Учебник

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

Вектор нормали можно определить как нормаль к прямой τ , которая касается эллипса в точке M . Получить общее уравнение прямой τ можно взятием дифференциала от уравнения эллипса:

x

2

2

2

2

xdx2

+ ydy2 = 0.

+

y

=1

d

x

+

y

= 0

a

2

2

2

2

b

a

b

a

b

Значит, уравнение прямой, касательной эллипса в точке M (xM , yM ) имеет вид

xaM2 x + ybM2 y = 0,

а нормальный вектор к этой прямой равен n = xaM2 , ybM2 .

После подстановки явных выражений для векторов f1 , f2 è n в соотношение (18.3) убеждаемся в справедливости этого соотношения после простейших преобразований. Аналогично доказывается справедливость утверждений об оптических свойствах гиперболы и параболы.

18.4. Конические сечения

Одним из самых известных общих свойств эллипса параболы и гиперболы является то, что все они оказываются коническими сечениями. Имеется в виду, что каждая из этих кривых может быть получена при пересечении конуса с плоскостью.

Например, если мы возьмем круговой конус (см. рис. 18.8) с вертикальной осью, то его пересечение с горизонтальной плоскостью будет окружностью (исключая случай плоскости, проходящей через вершину конуса).

Если секущая плоскость будет немного наклонена по отношению к горизонтали, то сечением будет эллипс (рис.18.8а). Если наклонить

273

III. Кривые и поверхности второго порядка

плоскость так, что она станет параллельной образующей конуса, то сечением окажется парабола (рис.18.8б). В случае, когда угол наклона будет так велик, что плоскость пересечет обе части конуса, то линиями пересечения окажутся две ветви гиперболы (рис.18.8в).

Ðèñ. 18.8. Конические сечения

Убедимся в справедливости этих утверждений на примере простейшего случая. В качестве конуса возьмем конус, который задан уравнением x2 + y2 = z2 .

Это круговой конус с раствором в 45°. Его пересечением с ко-

ординатной плоскостью YOZ, уравнение которой x = 0,	являют-
ся две прямые. Одна из этих прямых в плоскости YOZ	задана

уравнением y = z. Выберем на этой прямой точку с координатами M0 = (0,1,1) и проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости YOZ. Направляющий вектор этой прямой будет иметь координаты q = (1,0,0). Эта прямая задает целое множество плоскостей, содержащих саму прямую. Такое множество плоскостей называется пучком плоскостей. Отличать друг от друга эти плоскости можно, например, по углу α отклонения их нормали от вертикального направления: α = Nez . Тогда в качестве второго на-

274

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

правляющего вектора можно взять единичный вектор, лежащий в плоскости YOZ. Его координаты будут равны p = (0, −cosα ,sinα ).

На этой плоскости введем свою систему координат. Нача- лом отсчета в ней выберем точку M0 = (0,1,1). В качестве оси абсцисс выберем ось, заданную вектором p, а в качестве оси ординат — ось, заданную вектором q. Тогда координаты (x ', y ') на этой плоскости могут служить параметрами в векторном параметрическом уравнении этой плоскости:

r= rM0 + x'p + y 'q.

Âкоординатном виде это уравнение имеет следующий вид:

x = y '

y =1− x'cosα .z =1+ x 'sinα

Подставив эти выражения в уравнение конуса x2 + y2 = z2 , мы найдем связь между координатами (x ', y ') на плоскости, то есть получим уравнение кривой пересечения конуса с этой плоскостью.

x2 + y2	= z2 y '2 +(1− x'cosα )2 = (1+ x'sinα )2
	y '2 = 2x'(cosα +sinα ) + x'2 (sin2 α −cos2 α ).

Мы действительно получили уравнение кривой второго порядка при вершине с определенным параметром и эксцентриситетом.

Существует большое множество других доказательств того, что эллипс, парабола и гипербола являются коническими сечениями. Но поскольку в нашем курсе мы все время пытаемся показывать, что геометрические соотношения должны быть независимы от системы координат, то значит, должно существовать и доказательство, не использующее уравнения кривых. Это доказательство также хорошо известно в геометрии, и мы не можем его не привести в этом курсе.

275

III. Кривые и поверхности второго порядка

Поместим внутрь кругового конуса две сферы настолько разного радиуса, чтобы они обе касались конуса по окружностям, при этом не касаясь друг друга (см. рис. 18.9). Такие сферы называются шарами Данделена. Тогда между этими сферами можно поместить плоскость, так чтобы она касалась обеих сфер. Назовем эти точки касания F1 è F2 .

Пересечением этой плоскости с конусом является некоторая кривая, и мы рассмотрим одну из точек этой кривой — точку M . Проведем через эту точку одну из образующих конуса и точки пересечения этой образующей с окружностями касания

конуса и сфер обозначим K									è L. Можно доказать, что длина
отрезка		KL			не зависит			îò	выбора	точки M . С другой сто-
роны, отрезки						MF1	è	MK	равны	между собой, потому что
они являются						касательными отрезками, проведенными из одной

точки к сфере. По этой же причине равны между собой и от-

резки

MF2

è

ML

. Следовательно, для любой точки M êðè-

âîé

пересечения плоскости и конуса выполняется соотношение

MF1

+

MF2

=

MK

+

ML

=

KL

= const. Значит, эта кривая явля-

åòñÿ

эллипсом по определению.

Ðèñ. 18.9. Шары Данделена

Аналогичным образом можно доказать, что гипербола является коническим сечением.

Задача 18.1. Уравнение окружности в полярной системе от- счета можно задать в параметрическом виде

276

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы

x = r cosϕy = r sinϕ ,

где величина угла играет роль параметра. Обобщите такое описание на случай эллипса и предложите подобные параметризации для других кривых. Объясните с помощью полученной формулы следующий метод построения эллипса.

Ðèñ. 18.10. К задаче 18.1

Для построения эллипса с полуосями a è b строим две концентрических окружности с центром в начале координат и радиусами, равными a è b соответственно. Затем из начала координат проводим луч. Далее из точки пересечения луча с меньшей окружностью проводим горизонтальную прямую. А через точку пересечения луча с большей окружностью проводим вертикальную прямую. Точка пересечения этих прямых лежит на эллипсе.

Задача 18.2. Рассмотрите один из многих способов построения эллипса в начертательной геометрии. Убедитесь самостоятельно в его справедливости.

Проведем из точки A2 прямую, так чтобы она делила отрезок OB1 в заданном отношении. Из точки A1 проведем прямую, которая делит в этом же отношении отрезок CB1. Тогда точка пересечения этих прямых окажется на эллипсе с полуосями OA1

è OB1.

277

III. Кривые и поверхности второго порядка

Ðèñ. 18.11. К задаче 18.2

Задача 18.3. Покажите, что уравнение при вершине можно получить прямо из определения эллипса, параболы и гиперболы через директрису и эксцентриситет.

Задача 18.4. Получите полярное уравнение для второй ветви гиперболы.

Задача 18.5. Можно ли с помощью шаров Данделена (или аналогичным способом) доказать, что парабола является коническим сечением?

19. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРИВЕДЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

19.1. Общее уравнение кривых второго порядка

Как мы уже с вами показали, и эллипс, и парабола, и гипербола являются кривыми второго порядка. Действительно, канони- ческие уравнения эллипса

	x2	+		y2	=1,	(19.1)
	a2			b2
гиперболы
	x2	−		y2	=1,	(19.2)
	a2			b2
и параболы
	y2		= 2 px			(19.3)

имеют максимальный показатель у переменных, равный двойке. Следовательно, после преобразования координат, или, иначе

говоря, в другой системе отсчета (не в канонической) каждая из этих кривых будет описываться каким-то уравнением второго порядка. Такое уравнение в общем случае имеет вид:

a	x2 + 2a	xy + a	y2 + 2a x + 2a	23	y + a = 0.	(19.4)
11	12	22	13		33

Возникает закономерный вопрос, каким образом, глядя на это уравнение, отличать друг от друга эти кривые? Простейший ответ очевиден. Отличать их надо по построению. В соответствии с определениями кривых, они как геометрические множества то-

279

III. Кривые и поверхности второго порядка

чек обладают фокусами и директрисами (не говоря уже о центрах и осях симметрии). Поэтому можно определить, например, эксцентриситет построенной фигуры и по определению выяснить, какая из фигур построена.

Однако, в нашем курсе аналитической геометрии, в котором мы все время пытаемся переводить геометрические понятия на язык алгебры, мы должны научиться определять тип кривой, а также все ее параметры, непосредственно из общего уравнения (19.4). Именно этой задаче будут посвящены последующие разделы нашего курса.

Для начала дадим несколько общепринятых определений, касающихся общего уравнения второго порядка. Коэффициенты перед квадратичными членами, то есть a11 , a12 è a22 называются старшими коэффициентами, а сами квадратичные слагаемые — старшими членами. Аналогично, коэффициенты перед линейными слагаемыми, а именно a13 è a23 называются младшими коэффициентами, а последнее слагаемое a33 — неоднородностью èëè свободным членом.

Рассмотрим, как и почему канонические уравнения кривой второго порядка меняются при переходе из канонической системы отсчета в другую систему на примере эллипса.

Начнем с параллельного переноса. Предположим, что нам задан эллипс в канонической системе отсчета Kc своим каноническим уравнением

	x	2	+	y	2	=1.
	c			c
	a2			b2

Пусть эта каноническая система отсчета отличается от системы отсчета K, в которой мы работаем, смещением на вектор R = ( X ,Y ), то есть исходная система отсчета переходит в каноническую путем параллельного переноса на вектор R. В этом случае координаты в этих системах связаны друг с другом следующими соотношениями:

x = X + xcy =Y + yc

xc = X − x .yc =Y − y

Тогда уравнение эллипса в исходной системе имеет вид:

280

				19. Приведенные уравнения
	(x − X )2	+	( y −Y )2	=1.
	a2		b2

После раскрытия квадратов мы убеждаемся, что параллельный перенос приводит к появлению линейных слагаемых и изменению неоднородности, но при этом не изменяет старшие члены. А, следовательно, если в исходном уравнении не было перекрестного слагаемого, содержащего произведение xy, то и в конечном выражении это слагаемое будет отсутствовать. Следовательно, справедливо следующее свойство параллельного переноса:

Параллельный перенос не изменяет старших членов уравнения второго порядка.

Предположим теперь, что центр канонической системы отсче- та совпадает с центром данной системы отсчета, и каноническая система повернута относительно исходной на некоторый угол ϕ.

.Тогда координаты в этих системах отсчета связаны между собой соотношениями

x = x cosϕ − y sinϕ					x	= xcosϕ + y sinϕ	.
	c	c			c	= −xsinϕ + y cosϕ
y = xc sinϕ + yc cosϕ				yc

Подставляя эти соотношения в каноническое уравнение эллипса, получаем уравнение эллипса, который повернут на некоторый угол относительно канонической системы координат:

	(x cosϕ + y sinϕ )2	+	(−xsinϕ + y cosϕ )2	=1.
	a2		b2

Мы видим, что поворот системы координат приводит к изменению старших членов и, что самое главное, он приводит к появлению перекрестного слагаемого. Что касается взаимосвязи коэффициентов после поворота, то можно сделать следующий вывод:

При повороте старшие члены выражаются через старшие члены в исходной системе координат, а младшие — через младшие члены. Неоднородность, или свободный член, при повороте не изменяется.

Другими словами, поворот не «смешивает» между собой старшие, младшие и свободный члены.

281

III. Кривые и поверхности второго порядка

Теперь мы знаем, как можно из канонического уравнения получить общее уравнение второго порядка (19.4). Попробуем теперь решить обратную задачу — из общего уравнения кривой второго порядка определить каноническое уравнение кривой и каноническую систему координат.

19.2. «Стандартное» упрощение уравнения кривой второго порядка. Поворот системы координат

Основное отличие общего уравнения (19.4) от канонических уравнений состоит в наличии «перекрестного» слагаемого 2a12 xy, содержащего обе переменные — и x, è y. Если мы вспомним закон преобразования координат при повороте системы координат на угол ϕ :

x = x1 cosϕ − y1 sinϕ	,	(19.5)
y = x1 sinϕ + y1 cosϕ

то мы заметим, что в этих преобразованиях координаты «перемешиваются», и, например, квадрат переменной x будет содержать как величину x12 , так и величины y12 è x1 y1. Поэтому можно предположить, что если в соотношении (19.4) перейти к новым координатам, то перекрестные члены исчезнут. Проведем такие преобразования, рассматривая пока лишь старшие члены в уравнении (19.4).

a x2	+ 2a xy + a		y2		= a		(x cosϕ − y sinϕ )2			+
11	12	22				11		1	1
	+2a12 (x1 cosϕ − y1 sinϕ )(x1 sinϕ +
	+y cosϕ ) + a		22	(x sinϕ + y cosϕ )2 =
	1				1			1
	= b	x2	+ 2b			x y +b			y2 .	(19.6)
	11	1			12	1	1	22	1

Буквами b мы обозначили коэффициенты в уравнении исследуемой кривой в новой системе отсчета. Из полученного соотношения можно найти связь между коэффициентами b è a.

282