Аналитическая геометрия на плоскости

71

6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 параллельны друг другу, если ϕ = 0 . Следовательно, tgϕ = 0 , то есть k1=k2.

Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 перпендикулярны друг другу, если ϕ = π2 . Сле-

довательно, tgϕ → ∞, то есть k1k2 = -1. Отсюда k1 = − 1 . k2

Если прямые заданы общими уравнениями, то:

А1В1 – А2В1=0, A1 = A2 – условие параллельности,

B1 B2

А1А2+В1В2=0 – условие перпендикулярности прямых.

6.3. Кривые второго порядка

Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

6.3.1. Эллипс

ОЭллипсом называется геометрическое место всех точек M (x, y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 (+c,0) и F2 (−c,0)

(называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a .

Каноническое

уравнение

эллипса

может быть получено непосредственно из

определения эллипса.

JJJJG

JJJJJG

По

определению

F1M

+

F2M

= 2a и

JJJJG

= 2c, где a > c . Воспользуемся форму-

F1F2

лой расстояния между двумя точками:

JJJJG

=

(x −c)2 + y2 = r1 ,

JJJJG

= (x + c)2 + y2

= r .

F1M

F M

2

2

По определению r1 + r2 = 2a . Подставим в это равенство найденные r1 и r2 : (x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a .

72	Лекция 6
Проделаем очевидные преобразования:
	(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2 ,
	(x + c)2 + y2 = 4a2 −4a (x −c)2 + y2 +(x −c)2 + y2 ,
	a (x −c)2 + y2 = a2 − cx,
	(a2 −c2 )x2 +a2 y2 = a2 (a2 −c2 ).
Так как	a > c , то положим a2 −c2 =b2 , тогда b2 x2 + a2 y2 = a2b2 или

x2 + y2 =1. Полученное уравнение называется каноническим уравнением a2 b2

эллипса.

Элементами эллипса являются:

точка О - центр эллипса;

точки A, B, C, D - вершины эллипса;

точки F1 (+c,0), F2 (−c,0) - фокусы эллипса;

2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле: c = a2 −b2 ;

AB = 2a и CD = 2b - большая и малая оси эллипса;

a и b - большая и малая полуоси эллипса;

e = ac , ( e <1)- эксцентриситет эллипса, который вычисляется по фор-

	муле: e = 1−	b2	.
		a2

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние a / e, называются директрисами эллипса. Уравнения правой и левой директрис

эллипса имеют вид: x = ± ae .

Отметим, что ae > a , так как для эллипса e <1.

	Фокальный параметр p =	b2	- это половина хорды, проведённой через фо-
		a
	кус параллельно малой оси.

Аналитическая геометрия на плоскости

73

6.3.2. Окружность

ООкружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности.

Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a = b = R: x2 + y2 = R2.

6.3.3. Гипербола

ОГиперболой называется геометрическое место всех точек M (x, y), для

которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1 (+c,0) и F2 (−c,0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a (a < c).

Каноническое

уравнение

ги-

перболы может быть получено непо-

средственно из определения гипербо-

лы. По определению

JJJJG

JJJJJG

= 2a

F1M

− F2M

JJJJG

и

F1F2

= 2c, где а<с.

Воспользуемся

формулой

рас-

стояния между двумя точками:

JJJJG

= (x −c)2 + y2

= r ,

JJJJG

= (x + c)2 + y2 = r .

F M

F M

1

1

2

2

По определению r1 − r2 = ±2a .

Подставим в это равенство найденные r1 и r2:

(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a .

Проделаем очевидные преобразования:

(x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2 ,

(x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 , cx − a2 = ±a (x − c)2 + y2 ,

(c2 −a2 )x2 −a2 y2 = a2 (c2 −a2 ).

74											Лекция 6
2 2		2	2 2 2 2	2		2		x2		y2
Так как c>a, то положим c	-a	=b	, тогда b x -a y	=a	b		или		−		=1.
								a2		b2

Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F1(+C,O) и F2(-C,O) - фокусы гиперболы; 2с -

фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c =					b2 + a2 ; AB=2a
- действительная				ось гиперболы; CD=2b - мнимая	ось гиперболы;
b = c2 − a2 ;	e =	c		- эксцентриситет гиперболы, который вычисляется по
		a
формуле: e =	1 +	b2		, e >1.
		a2

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: x = ± ae .

Отметим, что ae < a , так как e >1.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

С учётом того, что k = ±tgα = ± ba , уравнения асимптот гиперболы принима-

ют вид y = ± ba x .

Фокальный параметр гиперболы p = b2 . a

6.3.4. Парабола

ОПараболой называется геометрическое место точек M (x, y), равноудалённых от

заданной точки F(p/2,0) (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисой параболы).