a			= ∞ .
		x			1
б)	x→∞		x→∞				(x +1)−2		= lim	1 = 0 .
	lim	x +1 = lim				12
								1
	x→∞		x		x→∞			1	x→∞ 2 x +1

Пример:

	0
		. f (x)→ 0 , ϕ (x)→ ∞ .
a) [0 ∞]=	0
	∞	x→a	x→a
	∞

lim f (x) ϕ (x)= lim

f (x)

=

0

= lim

ϕ (x)

=

∞

.

1

1

x→a

x→a

x→a

0

∞

ϕ (x)

f (x)

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

167

Пример:

ln x

∞

1

1

x3

lim x

2

ln x =[0 ∞]= lim

x

1

=

= lim

= = lim

−

= 0

1

2

x

x→0

x→0

∞

x→0

x→0

−2

x2

x3

Пример:

00 , ∞0 , 1∞ . Применяется предварительное логарифмирование, откуда следует неопределенность [0 ∞].

Пример:

y = xx , x →0 . lim xx = ?
		x→0
Логарифмируем: ln y = x ln x .
Вычислим:							1
lim ln y = lim x ln x =[0 ∞]= lim ln x =					∞ = lim
							x		= 0 .
			x				− x2
x→0	x→0		x→0 1			∞ x→0		1
limln y = 0 ,		ln lim y = 0 , lim y =1, lim xx =1.
x→0		x→0	x→0	x→0

16.1.5. Формула Тейлора

ТЕсли f (x) дифференцируема (n +1) раз в окрестности точки x0 , то для любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n:

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 ) (x − x0 ) + f ′′(x0 ) (x − x0 )2 +

1! 2!

+

f ′′′(x0 )

(x − x

)3 +... +

f (n) (x0 )

(x − x

)n

+

R

(x),

3!

0

n!

0

n+1

где

R

(x) =

f (n+1) (x +θ(x − x ))

(x − x )

n+1

; 0

<θ <1.

0

0

n+1

(n +1)!

0

Rn+1(x) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство: Обозначим

ϕ(x, x0 )= f (x0 )+ f ′1!(x0 )(x − x0 )+... + f (nn) (!x0 )(x − x0 )n ,

ϕ(x, x0 ) - многочлен n-го порядка (так называемый многочлен Тейло-

ра), Rn+1 (x)= f (x)−ϕ(x, x0 ).

168

Лекция 16

Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указанной окрестности, пусть x > x0 . На отрезке [x0 , x] рассмотрим вспомога-

тельную функцию:

	Ф(t) = f (x)−ϕ (x, t)−	(x −t)n+1		Rn+1 (x), где t [x0 , x].
		(x − x	)n+1
		0

Поскольку Ф(x0 ) = Ф(x), Ф(t)удовлетворяет условиям теоремы Ролля и существует точка ξ (x0 , x), в которой Ф′(ξ ) = 0 .

Для вычисления Ф′(t) запишем ϕ(x,t ):

ϕ(x,t) = f (t) +

f ′(t)

(x −t) +

f ′′(t)

(x −t)2 +…+

f (n) (t)

(x −t)n .

n!

1!

2!

Ф′(t) = −ϕt′(x, t)+(n +1)

(x −t)n

Rn+1 (x).

(x − x )n+1

0

ϕt′(x, t) = f ′(t) +

f ′′(t) (x −t) −

f ′(t) +

f ′′′(t)

(x −t)2 −

2!

−

f ′′(t)

2 (x −t) +... +

f (n+1) (t)

(x −t)n −

f (n) (t)

n (x −t)n−1

=

2!

n!

n!

= f (n+n1!) (t)(x −t)n .

Следовательно,
−Ф′(t) =	f (n+1)	(t)	(x −t)	n	−(n +1)	(x −t)n	Rn+1 (x),
	n!					(x − x0 )n+1
при t =ξ

Rn+1 (x)= f((nn++1)1(ξ)!)(x − x0 )n+1 .

! 1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y = f (x) в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.

2). Полученная формула для Rn+1 (x) дает остаточный член в форме Лагранжа, но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме Пеано: Rn+1 (x)= o((x − x0 )n ) - бесконечно малая более высокого порядка

малости по сравнению с (x − x0 )n .

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

169

Частные случаи формулы Тейлора

1). При x0 = 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:

f (x) = f (0)+	f ′(0)	x +		f ′′(0)	x2 +... +			f (n) (0)	xn + R	(x),
1!			2!					n!	n+1
Rn+1 (x)=			f (n+1) (θx)			xn+1	; 0 <θ <1.
			(n +1)!

2). Рассмотрим f (x)= c0 + c1x1 + c2 x2 +... + cn xn - многочлен порядка n .

Поскольку x f (n+1) (x)= 0 , то x		Rn+1 (x)= 0 и
f (x)= f (x0 )+	f ′(x0 )	(x − x0 )+... +	f (n)	(x − x0 )	n	.
	1!		n!

Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка n можно представить в виде многочлена по степеням (x − x0 ).

Пример:

Многочлен 2x3 −3x2 + 5x +1 разложить по степеням (x +1) . Решение:

f (x) = 2x3 −3x2 +5x +1; x0 = −1 ; f (−1) = −9 .

Ищем коэффициенты формулы Тейлора:

f	′	= 6x	2	− 6x + 5 → f			′	=17;
	(x)						(−1)
f	′′	=12x		− 6	→ f		′′	= −18;
	(x)						(−1)
f	′′′				→ f	′′′		=12;
	(x) =12						(−1)
f IV (x) = 0
f (n) (x) = 0;
f (x) = −9 +				17 (x +1) −18 (x +1)2 +					12	(x +1)3 .
				1!		2!			3!
Учитывая, что 1!=1; 2!=1 2 ;								3!=1 2 3 , получим ответ:

2x3 −3x2 +5x +1 = −9 +17(x +1) −9(x +1)2 + 2(x +1)3 .

170 Лекция 16

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

1.

f (x) = ex ,

f (0)=1,

f ′(x) = ex ,

f ′(0) =1,

f ′′(x) = ex ,

f ′′(0) =1,

f (n) (x) = ex ,

f (n) (0) =1.

ex =1+

x

+

x2

+... +

xn

+ R

(x), R

(x)=

eθx

xn+1 .

(n +1)!

1! 2!

n!

n+1

n+1

2.

f (x)= sin x ;

f

(0)= 0 ,

f ′(x)= cos x = sin

(x + π2 )

;

f ′(0)=1,

f ′′(x)= −sin x = sin (x + 2π2 );

f ′′(0)= 0,

f ′′′(x)= −cos x = sin (x +3π2 );

f ′′′(0)= −1,

……………………………………………..,

f (n) (x)= sin (x + nπ2 ),

(n)

(

0,

n – нечетное,

f

(0)= sin

n π

n−1

=

n - четное

2 )

(−1) 2

,

sin x = x −

x3

+

x5

+... +(−1)n

x2n+1

+ R

(x).

(2n +1)!

3!

5!

2n+2

!Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x .

3.

f (x)= cos x ,

f (0)=1,

f (n) (x)= cos(x + n π2 ),

(n)

(

0,

n – четное,

f

(0)= cos

n π

n

=

,

n - нечетное

2 )

(−1)2

cos x =1 −

x2

+

x4

−... +(−1)n

x2n

+ R

(x)

(2n)!

.

2!

4!

2n+1

Четная функция cos x разложена по четным степеням x .

!

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

171

4.f (x) = ln (1 + x)

′

1

f

(x)= 1

+ x ,

′′

1

f

(x)= −(1+ x)2

,

′′′

2

f

(x)= (1+ x)3

,

f (n) (x)= (−1)n−1 (n −1)!, (1+ x)n

f (0) = 0 ,

f ′(0)=1,

f ′′(0)= −1,

f ′′′(0)=1 2 ,

f (n) (0)= (−1)n−1 (n −1)!.

ln (1+ x)= x −	x2	+	x3	−... +(−1)n−1	xn	+ R	(x).
					n
2		3				n+1

5.f (x)= (1 + x)α , где α -любое вещественное число.

(1	+ x)α =1+α x +		α(α −1)		x2 +... +	α(α −1)...(α − n +1)		xn + R	(x).
	2!						n!	n+1
Частный случай α = n :
(1	+ x)n =1+ nx +	n(n −1)		x2	+... + n!xn		- формула бинома Ньютона.
	2!				n!

Формулы Маклорена для элементарных функций:

x

x2

x3

xn

xn+1

θx

1. e

=1 + x +

+

+... +

+

e

; 0

<

θ <1.

2!

3!

n!

(n +1)!

x3

x5

n

x2n+1

x2n+2

2n + 2

2. sin x = x −

+

−... +

(−1)

+

sin(θx +

π); 0

<θ <1.

3!

5!

(2n +1)!

(2n + 2)!

2

3. cos x =1−

x2

x4

n

x2n

x2n+1

cos(θx +

2n +1

π); 0 <θ <1.

+

−... +

(−1)

+

2!

4!

(2n)!

(2n +1)!

2

4. ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+... + (−1)n−1

xn

+

(−1)n xn+1

; 0 <θ <1.

4

n

(n +1)! (1 +θx)n

2

3

172

Лекция 16

Оценка остаточного члена

Пусть f (x)

такова, что n и x из окрестности точки x0

f (n) (x)

≤ M .

Рассмотрим остаток: R (x)=

f (n+1)(ξ)

(x − x )n+1 .

n+1

(n +1)!

0

R

(x)

=

1

f (n+1) (ξ)

x − x

n+1 ≤ M

x − x0

n+1

,

x − x

при n → ∞

n+1

(n +1)!

0

(n +1)!

0

x − x

n+1

0

→ 0 и остаточный член может быть сделан сколь угодно малым пу-

(n +1

)!

тем увеличения n .

Итак, если

f (x) обладает указанным выше свойством, то формулу Тей-

лора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

Приложения формул Тейлора и Маклорена

1). Для вычисления приближенных значений функций:

f (x)≈ f (x0 )+ f ′1!(x0 )(x − x0 )+... + f (nn) (!x0 )(x − x0 )n .

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. Rn+1 (x) ≤ε , где ε - погрешность.

Пример:

Вычислить e с точностью ε =10−3 .

Рассмотрим

ex , x =1, x

= 0 .

0

1

1

1

+ Rn+1 (1) , Rn+1 (1)=

eθ

e =1+

+

+...+

, 0 <θ <1 .

1!

2!

n!

(n +1)!

Rn+1 (1)

e

Rn+1 (1)

3

<

, e < 3

<

≤ε .

(n +1)!

(n +1)!

3

n ,

≤ 0,001:

Найдем

наименьшее

удовлетворяющее условию

(n +1)!

n = 6 .

e =1+1!1 + 2!1 +... + 6!1 = 1957720 = 2,714 .

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

173

2). Для вычисления пределов функций:

Пример:

sin x − x

{x −

x3

+

x5

+...}− x

−

x3

+...

1

3!

5!

3!

lim

= lim

= lim

= −

.

x3

x3

x3

3!

x→0

x→0

x→0

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

теорему Ролля (о нуле производной) и теорему Лагранжа (о конечных приращениях);

правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей и способы его применения к неопределенностям вида

	0			∞		0		0	∞	;
			,		, [0 ∞], 0		, ∞		, 1
	0			∞

вид многочленов Тейлора для основных элементарных функций.