Учебник

16. Эллипс

фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы постоянно и равно эксцентриситету эллипса. Следовательно, это правило может служить еще одним определением эллипса.

Эллипс — это множество точек, в котором отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Если сравнить это определение с определением параболы, то мы увидим, что эти определения удивительно похожи. Оказывается, параболу можно описывать как эллипс, у которого эксцентриситет равен единице. Это не случайное совпадение. Позже мы убедимся, что у этих кривых есть большое количество общих свойств. Это, кроме всего прочего, следует из того, что как эллипс, так и парабола являются кривыми второго порядка.

Задача 16.1. Найдите закон движения точки, максимально удаленной в выбранном направлении от фокуса эллипса при равномерном его вращении вокруг этого фокуса (см. рис. 16.3).

17. ГИПЕРБОЛА

17.1. Каноническое уравнение гиперболы

Приведем определение гиперболы как геометрического множества точек, то есть независимого от системы координат.

Гипербола — это множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Как и в случае с параболой и эллипсом, уравнение гиперболы будет разным в разных системах отсчета, а сама гипербола как геометрическая фигура не будет изменяться. Ее форма и размеры в любой системе отсчета будут одинаковыми.

Каноническую систему отсчета для гиперболы, в которой уравнение гиперболы будет особенно простым, выбираем точно таким же образом, как и для эллипса. Вначале предположим, что заданные фокусы различны и обозначим их F1 è F2. Тогда эти две точки однозначно определяют прямую, проходящую через них. Выберем эту прямую в качестве оси абсцисс нашей системы координат, а середину отрезка [F1F2 ] обозначим точкой O и выберем началом отсчета. В качестве оси ординат выберем прямую, проходящую че- рез точку O и перпендикулярную прямой F1F2 . Такая система отсчета с точностью до замены направления осей на противоположные однозначно определяется двумя заданными фокусами эллипса и называется канонической системой отсчета гиперболы. Пример канонической системы отсчета приведен на рис.17.1.

254

17. Гипербола

Обозначим расстояние

между

фокусами

гиперболы как

2c =

F1F2

, тогда фокусы

в этой системе отсчета будут иметь

координаты F1 = (c,0)

è F2 = (−c,0).

Пусть некоторая точка M

с координатами (x, y)

принадлежит гиперболе. Тогда, согласно

определению, разность расстояний от точки M до фокусов есть

постоянная величина, которую мы обозначим как 2a :

MF2

−

MF1

= 2a = const.

(17.1)

Ðèñ. 17.1. Определение гиперболы. Каноническая система отсчета гиперболы

Точки F2 MF1 определяют треугольник, поэтому для получе- ния соотношения между величинами a è c, как и в случае с эллипсом, воспользуемся одним из неравенств треугольника (см. задачу 5.2), согласно которому длина каждой из его сторон больше модуля разности длин двух других его сторон. В частности, F1F2 = 2c > MF1 − MF2 = 2a. Отсюда мы получаем одно из важных свойств гиперболы:

c > a.

(17.2)

Теперь перепишем уравнение (17.1) в координатном виде, используя выражения для расстояния между двумя точками через их координаты:

255

III. Кривые и поверхности второго порядка

MF

−

MF

= (x

F

− x )

2 +( y

F

− y

M

)2

−

2

1

M

2

2

− (x

F

− x )2

+( y

F

− y

M

)2

=

M

1

1

= (c + x)2 +(0 − y)2 − (c − x)2 + (0 − y)2 = = (c + x)2 + y2 − (c − x)2 + y2 = 2a.

Чтобы избавиться от радикалов, мы умножим это равенство на сумму радикалов, чтобы можно было воспользоваться формулой для разности квадратов:

((c + x)2 + y2 − (c − x)2 + y2 )((c + x)2 + y2 + (c − x)2 + y2 )= = 2a((c + x)2 + y2 − (c − x)2 + y2 )..

Откуда, проводя те же действия, что и в случае с эллипсом, получаем аналогичное соотношение:

x2 1− c2 + y2 = a2 −c2 . a2

В случае с гиперболой, когда c > a, положительной является величина

b2 = c2 −a2 .

С использованием этой величины уравнение гиперболы записывается в виде

	x2	−	y2	=1.	(17.3)
	a2		b2

Мы получили так называемое каноническое уравнение гиперболы. Исследуем свойства гиперболы, исходя из ее канонического уравнения.

256

										17. Гипербола
									17.2. Основные свойства гиперболы
Èç	канонического								уравнения гиперболы получаем, что
y = ±b		x2	−1.	Отсюда следует, что модуль переменной x прини-
		a2
				a ≤		x		,	а переменная y — любые вещественные
мает значения

значения:

a ≤ x è x ≤ −a, −∞ ≤ y ≤ ∞.

Мы видим, что гипербола состоит их двух частей, которые называются ветви гиперболы. Одна ветвь лежит в области положительных значений переменной x, а называется правой:

a ≤ x — правая ветвь,

а вторая, левая, лежит в области отрицательных значений переменной x :

x ≤ −a — левая ветвь.

Значения переменной y оказались неограниченными. В этом смысле гипербола отличается от эллипса и больше походит на параболу.

Заметим, однако, что вторая ветвь гиперболы появляется только при построении гиперболы, исходя из канонического уравнения, в которое входит квадрат величины a. Таким образом, знак a оказывается несущественным. Исходное же определение гиперболы описывает лишь одну из ветвей. Поэтому его иногда обобщают, требуя, чтобы постоянной величиной была абсолютная величина разности расстояний до фокусов:

MF2 − MF1 = const.

Рассмотрим, как гипербола ведет себя при больших значениях координат. Из выражения для переменной y следует:

x2

x

a

2

x→±∞

x

1

a

2

y = ±b

−1 = ±b

1

−

→±b

1

−

.

a

2

a

x

a

2 x

257

III. Кривые и поверхности второго порядка

Таким образом, при увеличении координат ветви гиперболы бесконечно близко приближаются к двум прямым, заданным уравнениями

y = ±b	x	,	(17.4)
1,2	a

причем гипербола приближается к ним со стороны оси абсцисс, то есть гипербола лежит в тех углах, образованных этими прямыми, в которых содержится ось абсцисс. Эти прямые называются асимптотами гиперболы.

Наличие асимптот является одним из главных различий гипербол и парабол. Ведь парабола, как мы знаем, при увеличении значений координат «прижимается» к своей оси, а гипербола — «прижимается» к асимптотам, угол между которыми не равен нулю. Вторым отличием является количество ветвей, которых

óгиперболы две, а у параболы одна. Если бы гипербола имела уравнение

	x2	−	y2	= −1,	(17.5)
	a2		b2

то есть справа бы стояла минус единица, то для такой гиперболы выполнялось бы соотношение b ≤ y , и она лежала бы в том углу, образованном асимптотами (17.4), который содержит ось ординат. Такая гипербола называется сопряженной гиперболой, заданной уравнением (17.3). Заметим, что сопряженные между собой гиперболы имеют одинаковые асимптоты. Таким образом, на плоскости можно выделить область, содержащую точки с координатами

−a ≤ x ≤ a è −b ≤ y ≤ b,

вне которой лежат сопряженные гиперболы. Как и в случае с эллипсом, эта область называется основным прямоугольником, при этом диагоналями основного прямоугольника являются асимптоты.

Рассмотрим свойства симметрии гиперболы. Из канонического уравнения гиперболы следует, что перемена знака координат

258

17. Гипербола

не меняет самого уравнения, значит, гипербола имеет две оси симметрии:

x ↔ −x îñü OY — ось симметрии гиперболы,

y ↔ −y îñü OX — ось симметрии гиперболы.

Наличие центра симметрии следует из того, что одновременная перемена знака координат не меняет канонического уравнения:

x		−x	òîêà	O — центр симметрии гиперболы.
	↔
y	−y

Здесь проявляется еще одно существенное отличие гиперболы от эллипса. Если у эллипса обе оси симметрии имеют общие точ- ки с эллипсом, а именно вершины, то в случае гиперболы только одна из осей пересекает гиперболу. Это та ось, которая содержит фокусы гиперболы, и называется она вещественной осью. В канонической системе отсчета вещественная ось совпадает с осью абсцисс. Вторая ось не имеет общих точек с гиперболой, она называется мнимой осью и в канонической системе отсчета совпадает с осью ординат. Точки пересечения вещественной оси с гиперболой называются вершинами гиперболы.

На рис. 17.2 отображены основные параметры гиперболы.

Ðèñ. 17.2. Вид гиперболы. Основные характеристики гиперболы

259

III.Кривые и поверхности второго порядка

Âслучае с эллипсом характерные размеры имели не только кривые, параллельные осям координат, но и отрезок, направленный под углом к ним. А именно, отрезок, соединяющий фокус и ближнюю к фокусу вершину был равен по длине большой полуоси эллипса. В случае с гиперболой также существует направленный под углом к оси отрезок, имеющий характерную для гиперболы длину. Действительно, половина длины диагонали, или длина отрезка OD, равна c, то есть расстоянию от центра

до фокуса. Это можно показать, исходя из определения величины b2 = c2 −a2 :

OD 2 = OA 2 + AD 2 = a2 +b2 = c2 .

Как и в случае с эллипсом, для гиперболы возможна ситуация, когда величины a è b совпадают. В этом случае основной прямоугольник становится квадратом, угол между асимптотами оказывается прямым, а уравнение гиперболы приобретает вид:

x2 − y2 =1. a2 a2

Значит, гипербола будет иметь такую же форму, как и сопряженная ей гипербола. Такая гипербола называется равнобочная гипербола.

17.3. Определение гиперболы с помощью директрисы и эксцентриситета

Введем для гиперболы понятие эксцентриситета, так же, как это мы делали для эллипса:

e = ac .

Если в случае с эллипсом эксцентриситет характеризовал степень отличия эллипса от окружности, то для гиперболы он мо-

260

17. Гипербола

жет характеризовать степень ее отличия от равнобочной гиперболы, потому что

	e2 =	c2	= a2 +b2	=1+ b2 .
		a2
			a2	a2

Мы видим, что эксцентриситет у гиперболы всегда больше единицы, а для равнобочной гиперболы он равен

e(a = b) = 1+b2 / a2 = 2.

Теперь построим фокальную хорду гиперболы NN1 и найдем половину ее длины. Эту величину назовем параметром гиперболы:

a

−c

p = y

= b 1−

c

2

= b

(

2

2

)

= b

2

N

.

a2

a2

a

Ðèñ. 17.3. Определение гиперболы через директрису и эксцентриситет

261

III. Кривые и поверхности второго порядка

Теперь давайте, как и для эллипса, проведем прямую, перпендикулярную вещественной оси гиперболы и лежащую между фокусами на расстоянии ep от ближайшего фокуса:

F1D1 = ep ,

ãäå D1 — точка пересечения этой прямой и оси гиперболы. Эта прямая называется директрисой гиперболы. Уравнение этой и симметричной ей директрисы имеют вид:

x = ± a	,	(16.8)
e

в чем можно убедиться, если найти расстояние от директрис до начал отсчета:

c

c

−

b2

c2 −b2

p

ce − p

=

a

=

a

=

a

.

x

D

=

OD

=

OF

−

FD

= c −

=

a

1

1

1

e

e

e

e

e

1

Отношение расстояния от точки N,

лежащей на фокальной

хорде до фокуса p,

к расстоянию от точки

N до директрисы

NK = F D =

p

, равно эксцентриситету. Найдем это же отноше-

1

1

e

ние для любой другой точки гиперболы M :

F M

(xM − xF )2 +( yM − yF )

2

1

=

1

1

=

ML

(xM − xL )2 +( yM − yL )2

(x −c)2 + y2

(x −c)

2

+b

2

(

x2

−1)

a2

=

=

=

xL − x

a

2

− x

e

262