Аналитическая геометрия на плоскости

67

6.1. Простейшие задачи на плоскости

6.1.1. Расстояние между двумя точками

Пусть даны две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Рас-

стояние между				ними		равно	длине вектора
JJJJJJG	− x1, y2		− y1}		и может быть вычислено по
M1M2 ={x2
формуле: d =		JJJJJG		=	(x	− x )2 +(y − y )2 .
		M M	2
		1			2	1	2	1

6.1.2. Деление отрезка в данном отношении

Точка M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении

JJJJJG

JJJJG

JJJJJG

M1M

λ , если

JJJJJJG

= λ . Тогда

M1M

= λ

MM2

, а отсюда

MM2

x − x1

=

y − y1

= λ,

и координаты точки М находят-

x − x

y

2

− y

2

x =

x1 + λ x2

1 + λ .

ся по формулам:

y1 + λ y2

y =

1+ λ

Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, то есть λ =1: xc = x1 +2 x2 , yc = y1 +2 y2 .

Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противоположное λ не меняется.

6.2. Прямая линия на плоскости

6.2.1. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости XOY получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C=0.

Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x0,y0) перпендикулярно вектору n ={A, B}, ее уравнение принимает вид:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .

68

Лекция 6

6.2.2. Каноническое уравнение прямой

Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему вектору a = {l,m} , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде

	x − x	=	y − y	x = x0 +lt,
	0		0	и
	l		m		+ mt,
				y = y0

где t – параметр, t (−∞,∞) .

6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1,y1),

Y

M2

M2(x2,y2). Для того чтобы написать уравнение пря-

мой, проходящей через эти точки, полагаем в соот-

M1

ветствующем

уравнении

прямой в пространстве

z = z1 = z2 = z3

= 0. Тогда получаем искомое уравне-

O

X

ние в виде

x − x1

y − y1

=

.

x

2

− x

y

2

− y

1

1

6.2.4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку

взаданном направлении

Пусть прямая составляет угол α с осью OX. Угловым коэффициентом прямой k называется число k = tgα .

Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками

М1(x1,y1) и М2(x2,y2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой

Ax+By+C=0, если B ≠ 0 , тогда y = k x +b , где k = − BА и b = − CB . Пусть прямая пересекает ось OY

в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

y − y1 = y2 − y1 (x − x1). x2 − x1

Аналитическая геометрия на плоскости						69
Отсюда	y2	− y1	= tgα = k. Таким образом,	y − y	= k(x − x ).	Уравнение
	x2	− x1		1	1

полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b = y1 - k x1.

6.2.5. Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду уравнения прямой «в отрезках»: ax + by =1. Прямая в отрезках пересекает ось

OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b).

6.2.6. Нормальное уравнение прямой

Пусть известно расстояние от прямой до начала

JJG

координат OP = p и угол α между перпендикуляром

к прямой и осью OX. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что

cos(π2 −α) = sinα ,

получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде:

xcosα + ysinα − p = 0 .

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой

Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель µ = ±	1	. Знак
	A2 + B2

числа µ должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются

направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и осью OY равен β, то cos2 α + cos2 β =1.

6.2.7. Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ, d = |δ|,

где	δ = x	cosα + y	0	sinα − p = ±	Ax0 + By0 +C		.
	0				A2	+ B2

70

Лекция 6

По этой формуле δ положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно.

6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений:

A1x + B1 y +C1 = 0,

A2 x + B2 y +C2 = 0

по формулам Крамера в виде:

B1

C1

C1

A1

A1

B1

x

=

B2

C2

, y

0

=

C2

A2

, при

≠ 0.

0

A1

B1

A1

B1

A2

B2

А2

B2

A2

B2

6.2.9. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями:

y1 = k1x +b1, y2 = k2 x + b2.

Острый угол ϕ пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

tgϕ = tg(α			2	−		α ) =				tgα2 − tgα1			.
						1			1		+ tgα1 tgα2
Отсюда tgϕ =		k2	− k1
								.
	1 + k k
				2	1

Если прямые заданы общими уравнениями А1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то

угловые коэффициенты прямых равны:	tgα = −	A1	,	tgα	2	= −	A2	и угол ϕ ме-
	1	B1					B2
жду прямыми определяется формулой:

tgϕ =		A1B2 − A2 B1					.
		A A		+ B B
		1	2	1	2