книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

где элементы матрицы А_ являются вольтерровскнми операто­ рами с переменным нижним пределом, а элементы матрицы А + являются вольтерровскнми операторами с переменным верхним

пределом. Ядрами операторов L

Мппг(ж)

(п,т=/,2)

являются функции linmiX,t,^y

,

Мпт

,

рассмотрен­

ные

раньше. С учетом

( 2 . 6 7 ) и ( 2 . 6 8 ) , а

также

определения

( 2 . 2 0 )

оператора сдвига равенствам

( 2 . 6 6 )

можно придать вид

[Г + А_(х)]Г

a. = \£+A+(a:)]jr 8.

( 2 . 6 9 )

Учитывая,

что

существует согласно

лемме

1 . 1

г л . 1 ,

а ^ _ / -

£ х

,

из

( 2 . 6 9 ) и

определения

( 2 . 6 1 )

опе ­

ратора

рассеяния

получаем

6 = ^[1+А^)УХ^А,(х)]

fx.

( 2 . 7 0 )

Приравнивая

представление

u1(x,t)

в леммах

2 . 4

и

2 . 1

и в леммах 2 . 2

и 2 . 3 ,

а также

ug(x,t)

'

в лемма::

2 . 1 и

2 . 3

и в леммах

2 . 2

и

2 . 4 ,

получаем

( 2 . 7 1 )

Из этих равенств получаем, учитывая определение ( 2 . 6 1 ) оператора рассеяния, следующие представления

( 2 . 7 2 )

( 2 . 7 3 )

& \ = T *

(

І + М

г 2 - ( * » Z x

Равенства

( 2 . 7 2 ) и

( 2 . 7 3 )

можно

сокращенно

записать

в

матричном виде

так

1ён

О

\

.

.

1 = diag$=£3.(1+

diagА+

ш)

(i+ dingН+

(а))Гх,

N 0

ёы1

( 2 . 7 4 )

diag(S'%fjr+dtagAAx)Tf(L+diag

К_(х))%..

Полагая

х. = О

в

( 2 . 7 0 ) ,

получаем

4 = (1+А/0)Г<(Г+А_(0))

•

( 2 . 7 5 )

Откуда

4

£~1=U+AJO))-f(I+\Ul)).

( 2 . 7 6 )

Так

как операторы

А+(0)

и

А_(0)

являются

матричными

интегральными

операторами Г.-Ш.,

то

6 = I + F ,

а Т ' = / + # ,

( 2 . 7 7 )

где

F и

if -

интегральные

операторы Г.-Ш.

Займемся

получением

оценок

ядер

операторов F

ц

•*/ ,

С этой целью вспомним, что

ядра

А+ (О, zf,£,)

и A_(0,t,£,)

в

силу

определения ( 2 . 6 7 ) - ( 2 . 6 8 )

и

оценок ( 2 . 2 9 ) и

( 2 . 5 4 )

удовлетворяют оценкам

						С
Из равенств		( 2 . 7 5 )		и ( 2 . 7 6 )		и оценок ( 2 . 7 6 )				можно	полу­
чить оценки и для			F(t,ei)			и	. С	этой		целью	дока ­
жем следующую вспомогательную лемму.
Л е м м а		2 . 5 .		Пусть	Kf(t,e,),		K&(t,$)		,	K(tA)~
ядра, удовлетворяющие оценке
							£>0.			( 2 . 7 9 )
Тогда интегральные операторы К1 Кг							и	R—(.l4-K)~f-I
имеют ядра,		удовлетворяющие				той же	оценке ( 2 . 7 9 ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Действительно,			ядро		оператора
К,' К£ имеет		вид
											( 2 . 8 0 )
Учитывая	опенки		( 2 . 7 9 ) , приходим х				интегралу
+•00				CLTZ
											( 2 . 8 1 )
Так как	(/*\і	+ гг\)(1		+ \гг + е,\)г> Ґ+\Є-£,\							,то
						* 1					Q ( 2 . 8 2 )
		f+г
Аналогично,		учитывая, что (				)		*		/+ \i + £,|
получаем	из	( 2 . 8 1 )

(J+\t+t,\)l+t.

Перемножая оценки ( 2 . 8 2 ) и ( 2 . 8 3 ) , получаем

(ц-\і+і,\)г+г£-(п\і-е,\)'*г* '

т .е. У			удовлетворяет			оценке		( 2 . 7 9 ) .	Таким	образом,	ядро
КІ Кі		удовлетворяет				оценке		( 2 . 7 9 ) .		f
	Перейдем				к оценке		ядра	оператора R=il+K)		-I )	пред­
полагая,			что (1+кУ				существует. Ядро резольвенты				R
является			ядром		Г.-Ш. и удовлетворяет				уравнениям
											( 2 . 8 4 )
		Rit,e,)+^R(t,2)K<z,t,)ctz+K(t,e,)=0.
Из	( 2 . 8 4 )			получаем				;
								\R(t,7i)\*dtct4			У/г
Так	как		в	силу	( 2 . 7 9 )
				\\K(t£)\*dt $
											( 2 . 8 6 )
								с
							mt\)
то	из	( 2 . 8 5 )			имеем
											( 2 . 8 7 )
Учитывая				( 2 . 8 6 ) - ( 2 . 8 7 )			,из	( 2 . 8 4 )	получаем

				(-2.88)
Перепишем	( 2 . 8 4 ) в		виде
^ ( ^ ) ^ ( ^ ) Ч г		а д = - | ^ ^ { % ^ + / Г ^ , « ^ ? ,		( 2 . 8 9 )
где K£(t^)	=	\KU,7z)Ki7i£)d4.
Учитывая оценку		( 2 .	8 8 ) и ( 2 . 7 9 ) , иэ ( 2 . 8 9 ) имоем

( 2 . 9 0 )

Перепишем второе	уравнение ( 2 . 8 4 ) в виде
|R (t,b, > + Кft,£,)	- К£(t,t,) f- кз а,4 )|=

( 2 . 9 1 )

где

X3(t£)=)Kg(t,iz)K<ii.£,)dZ.

Подставляя оценку ( 2 . 9 0 ) и ( 2 . 7 9 ) в ( 2 . 9 1 ) , имеем

4 с \i+\t\)

](1 + \Ч\)«+\гс

Таким	образом,	ядро
	RUA)+		K(t£)-	Ke{t£)		+	K}(t,£,)
удовлетворяет оценке ( 2 . 7 9 ) .					Так	как	К(£,£,)	, K^(t,&,)			и
K3(t,£,)	согласно		первой	части леммы			также	удовлетворяют
оценке	( 2 . 7 9 ) ,	то	и R(t,E,)		удовлетворяет этой				оценке. .
Лемма	доказана.
Исходя из леммы 2 . 5				в	силу	оценок ( 2 . 7 8 )			и	представ ­
ления	( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 ) - ( 2 . 7 7 )				получаем		оценки	ядер		f	и У ;

С	\	с
\F(f£)U	~

( 2

9

2

)

Полученные

выше

результаты

по факторизации

оператора

р а с с е ­

яния ( 2 . 6

3 ) - ( 2 . 7 0 ) - ( 2 . 7 4 ) ,

а также

оценки

( 2 . 9 & )

подыто­

жим в следующей теореме .

Т е о р е м а

П . 2 . Оператор рассеяния

£>

нестационарной

задачи для гиперболической

системы

( 2 . 1 ) на

всеЯ

оси имеет

обратный

iS'f

.

При этом

3

= 1+ F r

S'^I-t

і/

, г д е

ядра

матричных

интегральных операторов

F

к if

допускают

оцен­

ки ( 2 . 9 2 ) .

При любом ее

оператор

^;6^1Х

допускает

фак­

торизацию

( 2 . 9 3 )

( 2 . 9 4 )

dm$

Sf_x=17>

diaq

A+

(x)\

diao

H+ (xj]

,

( 2 . 9 5 )

diag

f. 6~ffx^\T+

di'ag

А^х\'\і+

diaci

(xj\ .

( 2 . 9 6 )

В частности,

(x-~0)

с а м

оператор

допускает

д в у с т о ­

роннюю

факторизацию,a

diap£

п

diag

отличаются

от т о ж ­

дественного оператора на вольтерровские операторы с

с о о т в е т ­

ственно

переменным

верхним и нижним пределами.

3 . Восстановление потенциала по оператору рассеяния

Учитывая, что

оператор

&х

>5> Х ^ .

допускает

факториза­

цию ( 2 . 9 3 ) , легко

получить

уравнения

для

К_(х)

и

Н^Сх) .

Действительно,

полагая

&=I+F,

І+<ГР-?-.

=

І+-Р{х-),

из ^2.93)умножениеммелева на

1

+ т

ю л

у я

а

е м

;

*

К_ (х)

+ F(x)

+ К_ (х)

F(x-)

= Н4(х).

( 2 . 9 7 )

Перепишем

операторное

уравнение

( 2 . 9 7 )

через

ядра

входящих

в него

матричных

интегральных

операторов

ос

K-(x,££)+F(x,t£)+\K_(,x,t,v)F(.x,i2,E,)d^0,

( 2 . 9 8 )

7

F(x,t£n

К_(х,ї,іУр(я,?А)*7і=Н+(х>і,е>),

t-4t.

( 2 . 9 9 )

Переходя в

( 2 . 9 3 )

к

обратным

операторам

и

полагая

-х

Ґ+J~

if Т

-

I' +

У'(X)

,

получаем

W

(х)+

+

HAx)if(zc)~

К ( с с ) ,

( 2 . 1 0 0 )

Т*

т*

—

7 В

Запишем	уравнение ( 2 . 1 0 0 )						через		ядра
				t
Н				H+(*,t,q){f(x,z,£,)ct?=0,						£,it;	( 2 . 1 0 1 )
		Нф(х,і,іі)іГ(х,д,Ь)сі%=К_(я,1£),								£,>t,	( 2 . 1 0 2 )
Из факторизации			( 2 . 9 4 )		аналогично				предыдущему получаем
уравнения
A+(x,WF(x,i£)+JA+(X,t,%)F(x,v£)diz=0,											2 . 1 0 3 )
		t		-~
F(x,t£)+jA+(xJ,^)F(X^yt,)d^Ajx,t,^),											( 2 . 1 0 4 )
	"*>			«
А.(л,іА^^(лА%)4л.Сг,'і,^)^(л,^^0,											( 2 . 1 0 5 )
¥(x,tA)	+	lAjxX?)&te,?,Z)d z=A				(x,t,t		),		$ 4 t .	( 2 . 1 0 6 )
				1	+		>
Из определения			Fix,)	и ^(JC)				имеем
		/ t f + x ,						F (t+x,		£,~x)]
F(x,t,i>)~											( 2 . 1 0 7 )
		%f(t+x,£>+x)								Уіг(і+х,Ь-х)
											( 2 . 1 0 8 )

Учитьгеая факторизацию ( 2 . 9 5 ) , ( 2 . 9 6 ) , получаем

( 2 . 1 U 9 )

Таким	образом,		для нахождения		A^(ccj		, A_(x),		Н+{хУ	и
К_ (ос) имеем		следующие		уравнения:
основные		уравнения		( 2 . 9 8 ) ,		( 2 . 1 0 1 ) ,		( 2 . 1 0 3 ) , ( 2 . 1 0 5 )
и системы основных уравнений					( 2 . 9 9 )		- ( 2 . 1 0 2 )		и ( 2 . 1 0 4 ) -
( 2 . 1 0 6 ) .
Указанные			уравнения	однозначно			разрешимы,		что	следует
из факторизации			оператора рассеяния				и результатов г л . 1 .
Наибольший интерес представляет система основных урав ­
нений	( 2 . 1 0 4 ) - ( 2 . 1 0 6 ) ,			которую		с учетом		( 2 . 1 0 7 ) - ( 2 . 1 0 9 )
можно	записать		так
										( 2 . 1 1 0 )

( 2 . 1 1 1 )

J

t

-co	( 2 . 1 1 2 )

Учитывая с в я з ь

потенциала

операторами

преобразова­

ния

Cf(х,t)

= -ZA^CxJ,0=2

A_f2(х,t,t),

Cz(X,t)

=

-ZAw(x,t,0=2A_Jx,t,£),

-2І

( 2 . 1 1 4 )

получаем следующий способ

восстановления

потенциала

по

опе ­

ратору рассеяния.

Т е о р е м а

П.З.

Пусть & = I+F

— оператор

рассеяния

нестационарной задачи для гиперболической системы ( 2 . 1 ) на

всей оси. Тогда

существует

$ ~ •= £ + £ /

t где F

и

У

- м а т ­

ричные интегральные операторы Г.-Ш.

T -

Пусть

известны

ядра операторов

F^

и

5 ^

тема

интегральных уравнений

Тогда сие—

о1-

-оо

,00

( 2 . 1 1 5 )

e(t,)

-

\ CLltf

У

(12-хЛ

+ X)d7l

= k

(£,)

однозначно

разрешима

в

& г

для гпобых X

и

t

и

произволь­

ных правых

частей

, hz(^,^^£

. Обозначим

р е ­

шение

(CL,ff)

системы

( 2 . 1 1 5 )

при k = О , Ьг-'&2,

(t-X,%

+ x)

через ( А . г г (x,t,t,),

A+t1

(x,t,£,

У)

,

а

решение

той ж е

с и с ­

темы

( 2 . 1 1 5 )

с правыми

частями

kf~F.£(i+x,%-x),h£=0

ч е ­

рез (A_fg(x,t,£,),

(х,t,&,))

, тогда

потенциал С(х,£} =

~ic°(x t) ^

определяется

через

указанные

решения п о ­

средством равенств

Ct(x,t)=tA_a(x,t.t)

,

^(x,i)~-2A^(x,i,t).