книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

и удовлетворяющие условиям излучении Фока

U(x,t)\

tC,

dU

і

і дії-І І С

( 1 . 4 )

0а

dt

'

дії

dU

_

+

•>- о

при

дх

dt

Стремление

к

нулю

в

условии ( 1 , 4 )

— равномерном no

(-оо

t

+

о о ; ,

В настоящем параграфе будет показано, что при опреде­

ленных

условиях

гладкости

и убывания на

бесконечности,

на­

ложенных

на

функции

?(X,t)

и p(x,t)

,

существует и

един­

ственно

решение

задачи

( 1 . 1 ) — ( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 )

и задачи

( 1.2.) —

( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) .

2 .

Единственность

решения

Л е м м а

І . І .

Решение

задачи

( 1 . 1 ) - (

1 . 3 ) - ( 1 . 4 )

единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о

,

Предположим,

что

существует

два

решения

указанной задачи.

Тогда их

разность

U(x,£)

удов ­

летворяет

однородному уравнению

граничному

условию

U(0,t)

= 0

( 1 . 6 )

и условиям

излучения

Фока

( 1 . 4 ) .

Решение

задачи

Коши

для

уравнения

( 1 . 5 ) с граничным,

условием

( 1 . 6 )

и начальными

данными при

t~ta

имеет при

sKii-tB

вид

	+ 1	( 1 . 7 )
	г j
	t'X-t„

I P O

Из	формулы	( 1 . 7 ) получаем, что для любой точки (X,t)
при і	~ ° °	справедливо равенство

'3U(u,ta)

dllii/Jo)

( 1 . 8 )

2

д,

dt

Из ( 1 . 8 )

легко

получаем

оценку

\U(x,t)\±x

•

max

dt

( 1 . 9 )

i-x-t0&yit

+

x-t0

Учитывая,

что

из

условия

уё

[I

-Х-

t 0 t

t +

х-£0~]

и

следует,

что

и

у - ^ - + <х>

,

а

также

исполь­

зуя условия излучения Фока ( 1 . 4 ) ,

получаем,

что правая часть

неравенства ( 1 . 9 ) при i0-^~~°°

стремится

к

нулю.

Таким

образом,

U-(x,t)

— О

для

любой

точки

(x,t)

.

Т е м

самым

доказана

единственность

решения

задачи.

3 .

Существование

решения

Л е м м а

1 . 2 . Пусть

правая

часть

уравнения ( 1 . 1 )

р(х,£)

удовлетворяет

условию

\р(х,Ь\

б

&

>0,

1 . 1 0 )

Тогда функция

x+t-T

С

U(x,i)

=

p(y,€)dy.

d?

p(y,*:)dy

( 1 . 1 1 )

2^

- оо

i'-X-t

t-X

x-t+?

является

решением

задачи

( 1 . 1 ) - (

1 . 3 ) - (

1 . 4 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Непосредственно

проверим, что

( 1 . 1 1 )

является решением

задачи ( 1 . 1 ) — ( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 ) .

Из

( 1 . 1 1 )

легко

получаем,

что

U (0,t)•=• О

, т . е .

граничное условие

( 1 . 3 )

выполняется. Покажем,

что

U(x,£)

1 0 1

равномерно ограниченная функция. Действительно, из ( 1 . 1 1 ) получаем, учитывая ( 1 . 1 0 ) , что

d<r \p(y,t)\dy4,

-\

dt

— с d < +00

Производя	дифференцирование						( 1 . 1 1 ) ,	имеем
		і						і-ас
dU(x,t)_	/	p	(x + t-				rrr)dr- •f	p(t-x-T,T)dT+
Jt	J
+—p(X-t+T,T)				dr		f
i-x								( 1 . 1 2 )
dU(x,t)_	f	p(X		+		t-T,T)dT+-		p(t-x-T,T)dT-
dx	г-a)						j
							-00
p(x-t+r,T)					dT,
i-x								( 1 . 1 3 )
Из равенств ( 1 . 1 2 )				и	( 1 . 1 3 )		можно	получить равномерную
ограниченность		первых			производных функций U (х, t) . Оста*
лось проверить последнее условие излучения.
Из ( 1 . 1 2 )		и	( 1 . 1 3 )			получаем
	dU			dU		Г*
	OIL		+		=		P(x+t-T,Z)dT.
	—					J-00
	ox			dt
						1 0 2

Откуда, учитывая

( 1 . 1 0 )

,

dU

6U

t

дх +

~дї

с

\

dt

о

и+\х\)1+ь

J

u +

\t\)ut

( 1 . 1 4 )

Стремление

к

нулю

в

( 1 . 1 4 )

-

равномерное

по

t

при

условии

сс-ь-оо

t т . е . фуігкиия

U(x,t)

удовлетворяв

ет

условиям

излучения

( 1 . 3 ) .

Функция

U(x,t)

,

даваемая

( 1 . 1 1 ) , представляет

с о ­

бой

свертку правой

части

p(x,t)

с запаздывающей

функци­

ей

Грина

для

уравнения

( 1 . 1 ) , а

поэтому удовлетворяет э т о ­

му

уравнению.

4 . Задача для возмущенного уравнения

Рассмотрим задачу ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) - ( 1 , 4 ) для возмущенного уравнения.

Будем предполагать, что

\fix,i)\±	- — _ _ £	_ _ _ _ _	_ _ _	? £.>а		( 1 . 1 5 )
\c(x,t)\	4			_	> о	( 1 . 1 6 )
Используя	лемму 1 . 1	и 1 . 2 ,	получаем,		что задача	( 1 . 2 ) -
( 1 . 3 ) — ( 1 . 4 ) эквивалентна		следующему		интегральному уравнению
п пространстве
і-х	і+х-ї	І
			C(tf,f)U(ff.t)clT,			( 1 . 1 7 )
	J
0 0	i-x-t	І-х	x-t+T

I 0 3

где
		i-x. t + x-f				t	Xt-i-Ґ
k(x,t) =							d?
								( 1 . 1 8 )
Уравнение		( 1 . 1 7 ) запишем в			операторной форме
где			и, — h + А и					( 1 . 1 9 )
	i-cc Ьх-Х			t		x.+t-t
Au=-i	dr				dr		c(y,T)U(ytZ)dt/.	( 1 . 2 0 )
	t-x-T			i-x		X-tfT
Для функций из			C(Ea)	введем			норму
			=	вир			\u(x,t)\	( 1 . 2 1 )
	Используя		норму ||.||		,	определение ( 1 . 2 0 )		операто­
ра А	и оценку		( 1 . 1 6 ) ,	легко	получить, что для тобой
				і
			\\Ьи\\т^«-1Т)\\и\\т4т ,					( 1 . 2 2 )
где
<* (Г) = •		\C(y,r)\dr.					£>а.	(1 . 23 )

10'1

Таким образом,

в с е

условия леммы

1 . 2

г л . 1

выполняются.

Тогда

существует и единственно

решение

уравнения

( 1 . 1 8 )

в пространстве С'(£г) .

Так как

задача

( 1 . 2 ) - (

1 . 3 ) - ( 1 . 4 )

эквивалентна

уравнению

( 1 . 1 8 ) ,

то

приходим

к

следующему

результату.

Л е м м а

1 . 3 .

Существует

и

единственно

решение з а ­

дачи ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) - ( 1 . 4 ) ,

если

C(X,t)

и ptx,t)

удовлетворя­

ют

условиям

( 1 . 1 5 ) ,

( 1 . 1 6 ) .

§

2 . Задача

рассеяния для

уравнения

струны на

полуоси

1 .

Постановка

задачи

Рассмотрим для возмущенного уравнения струны на полу­

оси

О £ X й 0

0

следующую

нестационарную

задачу

рассеяния.

Требуется найти

решение

уравнения

dZLL(X,t)

дги.(х,і)

( 2 . 1 )

dt2-

д х г

1 C(Xj)

LL(X,t)

=0,

удовлетворяющее

краевому условию

U(0,t)=0

( 2 . 2 )

к имеющее вид

U(X,t)-a

(t-fx)^

V(X,t)

,

( 2 . 3 ) . .

где

a(t+x)

- заданная падающая волна, a

V(x,t)

- р а с ­

сеянная волна, которая

равномерно

по

t

удовлетворяет у с л о ­

виям

излучения

\Уіх,і)\йс:,

дУ

( 2 . 4 )

дх

дх

Jt

при

1. 0 5

Отметим,

что в

стационарном случае, когда

потенциал

не зависит

от

с ,

а

падающая

волна

alt

+ X ) = e

,

задача ( 2 . 1 ) - ( 2 . 4 )

сводится разделением

переменных

к

обыч­

ной задаче

рассеяния

для уравнения

Штурма—Лиувилля

В дальнейшем будем -предполагать, что потенциал

C(x,t)

мажорируется функцией

,где

t>0 .

Т е о р е м а

III. 1 .

Пусть

a(S>

- непрерывно

дифферен­

цируемая и равномерно

ограниченная

функция. Тогда сущест ­

вует

и единственно

решение

u(x,t)

нестационарной

з а д а ­

чи рассеяния ( 2 . 1 ) - ( 2 . 4 ) .

Это

решение при

,х-*°о

предста­

вимо

в виде

u(X,t)

= atf+x)-8U-x)

+ 0(1') г

( 2 . 5 )

где отраженная

волна

б(£~х)

связана

с решением

u(x,i)

равенством

п

г

c(y,T)u(y,t)dT.

( 2 . 6 )

О

5 . у

Доказательство

теоремы

получаем из

леммы

1.3*

примененной

к функции

w(x,t)

=

v(x,t)+

a(t-x)

= и

(x,t)-a(t

+ cc-) +

a(i'x),

Действительно,

функция

г&(,х,{)

удовлетворяет

уравнению

дггії

дггс>

,

,

г

-,

( 2 . 7 )

—

1 +с(х,Ъи>=-с(х,£)\a(t+x)-a(t-x)\

dt*

дх.1

J

'

краевому условию

ur(.0,t)

= 0

( 2 . 8 )

<

и, кроме того, условиям излучения.

Учитывая

связи

между

функцией

и)- и и

и интегральное

уравнение

для задачи

( 2 . 7 ) - ( 2 . 8 ) , получаем

интегральное

урав ­

нение

для функции

и(х,£)

в

пространстве

непрерывных

функ­

ций с

равномерной

нормой

и(х,£)

-

a

(t

+ x)-a

(t-x)-

i-x

x+i-t

і

x+t-T

c(y<c)u(yr)dy-

dt

c(yr)u(y,4r)dy

i-x-r

t-x

x-i+r

( 2 . 9 )

Если ввести в рассмотрение отраженную волну

е(і~х)

с о г ­

ласно ( 2 . 6 ) ,

то уравнение

( 2 . 9 )

примет вид

a(x,t)

= a(

t+x)-

6

(t-x)+t

:(yz)d'

( 2 . 1 0 )

х

Из ( 2 . 1 0 )

и оценки

для потенциала

с(х,£)

легко

получаем

( 2 . 5 ) . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь асимптотику решения нестационарной

задачи ( 2 . 1 ) - ( 2 . 2 ) - ( 2 . 3 ) - ( 2 . 4 )

при

t -*• і

°о

.Непосред­

ственно

из

( 2 . 9 ) получаем, что-

равномерно

по

х

и-(х,£)

-

a(t

+ x)-a(i-x)

+ O(-f)

П ри

j

f

- (

2 . 1 1 )

С

другой стороны, исключая

txCi+xy

в

уравнении

( 2 . 1 0 ) ,

используя ( 2 . 6 ) ,

имеем

t+%	X-t+T	оо	T-t+X
dl	c(y,T)u(y,z)dy-^	dr	c(y,T)u(y,T)dT.
		t**	T-t-fi	( 2 . 1 2 )
Из ( 2 . 1 2 )	получаем, что равномерно по			хе[о,<*>)

u(x,i)=

B(t + x-)-6(t-x.)+Q(0

при

і!

*

+ ™ .

( 2 . 1 3 ) '

2.

Оператор рассеяния

Согласно

теореме

111.1

каждой

функции

a.(s>

, задающей

падающую

волну

a(t+x.),

соответствует

функция

ёС^У

,

опре­

деляющая

отраженную волну

в(і-х)

.

Таким

образом,

опре­

делен

оператор

S

,

переводящий

a(S)

в

8(s)

.

Назовем

этот

оператор

$

оператором

рассеяния:

<&a(s)

=

й(з)

,

- м ^ « с » ,

( 2 . 1 4 )

Оператор

&

будем

рассматривать

в пространстве

Lg (- °°,

+ °°j .

Отметим, что в случае, когда

потенциал

с (х,

£)~ О . Р а с ­

сеянная волна

В(£-х)-=

а(-б-х)

л в

этом

случае

оператор

рассзяния

£

равен единичному

оператору.

§ 3 . Обратная задача для уравнения струны на полуоси

Задача нестационарного рассеяния для возмущенного уравне­ ния струны на полуоси рассмотрена в предыдущем параграфе. В частности, показано ( 2 . 1 0 ) , что решение и (-л,і) такой задачи удовлетворяет уравнению

	c(y,r)a(y7t)dydf	7	( 3 . 1 )
	k(x,t)
г д е
K(^c,-t)-^Cy,t):	y-x^\i-t\^.		( 3 . 2 )

Для изучения уравнения ( 3 . 1 ) удобно ввести операторы,обоб­ щающие на нестационарный случай обычные операторы преобразо­ вания стационарной задачи рассеяния для уравнения Штурма-Лиу- вилля на полуоси.

1 . Операторы преобразования

Рассмотрим специальные интегральные уравнения

J(X,t) -ос U -1-х.) + ( 3 . 3 )

k(x,t)

	/ Г	( 3	. 4 )
Здесь J?(x,t)	и Ji(x,t)	- неизвестные функции,!*:^	кp(s)-
проиэвольные	заданные непрерывные равномерно ограниченные

функции,определенные на всей оси, а потенциал c(x,t) удов ­ летворяет требованиям, обеспечивающим существование и един­

ственность		задачи	нестационарного	рассеяния,	т . е .
			с
C(X,t)	і	J	;	, где	S>0

Эту оценку будем предполагать всюду в дальнейшем.

Ле м м а 3 . 1 . Существует и единственно в пространстве решение J(x,t) уравнения ( 3 . 3 ) при любой правой

части		oi(j)€:C(b)		. Решение	уравнения ( 3 . 3 ) представимо,
в виде				«>
•A(.X,t:)=ctU+X~)			+	Н_ (ос, 1,4 Уос (с% -x)dt,		=
=	(Г	+ /1(х))Г^сс(П9				( 3 . 5 )
где	при фиксированном X Н_ (х)				— интегральный	оператор, ядро
которого Н_(Х, t,c%)				является	ядром Гильберта—Шмидта.
При		Х-*-оо

\\У-<х)\\ ~*-0 , х-> + <*> .

( 3 . 6 )