Учебник

17. Гипербола

x2 −2xc +c2 −b2 + b

2

x

2

x

2

+

b2

−2xc + a

2

1

a

2

= e

a2

= e

≡ e.

(a − xe)2

(a − xe)2

Таким образом, гиперболу можно определять так:

Определение гиперболы через директрису и эксцентриситет

Гипербола — это множество точек, в котором отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Это определение похоже и на определение эллипса, и на определение параболы. Поэтому мы можем формулировать следующую теорему, которая объединяет в себе все эти определения.

Теорема об определении эллипса, параболы и гиперболы с помощью директрисы и эксцентриситета

Множество точек, в котором отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы постоянно и равно эксцентриситету e, является:

а) эллипсом, если e <1 ; б) параболой, если e =1 ; в) гиперболой, если e >1 .

Частному случаю e = 0 соответствует окружность, e = 2 — равнобочная гипербола. В теореме подразумевается, что фокус не лежит на директрисе. Эта теорема свидетельствует о наличии общих свойств эллипса, параболы и гиперболы, и мы изучим другие такие свойства в следующем разделе.

Задача 17.1. Какая кривая получается из гиперболы, если предположить, что фокусы гиперболы совпали?

Задача 17.2. Постройте гиперболу с помощью линейки, нитки или других подручных средств.

18. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА, ПАРАБОЛЫ И ГИПЕРБОЛЫ

18.1. Полярное уравнение

Мы рассмотрим общие свойств эллипса, параболы и гиперболы, и начнем с того, что используем общее для них определение через директрису и эксцентриситет. В этом определении присутствует заданная точка — фокус и расстояние до нее. Поэтому мы применим при решении этой задачи полярную систему отсчета с центром в фокусе и полярным лучом, направленным перпендикулярно директрисе (и не пересекающем ее). Такая система изображена на рис. 18.1:

Ðèñ. 18.1. Уравнение кривой второго порядка в полярной системе отсчета

264

от начала отсче-

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

На рисунке изображена полярная система отсчета, в которой мы будем искать уравнение кривой второго порядка, и директ-

ðèñà d, которая находится на расстоянии ep

та. Пусть точка M (x, y) принадлежит кривой второго порядка, которую мы изучаем. Тогда согласно определению, отношение расстояния MF от точки M до фокуса к расстоянию MD от точки M до директрисы равно эксцентриситету e :

MDMF = e.

Перепишем это отношение сначала с использованием декартовых координат точек:

MF

(x

− x

)2 +( y

− y

)2

x2 + y2

=

M

F

M

F

=

= e.

MD

(xM − xD )2 +( yM

− yD )2

p 2

2

x −

−

+

( y − y)

e

В числителе этого отношения стоит не что иное, как длина радиус-вектора точки M , то есть первая полярная координата r, а в знаменателе присутствует абсцисса точки M , которая в полярных координатах равна x = r cosϕ. Следовательно,

	MF			=	r		= e.
	MD				r cosϕ +	p
						e

Отсюда получаем искомое соотношение между полярными координатами точек кривой второго порядка:

r =	p
	1−ecosϕ .	(18.1)

Это и есть уравнение кривой второго порядка в полярной системе отсчета. Оно описывает одновременно эллипс, параболу и гиперболу в зависимости от значения эксцентриситета. Так, например, если эксцентриситет меньше единицы, что соответствует

265

III. Кривые и поверхности второго порядка

эллипсу, то из соотношения (18.1) следуют такие ограничения на величину радиуса:

	−1 ≤ cosϕ ≤1				p	≤ r ≤	p	a −c ≤ r ≤ a +c,
			1		+e		1−e

которые подтверждают ограниченность эллипса.

В случае параболы (e =1) знаменатель может принимать нулевое значение, когда cosϕ =1, èëè ϕ = 0 :

r =	p
		.
	1−cosϕ

При стремлении cosϕ к единице радиус неограниченно возрастает, и при этом уравнение параболы все более походит на уравнение луча ϕ = 0, то есть парабола стремится к горизонтальной прямой.

à)

á)

Ðèñ. 18.2. Запрещенные области

óпараболы и гиперболы

Óгиперболы существует целая область запрещенных углов, так как e >1, и следовательно, при cosϕ > 1e величина r íå ïðè-

нимает положительных значений. Значит, можно ввести некий критический угол ϕc :

arccosϕc = 1e ,

266

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

вне которого существует гипербола. При стремлении угла к крити- ческому радиус неограниченно возрастает, и гипербола стремится к прямым, уравнение которых в полярной системе отсчета имеют вид

	1			p				p		r→∞
cosϕ =	e	1	−			= cosϕc 1	−			→cosϕ = cosϕc .
				r				r

Это не что иное, как две линии, параллельные асимптотам гиперболы. Чтобы убедиться в этом, найдем их угловые коэффициенты:

1

1 2

1−cos

2

ϕ

−

c

2

b

2

2

e

= e

2

tg ϕc =

cos2 ϕ

=

−1 =

−1 = a2 .

1

2

a2

e

Мы видим, что они действительно совпадают с угловыми коэффициентами ± ba асимптот у гиперболы.

Ðèñ. 18.3. Кривые второго порядка в полярной системе отсчета при различных значениях эксцентриситета

и при постоянном расстоянии от фокуса до директрисы

Уравнение (18.1) описывает и предел e = 0, который соответствует окружности. В этом случае мы получаем следующее уравнение кривой r = p, которое описывает множество точек, рав-

267

стремится при уменьшении эксцентриситета к бесконечнос-

III. Кривые и поверхности второго порядка

ноудаленных от начала отсчета, то есть окружность. Директриса

при этом находится на бесконечности, так как расстояние до нее p

e

ти. Заметьте, каким образом здесь все соотношения оказываются согласованными. Если бы у окружности была директриса, то у нее была бы и перпендикулярная ей ось симметрии. Это противоречи- ло бы тому, что окружность не имеет выбранной оси симметрии.

Ðèñ. 18.4. Кривые второго порядка в полярной системе отсчета при различных значениях эксцентриситета

и при постоянном фокальном параметре

Полученное уравнение позволяет проследить, как эллипс, парабола и гипербола переходят друг в друга при непрерывном изменении эксцентриситета. На рис. 18.3 приведены последовательно эти кривые второго порядка в заданной системе отсчета для различных значений e и постоянном расстоянии d между директрисой и фокусом. При стремлении e к нулю эллипс постепенно переходит в окружность с радиусом ed, который тоже стремится к нулю.

Из того же общего уравнения (18.1) можно построить последовательность кривой второго порядка при непрерывном изменении эксцентриситета, в случае, когда постоянным является параметр кривой. В этом случае все кривые будут иметь общую

268

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

фокальную хорду, а директриса при уменьшении эксцентриситета будет удаляться от начала отсчета на минус бесконечность. Такое семейство кривых изображено на рис. 18.4.

Общее уравнение в полярной системе отсчета, которое мы получили для эллипса, параболы и гиперболы, имеет глубокое физическое значение. Движение двух тел, которые притягиваются за счет гравитационного взаимодействия, описывается кривыми второго порядка. Так, орбиты планет в Солнечной системе являются эллипсами с малым эксцентриситетом, а орбиты комет, периодически возвращающихся к Солнечной системе, могут обладать очень большим эксцентриситетом. Непериодическое движение может происходить как по параболам, так и по гиперболам.

18.2. Уравнение при вершине

Каноническое уравнение параболы y2 = 2 px отличается от уравнений эллипса и гиперболы тем, что оно оказывается справедливым, если обе координаты положить равными нулю. Это, естественно, связано с тем, что вершина параболы совпадает с началом отсчета в канонической системе координат. Давайте и для других кривых перейдем в системы отсчета, обладающие тем же свойством.

Для эллипса нам достаточно переместить каноническую систему отсчета влево на величину большой полуоси, так чтобы нача- ло новой системы отсчета оказалось в левой вершине эллипса:

x → x −a.

Тогда в новой системе отсчета уравнение эллипса будет

иметь вид

(x −a)2

y2

+

=1.

a2

b2

Отсюда получим:

2

2

(x −a)2

2

x2

x

b2

b2

2

2

2

y

= b

1−

2

= b

1

−

+ 2

−1

= 2

x −

2 x

≡ 2 px + (1−e

)x

.

a

a

2

a

a

a

269

III. Кривые и поверхности второго порядка

Здесь мы использовали выражения для параметра и эксцентриситета через полуоси.

В случае с гиперболой можно сдвинуть каноническую систему отсчета вправо, так чтобы начало новой системе отсчета совпало

ñвершиной правой ветви гиперболы:

x→ x + a.

Тогда уравнение гиперболы примет вид:

(x + a)2

y2

−

=1

a2

b2

y

2

= b

2

(x + a)2

= b

2

x2

xa

≡ (1−e

2

)x

2

+ 2 px.

2

−1

+

2

2

a

2

a

a

Следовательно, для всех кривых мы получили одинаковое уравнение:

y2 = 2 px +(1−e2 )x2 ,

(18.2)

которое в зависимости от величины эксцентриситета описывает каждую из конкретных кривых — эллипс, параболу или гиперболу (см. рис. 18.5). Это уравнение называется уравнением при вершине. Такое название подразумевает, что это уравнение задано в системе отсчета, центр которой совпадает с вершиной кривой.

Ðèñ. 18.5. Семейство кривых второго порядка, которые описываются уравнением при вершине для различных значений эксцентриситета

270

18.Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

18.3.Оптические свойства

Пожалуй, наиболее широкое практическое и прикладное применение нашли так называемые оптические свойства эллипса, параболы и гиперболы, которые тоже являются одинаковыми в некотором смысле у этих кривых. Оказывается, что если любую точку этих кривых соединить прямыми с обоими фокусами, то эти прямые будут составлять одинаковый угол с нормалью, построенной к этой кривой в данной точке. Для параболы прямой, идущей к несуществующему фокусу, считается прямая, параллельная ее оси.

Как известно, и свет, и звук отражаются по правилу «угол падения равен углу отражения», где под углом подразумевается угол между лучом и нормалью. Следовательно, каждая из кривых второго порядка обладает определенными свойствами, связанными с отражением лучей.

Ðèñ. 18.6. Оптические свойства эллипса

Например, луч света, вышедший из фокуса параболы, после «отражения» от параболы движется параллельно ее оси. И наоборот, пучок света, параллельный оси параболы, после «отражения» фокусируется в фокусе. Это свойство параболы используется в теле-

271

III. Кривые и поверхности второго порядка

скопах-рефлекторах, различных радиотелескопах, включая бытовые спутниковые антенны, и даже в обычных карманных фонариках.

Если в один из фокусов эллипса поместить точечный источник звука, то в другом фокусе будет собираться сходящаяся звуковая волна. Это свойство эллипса использовали при создании «галерей шепота», а в медицинской физике сходящуюся звуковую волну применяют для дробления камней в почках.

Рис. 18.6 и 18.7 демонстрируют оптические свойства кривых второго порядка. Доказательство этих свойств достаточно просто, и мы приведем идею такого доказательства в случае эллипса.

Мы должны доказать, что углы, которые составляют отрезки F1M è F2 M с нормалью n к эллипсу, проведенной в точке M (xM , yM ), одинаковы для любой точки M на эллипсе. Для этого можно, в частности, воспользоваться определением углов с помощью скалярного произведения. Тогда выражение для равенства косинусов этих углов примет вид:

cos( f n) = cos( f

n)

f1n

=

f2n

(f n)

f

2

= (f

n)

f

. (18.3)

1

2

f1

n

f2

n

1

2

1

Здесь векторы f1 è

f2

определяются

координатами

точек

M (xM , yM ), F1 (c,0) è F2 (−c,0) :

f1 = MF1 = (c − xM , −y) è f2 = MF2 = (c + xM , −y).

à)

á)

Ðèñ. 18.7. Оптические свойства параболы и гиперболы

272