книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

'-Ф+Pz	#РЛҐ(Ґ+РЛЕРЛГ(І+П-Ї]РЛ							.-
-рл1и-рхряхурлґрул						=
=-РЛ(Г+¥РХҐЇРЛ-Р^Г-Р^/УРЛ)-ГГРЛ								.	( 4 . 3 6 )
Если обозначить через						оператор		-(4+ ffP^)'1		і/
то согласно		теореме			1 . 3 , оператор		/*- 3^= (Г+К			)(І+К+)~*
где К+(і,а)=*Ґл				(t,j)
Flo	из	( 4 . 3 6 )		получаем, что при				^ьз^Л
					f1(t,7l)F_(7Z,s)d4			,		( 4 . 3 7 )
					1					,
где ^	(t,s)	— ядро			оператора fj		= (I~ P^PQi^Pj)'			~1 •
Полагая	в ( 4 . 3 7 ) Л~£з					, получаем		первую	формулу
( 4 . 3 4 ) .
Аналогично			получаем
Если обозначить			через					, то		согласно
теореме 1 . 2 _ оператор					1+	(TtM^)~f(I+ М_)				, гд е
M+fJ,S)=		Ft (t,s)			.	Из ( 4 . 3 8 )		при	г?^о> полу­
чаем					х
ГЄ,Л(І,В)~		Ъи>*>~\			F-(i>V)fl<4''s)ctj?			*		( 4 . 3 9 )

где

Г л

~ ( Г - 0 х # Р л

^ 2 Г ' - Г

Полагая

в

( 4 . 3 9 )

d = t

,

имеем

вторую

формулу

( 4 . 3 4 ) .

Поступая

также с

Л

и Г

л

,

получаем

( 4 . 4 0 )

Из

этих

равенств,

на

основании

теоремы

1.2

и

1 . 3

потуча-

ем

остальные

два

равенства

из

( 4 . 3 4 ) .

Замечание к

теореме 1 . 6 .

В

теореме дается

метод,как

двустороннефакторчзуемый оператор

А

восстанавливать

по

Ff.

и

v" _

. Е. силу

симметрии

условие

относительно А

и А'

легко

сформулировать

правило

восстановления

А

по F_

и

.

Для

этого

достаточно

А

п

A~f

,

F

u

if

поменять

ролями.

В теореме 1,6 восстановление оператора

А

по

u f/_

основывается

на операторах,

фигурирующих в условии 2 )

т е о ­

ремы 1 . 5 . Однако

это восстановление можно связать и с опе ­

раторами из условий 3 )

и 4 ) той же теоремы. Приведем

с о о т -

ьетствуюшна результаты.

Т е о р е м а

1 . 7

.

Пусть

оператор А -Ґ+

F

допускает

двустороннюю

факторизацию. Тогда

существует А~*~ 1+ if

,

и оператор

А

однозначно

определяется

по двум

вольтерров—

с к т л опеиаторам

F+

и

if_

.

При этом, для любого

Л

суще ­

ствуют

оперчгоры

Г41І.

Г. п ,

г'= /,2,3,

У

:

'Ы

<(F> ]

-

~

Г.

з,х/

где

к

^Z~{QX-V

°

' ^-f*^2)

' а

^1 - т Р а н с п ° н « р о -

ванная

М^

операторная

матрица.

Оператор

А

представим

в

следующих видах:

A = (I+M_)~'(I+

Mf.)

( 4 . 4 2 )

t

г де
											( 4 . 4 3 )
а Г.		j_(£, s) —			ядра операторов			/\ ^			(£=/,2,3,4)
		Доказательство теоремы 1 . 7 можно получить на осно ­
вании		теоремы		1 . 6 . Действительно, из						определения / } ^ в
теореме 1 . 6 и				Г. £		в теореме			1 . 7	легко	получить'
Р.Г.		,Р.=Р,		Г.	, Р .	,	г =	/,	4 ;
											( 4 . 4 4 )
Тогда		формулы		( 4 . 4 3 )		следуют		из	( 4 . 3 4 ) .
	Т е о р е м а			1 . 8 .		Пусть	А	-	двусторонне факторизуе—
мый	оператор,			a	F-A-I	,	У-А~1-1			.	Тогда по F+
и		однозначно восстанавливается								А	. При этом,
для	любого		J-	существуют			операторы
											( 4 . 4 5 )
Оператор			А	представим в			виде
											( 4 . 4 6 )
где

Л

3

( 4 . 4 7 )

Д о к а з а т е л ь с т во теоремы 1 . 8 следует из легко получа­ емых равенств

						( 4 . 4 8 )
где /^ и	/_j	- определены в теореме 1 .	8 ,	а	^	( * " = £ 2 Д £ )
в теореме	1 . 7 .	Тогда из ( 4 . 4 8 ) и ( 4 . 4 3 )		получаем		( 4 . 4 7 ) .

г. Л Л В Л

I I

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗХДЛЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИИ

Под обратной задачей	рассеяния	понимают задачу в о с ­
становления потенциала по	известным	данным	рассеяния. В
решении обратной задачи важную роль		играют,	так	н а з ы в а е ­
мые, операторы преобразования. В настоящей			главе	с т р о я т ­
ся аналоги операторов преобразования		для нестационарной

задачи рассеяния, что позволяет доказать однозначную опре­ деленность нестационарного потенциала по известному опера­ тору рассеяния и построить алгоритм восстановления потен­ циала по оператору рассеяния.

§ 1 . Корректная задача без начальных данных для гиперболической системы уравнений на всей оси

1 . Постановка задачи '

Рассмотрим систему уравнений

dt		дзс		C1(jC,t)U},U,t)=pi(X,t)					,	Ц д )
duz(.x,t)		due(x,t)		Сг (х,	і)и<	(x,t)	= р		(x,t),
dt		дх	-
				? v	' '	*		^ '
при -	оо < ас < + <*»		•
Будем	искать ограниченные				решения		системы		( 1 . 1 ) ,	к о т о ­
рые при		фиксированном		і	и Jar|->-oo			стремятся		к нулю
и к ( х ,		i)-^0,	(А=/,2)			при		\х\-*-~°		( 1 . 2 )

и равномерно по te	+	удовлетворяют условиям
излучения

дд \

—	+	Г Г ) и к ( х		, * ^ 0 ,	\	*	\	*	=	/,2 .	( 1 . 3 )
д \х.\		di	J
Условия		излучения		( 1 . 2 )	можно		переписать			в виде
			д	д
			0	д\				при		л ; - * - »	( 1 , 4 )
				\и^(х.^)-^>			О ,
	При определенных условиях убывания на бесконечности,
наложенных			на функции		,	Сг	и	ff,	рг	, в этом пара­
графе	будет		показано, что		существует			и	единственно		решение

задачи ( 1 . 1 ) —		( 1 . 2 ) — ( 1 . 3 ) . В - пачале рассмотрим невозмущон—
ную систему	(	1 . 1 ) ,	в которой	= с^, н	#
	2 . Задача для невоэмушенной				системы
Будем	искать		ограниченные	решения	системы

dt	дх	Г *
удовлетворяющие	условиям	( 1 . 2 ) — ( 1 . 4 ) .
Л е м м а 1	. 1 . Пусть

\РКМ)\		6	С—	— •		£>0;	А =	. ( 1 . 6 )
		(Ulcc\)"*(U\t\)U£
Тогда	существует и		единственно		решение		задачи	( 1 . 5 ) — ( 1 . 2 ) -
( 1 . 4 ) .	Это	решение	представимо		в	виде
			ї					( 1 . 7 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Очень

легко

проверить, что ( 1 . 7 )

дает

решение задачи

( 1 . 5 ) — ( 1 . 2 ) - ( 1 . 4 ) .

Единственность

р е - ,

шения следует из того, что однородные

(рі=.рг=.0)

у р а в ­

нения

( 1 . 5 )

имеют обшее

решение вида

u.^x,t)-Hx*t),

( 1 . 8 ) •

ug(x,t)=

g(x-t)

,

Однако

из условий

излучения

получаем, что' f'= О

и

д'-О

t

т . е . что

f=COnst

и

д —const

. Но

тогда из ( 1 . 2 )

п о ­

лучаем,

что

эти cons

t

е с т ь нули. Таким

образом,

решение

однородной задачи

и^= О

и

ug=

О

. Это

дает единствен­

ность

решения.

3 . Задача для возмущенной

системы

Л е м м а

1 . 2 .

Пусть Pk(x,t)

удовлетворяют

услови ­

ям ( 1 ; б ) и

\ck(x,t)\^~

С

—

£ Х ? ;

( 1 < 9 )

Тогда

существует

и единственно

решение

задачи

( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) ~

( 1 . 3 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Перенося члены

с

потенциалами

Ck(x,t)

в правую

часть уравнения ( 1 . 1 )

и применяя

л е м ­

му 1 . 1 ,

получим,

что

задача

( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) — ( 1 . 3 )

эквивалент­

на системе .интегральных уравнений, в пространстве, непрерыв­ ных, равномеоно ограниченных функций:

где
		(*,*)	=	fifty,x	+	t-y)dy,
								( l . i i )
Систему	( 1 . 1 0 ) запишем			в операторном виде
		a - k + A u ,						( 1 . 1 2 )
где
u--				h =	(	hf(*,i)
	I
	X							( 1 . 1 3 )
	X
	\
К уравнению ( 1 . 1 2 )			применим		лемму 1 . 2		г л . 1 . Для	э т о г о
проверим выполнимость условия					леммы . В		нашем случае ||^||у,
для а =	( ^ ' )	имеет	вид
		М 1 г =		* и р		K ^ . o i .		( 1 . 1 4 )
				к={,2
Используя		это определение			нормы ? из		выражения	( 1 . 1 3 )
получим			Т
								( 1 . 1 5 )

		с
где	(Х(т)— (/у: i^!)			— >	£ ** &		> т - е -	условия	л е м ­
мы 1 . 2 выполнены,. Поэтому					существует		и единственно		огра ­
ниченное		решение	уравнения		( 1 . 1 2 )	при лобом		k , т . е . о д ­
нозначно		разрешима		система	( 1 , 1 0 ) ,	а	поэтому	однозначно
разрешима задача			( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) .

4 . Задача рассеяния

Рассмотрим гиперболическую систему

d t	д	Х		( 1 . 1 6 )
ди.лсс,ІЇ	C/UyCxJ)		UAJCJ)
_ _ Ё	= - — £	+ c.(x,t)		.

Невозмущенная система допускает обшее решение вида

											( 1 . 1 7 )
Если	х-* + оа	и	аг =	О	,	то ( 1 . 1 7 )			представляет па ­
дающую справа		волну«если		же		Д Г - > - 0	0	и	О. =	О	, то
( 1 . 1 7 )	— падающая		слева	волна.
Нестационарная задача					рассеяния			для системы			( 1 . 1 6 )
может	быть сформулирована				следующим			образом.		Требуется
найти ограниченное			решение		системы		уравнений			( 1 . 1 6 ) , и м е ­
ющее вид
LLCX,t)	=

ai

(x

+

t)

где ug(tx,t)—

\

, ,

_

j

- заданная

падающая волна,

аг(і-Х)

а

рассеяная

волна

u(x.,t)

удовлетворяет

условиям

излучения

/

д

д

(Л

—\гг.(х,і)-^0

при а : - > - « ,

( 1 . 1 9 )

\дя

d t l k

при

/ х / - » = ~

,

vk(x,t)-+0

Подставляя

( 1 . 1 8 )

в

уравнение

( 1 . 1 6 ) ,

для

v (ж,

і ) ,

г^-^(сс^і)

получаем

систему

уравнений

с,-г?

-

c ( x , t ) a s ( t - x ) ,

dt

dec

1

г

*

( 1 2

0 )

дії*

dvP

-

c9-v

=

с (x,t)af(jc+t)

.

—

+

—-

ді

<?x

1

г

Применяя

к

( 1 . 2 0 )

лемму 1 . 2 ,

получаем однозначную

разрешимость нестационарной

задачи

( 1 . 1 5 ) - (

1 . 1 8 ) - ( 1 . 1 9 ) .

Т е о р е м а

П . 1 .

Пусть

\С. (х,і)\<

С

Ц+\*.\)1+ЬШ\Ь\)<+*

'

£ > О

; (к

— -(,2.)

.

1

'

>Х

Тогда

для

любых

непрерьпзных,

равномерно

ограниченных

функций

a^(s)

,(А

= /,£)

с у щ е с т ­

вует и единственно решение нестационарной

задачи

рассеяния

( 1 . 1 6 ) - ( 1 . 1 8 ) - ( 1 . 1 9 ) .

Приведем интегральное уравнение, которому удовлетворя ­

ет

решение

Lt(x,i)

. Согласно

( 1 . 1 0 )

решение

системы

( 1 . 2 0 )

удовлетворяет

интегральным

уравнениям

,00

Если в ( 1 . 2 1 )	в м е с т о V^(x,f)	подставить	u.k(x,t)соглас­
но ( 1 . 1 8 ) , то	получим