Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

85

7.5.1. Эллипсоид

ОЭллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

	x2	+	y2	+	z2	=1.
	a2		b2		c2

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений:

2

y

2

z

2

2

y

2

x

+

+

=1

или

x

+

=1,

b2

c2

b2

a2

a2

= 0

= 0.

z

z

Очевидно, что линия пересечения – эллипс с полуосями а и b.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = h . Линия пересечения задается системой уравнений:

2

2

2

x2

y2

x

+

y

+

z

=1

+

=1,

или

2

2

b2

c2

a2

a1

b1

= h

z

z = h.

где a = a 1 −

h2

; b = b

1 −

h2

. Таким образом, если 0 < h < c , то сечение –

1

c2

1

c2

эллипс с полуосями a1 < a; b1 < b . Если h = c , сечение – точка с координатами (0,0,c). Если h > c , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность

не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью.

Аналогично рассматриваются сечения поверхности S плоскостями x = const , y = const .

Величины a,b,c называются полуосями эллипсоида. Если все они раз-

личны, эллипсоид называется трехосным. При равенстве двух полуосей по-

лучаются эллипсоиды вращения: при a = b < c - вытянутый, при a = b > c -

сплющенный. Эти поверхности получаются при вращении эллипса, соответственно, вокруг большой и малой оси.

Если a = b = c = R , каноническое уравнение принимает вид: x2 + y2 + z2 = R2

и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.

86

Лекция 7

Гиперболоиды

7.5.2. Однополостный гиперболоид

ООднополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

x2

+

y2

−

z

2

=1.

a2

b2

c

2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости

z = 0

2

y

2

z

2

задается системой уравнений:

x

+

−

=1,

опре-

b2

c2

a2

= 0,

z

деляющей эллипс с полуосями а и b.

2

2

x

+

y

=1,

В сечении

плоскостью

z = h имеем

эллипс

2

2

с полуосями

a

b

1

1

z = h,

a = a

1 +

h2

и

b = b

1 +

h2

Сечение поверхности S

плоскостью

.

1

c2

1

c2

2

z

2

y

−

=1,

является гиперболой с действительной осью Oy и мнимой

c2

x = 0 : b2

= 0

x

y = 0 -

осью Oz . Сечение S плоскостью

гипербола с действительной осью

Ox и мнимой осью Oz .

При a = b получается однополостный гиперболоид вращения.

Покажем, что однополостный гиперболоид также является линейчатой

поверхностью, для чего перепишем уравнение в виде

x2

z2

y2

x

z x

z

y

y

−

=1 −

−

+

= 1

−

1

+

.

a

2

c

2

b

2

a

c a

c

b

b

Рассмотрим две системы линейных уравнений

x

z

y

v

+

= u 1

+

,

a

c

b

x

z

y

u

−

= v 1

−

,

a

c

b

x

z

y

v

+

= u 1

−

,

a

c

b

x

z

y

u

−

= v 1

+

,

a

c

b

где u и v - параметры, не равные нулю. Каждая из этих систем определяет прямую (линию пересечения двух плоскостей). Если перемножить уравнения каждой системы, получится уравнение однополостного гиперболоида, откуда следует, что каждая из этих прямых целиком лежит на однополостном гипер-

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

87

болоиде. Таким образом, через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида, он имеет два семейства прямолинейных образующих.

Русский инженер В.Г. Шухов предложил использовать линейчатый характер однополостного гиперболоида в строительной технике. Он предложил конструкции из металлических балок, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными, они используются для устройства водонапорных башен и радиомачт.

7.5.3. Двуполостный гиперболоид

ОДвуполостным гиперболоидом называется по-

верхность второго порядка с каноническим уравнением

x2 + y2 − z2 = −1. a2 b2 c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0

			2		y	2
задается системой уравнений:		x		+			= −1,
					b2
	a2
			= 0,
	z

которой соответствует пустое множество.

В сечении

		2		y	2
	x		+			=1,
		2		b	2
a
1				1
z = h,

2

y

2

z

2

x

+

=

−1,

плоскостью

z = h имеем

кривую

b 2

c2

или

a 2

z = h

где a = a

h2

−1

и b = b

h2

−1.

1

c2

1

c2

Очевидно, что решения есть при h ≥ c . Если h = ±с, сечение – точка (0,0, ±c). При h > c сечение – эллипс с полуосями a1, b1.

y2		−	z2	= −1, является гипербо-
Сечение поверхности S плоскостью x = 0
	b2		c2
x = 0

лой с действительной осью Oz и мнимой осью Oy . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Oz и мнимой осью Ox .

88

Лекция 7

Параболоиды

7.5.4. Эллиптический параболоид

ОЭллиптическим параболоидом называется по-

верхность с каноническим уравнением

	x2	+	y2	= pz, p > 0.
	a2		b2

Поверхность расположена в верхнем полупространстве z ≥ 0 ; поперечные сечения плоскостями

z = h, h > 0 представляют собой эллипсы с полуосями a1 = a ph и

b1 = b ph , размеры которых увеличиваются по мере возрастания h , продольные сечения плоскостями x = 0 и y = 0 - параболы.

7.5.5. Гиперболический параболоид

ОГиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением

	x2		−		y2	= pz, p > 0.
	a2				b2
Сечение плоскостью				z = 0 дает скрещивающиеся

прямые y = ± ba x , сечения z = h - гиперболы.

При h > 0 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox , мнимая ось параллельна оси Oy , при h < 0 оси меняются местами. Сечения плоско-

стями x = const и y = const - параболы.

Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью и имеет два семейства прямолинейных образующих – прямых, полностью лежащих внутри поверхности. Уравнения образующих получаются аналогично случаю однополостного гиперболоида и имеют вид:

	x					y
v					+				= upz,
	a					b
	x					y
	u				−				= v,
	a					b

	x						y
v					−					= upz,
	a						b
	x						y
	u				+					= v,
	a						b

т.е. через каждую точку поверхности проходит две прямолинейных образующих.