Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

59

Приведение уравнения плоскости к нормальному виду (нормализация)

Приведем общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0 к нормаль-

ному виду:	xcosα + ycos β + z cosγ − p = 0 . Так как эти уравнения определя-
ют одну и	ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны:
cosα = µA,cos β = µB,cosγ = µC,−p = µD .
Из условия	cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1, которому удовлетворяют направляю-
щие косинусы вектора, следует, чтоµ2 ( A2 + B2 +C2 ) =1.
Введем так называемый нормирующий множитель µ = ±		1	,
		A2 + B2 +C2

знак которого определяется из условия µD < 0 , т.е. должен быть противопо-

ложен знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Умножением на нормирующий множитель µ общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: µAx + µBy + µCz + µD = 0.

!1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет уз-

нать ее расположение относительно системы координат.

2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произвольного вектора нормали nG ={A, B,C} в уравнении плоскости единичным

JJG		nG
вектором нормали n	={cosα,cos β,cosγ} =		.
o		| n |

5.2.5. Расстояние от точки до плоскости

ООтклонением δ точки M1(x1, y1, z1) от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки M1 на плоскость, взятое со знаком «-», если точка M1 и начало координат находятся по одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны.

Пусть дана точка M1(x1, y1, z1) . Спроектируем точку M1 на нормаль к плоскости nG.

Отклонение δ = PQ =OQ −OP.

JJJJJG JJJG

OQ =прnGOM1, OP = p,

JJJJJG

JJJJJG

δ =прnGOM1 − p,

прnGOM1 = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ ,

δ = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p .

60 Лекция 5

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки.

Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки M1(x1, y1, z1) от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

δ= Ax1 + By1 +Cz1 + D .

±A2 + B2 +C2

Расстояние от точки M1(x1, y1, z1) до плоскости:

d =		δ		=		Ax1	+ By1	+ Cz1	+ D		.
							A2 + B2 + C 2

Пример:

Найти расстояние от точки M (4,3,1) до плоскости 3x − 4 y +12z +14 = 0 .

µ =		−1	= −		1	;
		+42 +122		13
32

−131 (3x −4 y +12z +14) = 0,

δ= −131 (3 4 −4 3 +12 1+14) = −2 → d = 2.

5.2.6.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть даны три точки M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3(x3, y3, z 3). M( x,y,z ) - текущая точка плоскости.

Рассмотрим три вектора:

JJJJJG

M1M ={x − x1, y − y1, z − z1} ,

JJJJJJJG

M1M 2 ={x2 − x1 ,y2 − y1 ,z2 − z1} ,

JJJJJJJG

M1M3 ={x3 − x1 ,y3 − y1 ,z3 − z1}.

Точка M (x, y, z) лежит в плоскости M1M2M3 в том и только в том случае, ес-

JJJJJG

ли эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов M1M ,

JJJJJJJG JJJJJJJG

M1M 2 и M1M3 определяет плоскость, проходящую через три данные точки:

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

61

JJJJJJG JJJJJJJG JJJJJJJG

M1M M1M 2 M1M3 = 0 .

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0. z3 − z1

5.2.7. Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

Угол междуG плоскостямиG определяется как угол между их нормальными век-

торами n1 ={A1, B1,C1},n2 ={A2 , B2 ,C2}.

		JG JJG
		(n1, n2 )							A A		+ B B			+C C		2
cosϕ =		JG JJG			=				1	2		1	2		1				.
	| n1 || n2 |					A2	+ B2			+C2				A2	+ B2			+C2
					1		1				1			2		2		2

Пример:

Найти угол между плоскостями x − y −

2z −6 = 0,

y = 0.

Нормальные векторы плоскостей

nG

={1,−1,−

2} , n

2

={0,1,0} .

1

cosϕ =

=

−

1

→

ϕ = 60°.

1 0 −1 1− 2 0

12 +12 + 2 2 02 +12 + 02

2

5.2.8.Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

nG	Плоскости					P1				и	P2 параллельны, если				их	нормальные векторы
	={A , B ,C }			и		nG			={A , B ,C } коллинеарны,					то есть их координаты про-
1	1	1	1			2					2	2	2
порциональны:						A1		=		B1	=	C1 .
					A					B
												C
						2				2		2
	Плоскости P1 и P2 перпендикулярны, если их нормальные векторы
перпендикулярны,								(n nG ) = 0,					следовательно, A A + B B +C C = 0 .
										1	2		1	2	1	2	1	2

62

Лекция 5

5.3. Прямая линия в пространстве

5.3.1. Векторное уравнение прямой

Рассмотрим некоторую прямую L в простран-

стве. Пусть

M0

–

фиксированная

точка

L

( M0 (x0 , y0 , z0 ) L ).

M

–

произвольная

точка

L

( M (x, y, z ) L ), a ={l,m, n}

–

направляющий век-

тор прямой (любой вектор, лежащий на прямой ли-

бо параллельный ей). Точка M принадлежит пря-

мой L тогда и только тогда, когда

JJJJJG

G

и эти

M0M

& a

векторы пропорциональны:

JJJJJJG

M

M = t aG.

JJJJJJG

G

G

, где r

0

G

- радиус–векторы точек M и M

, то для

Так как M

0

M

= r − r

, r

0

M

M0

M

M0

= rG

произвольной точки на прямой имеем: r

+t aG – векторное уравнение

M

M0

прямой.

5.3.2.Параметрические уравнения прямой

Вкоординатном виде векторное уравнение прямой распадается на три:

x = x0 +l t,y = y0 + m t,z = z0 + n t

- параметрические уравнения прямой.

5.3.3. Канонические уравнения прямой

Исключая параметр t, получим

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

- канонические

l

m

n

(x0 , y0 , z0 ) и

уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку M0

имеющей направляющий вектор a ={l,m,n}.

5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки M1(x1, y1, z1)

и M2 (x2 , y2 , z2 ) .

В качестве направляющего

вектора

прямой

выберем вектор

JJJJJJG

M1M 2 ={x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}, и уравнение прямой примет вид:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x

− x

y

2

− y

z

2

− z

2

1

1

1