книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

Из

граничного условия

u(0^t)-0

получаем,

что

11(0)—

О

и поэтому

из

( 3 . 5 3 )

получаем

важное

равенст ­

во

5 = (I+Ht(Q))~'(I+H_W))

.

( 3 . 5 4 )

Непосредственно

из представления

( 3 . 5 4 )

следует

Л е м м а

3 . 3 . Оператор

рассеяния

_>

нестационарной

задачи допускает правую факторизацию. Существует обратный

оператор

S~f

в

пространстве

Ьр

(~оъ+оо)

. Имеет

м е с т о

представление

6 = 1+Г- ?

_ Г ' _ 1 * У ,

( 3 . 5 5 )

где

h

н

і /

— операторы

Гильберта-Шмидта.

Исходя

из

равенства

( 3 . 5 4 )

введем

в

рассмотрение

о п е ­

раторную

функцию

&lx,)=

(I*

в+(х0))~{(1+

Н_ (х))

.

( 3 . 5 6 )

Л е м м а

3 . 4 , Оператор

&(х0)

является

оператором

р а с ­

сеяния нестационарной задачи на полуоси

с

граничным

условном

U(xo,t)-=

О

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Задача

рассеяния

на

по чуоси

л » х 0

с т т ч щ и а л о м

c(x,t)

эквивалентна

задаче

рассеяния на

полу­

оси

я-ъО

с

потенциалом df(x,t)-

С<.x+x0^t)

Однако

непосредственно я з уравнений

для операторов

преобразо­

вания следует, что операторы преобразования Н'^сх)

для п о ­

тенциала

d1(x,t)

выражаются

через

операторы п р е о б р а з о в а в ,

ния

Н+(х)

следующим

образом: Н±

(х)

= Н±

(а: + -х0У

Таким

образом,

оператор

рассеяния

& f

на полуоси

х ъ х 0

согласно

( 3 . 5 4 )

равен

(J*

Hl,y

(C))-Ul+

H<f)(0))

или

gf

= 6 ( л в

)

. '

4 .

Свойство

оператора

рассеяния

Используя

принцип

причинности,

рассмотрим

ряд свойств

решения нестационарной

задачи

рассеяния.

Л е м м а

3 . 5 .

Если падающая

волна

alt+<&)

равна

нулю

в

области

i+<x,<J-

,

то

и решение

и<ж,£) нестацио­

нарной

задачи

рассеяния

равна нулю в этой области.

Если

о т ­

раженная

волна

Sd-x)

равна нулю в области t-joJ-

,то

и решение

а(х,£)

равно нулю в этой области. Если одно­

временно

a(tr+x)

= 0

при

t+x*J-

и

6(t~x)=0

при

t-x>J.

, т о

u(x,t)s.0.

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Первое утверждение следует из ин­

тегрального уравнения ( 2 . 9 ) , которому

удовлетворяет решение

u(-x,t)

.

Действительно

,

если

a.{t+x)-0

П ри і+х<3-

,

то и

a.(t-x)

— 0

П рц

t + X'-J-

,

т . е . свободный член

в уравнении ( 2 . 9 ) равен

нулю в

области

t + x

+ J-

. В

силу

вольтерровости уравнения по переменной t

легко

заключаем,

что и

и(х^)-0

при

t+sc*-J-

Совершенно аналогично

из

уравнения

( 2 . 1 2 )

делаем

в ы ­

вод,

что

u(x,t)--0

П ри

, если

B(t-x)~0

при

t-x>d

Если выполнены оба условия, то решение u(x,t)

равно

нулю

как - в области

t+x-'J.

%

так

и в

области

t-x>JL

Из этого

факта

следует,

что

\*с-о~^

' ^ ч и т ы в а я

также

граничное

условие

u(0,t)

= О

,

получаем,

что

реше­

ние

u(x,t)

удовлетворяет

нулевым

начальным

условиям

по переменной

х

при х-О

.

Но

и(х,£)

е с т ь решение

в о л ­

нового уравнения. В сшгу единственности решения задачи Коши

по переменной	х		делаем	вывод, что	и (X, t)~0		. Лемма
доказана.
Сформулируем			теперь	результаты	леммы	3 . 5	в оператор­
ной форме.
Л е м м а	3	. 6 .	Для любого U. и		х*О	справедливы р а ­
венства
		Q^UtxyP^O		,			Г 3 . 5 7 )
		PUxtl(x)&-'Цл=0.					( 3 . 5 8 )

Если

Рл5Рха=0

,

то

Рла=0.

( 3 . 5 9 )

Действительно,

условие

a(t+x)

= 0

при

ї+х<Л

можно

записать

в

виде

a=P^f

;

условие

S(i-x)—

О

при

і-х>Л

— в

виде

б-@х9

> И

Л 1

[

а -£~*Ял

9

; условие

u<x,t)

= 0

при

t+x^J.

в

виде Q x - x ^ <

x

) a =

z 0

'

условие

и(х,і)

= 0

при

і-х>Л

в

виде

^

Ц(х.)<Х=*0,

где

f

к

д

произвольны.

Но тогда

получаем

( 3 . 5 7 )

и

( 3 . 5 8 ) ,

Е третьем утверждении леммы 3 . 5

показано,

что если

я и м е ­

ет вид

P^f

,

и

&

имеет

вид

@х 9

,

то as

6 s

О

Условие

а = Р^-Р

и

3=$х$

приводит

к

уравнению

Pj^Px^~^

• Д е и с

т в н

т

е

л ь

н о ;

раз

&~Qx9

,тоРд&

— 0 ,

Но

В=^Л

,

что в м е с т е

с

услорнем

а = Р^г

дает

Pji^Px^

• Наоборот,

если

£

удовлетворяет

уравне­

нию

Px&Pzf~О

1

т

о

п

р и

а

=

Рл^

функция

S

имеет вид

QJLQ

. Таким

о б р а з о м , т р е т ь е

утверждение

леммы

3 . 5

эквива*»

лентно

тому,

что из

Рх^Рх^~

следует

Рх^^^'

Т е о р е м а

III . 2 .

Оператор

рассеяния

нестационарной

з а ­

дачи дпя уравнени» струны на nojr/оси допускает

двустороннюю

факторизацию.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Правая

факторизация

доказана

в

лемме 3 . 3 . Равенство

( 3 . 5 9 )

эквивалентно

тому,

что

однород­

ное

уравнение

y(x)+-J

F(x,s)y(s)ds

-

О

( 3 . 6 0 ) .

имеет лишь тривиальное решение. Но тогда

H+FPX)

1

с у щ е ­

ствует . Согласно теореме 1 . 1

г л . 1 оператор

S-I+F

допускает

певую факторизацию.

5 .

Восстановление

потенциала

по оператору

рассеяния

t

Запишем

равенства

( 3 . 5 7 )

и

( 3 . 5 8 )

в

виде

QxU(x)p^x=o,

( 3 . 6 1 )

P3U(x)S-'Q2

х

= 0

,

( 3 . 6 2 )

где согласно

( 3 . 5 3 )

U(х)

= (I + Hjx))Tx

- (I*Н+

(х)) Тх 6 .

( 3 . 6 3 )

Обозначим

\j+H+lx%~1=I+R.

їх),

( 3 . 6 4 )

Применим

к

( 3 . 6 1 )

слева

оператор

1+ С1л%+

(х)

, а спра ­

ва — Т_х

,

, Тогда

получим

\l + QJt+l*№xU&>PjL+*T*.=

a -

( 3 . 6 5 )

Учитывая

равенства

( 1 . 1 0 )

и

( 1 . 1 3 )

г л . 1 преобразуем

( 3 . 6 5 )

к

виду

'

QJL(I^R^))U(x)TxPJL=0.

( 3 . 6 6 )

Отаода,

привлекая ( 3 . 6 3 ) ,

( 3 . 6 4 )

и

( 3 . 5 6 )

получаем

^ С х > - Г х б Т ж ] Р л ^ 0 .

( 3 . 6 7 )

Умножая

равенство ( 3 . 6 2 )

на

Тх

справа и на (.1+

PjR_(xS)

с л е в а ? получаем

[ Т * Р Х R _ ( л ) ] Р Л U(x)J-'42_ХТ^0

.

( 3 . 6 8 )

Воспользуемся свойствами

( 1 . 1 0 )

и

( 1 . 1 3 )

г л . 1 и

преобразу­

ем ( 3 . 6 8 )

к

виду

РЛ(1*Н.(ве)Г'

U(<c)64TAQx

= 0 .

( 3 . 6 9 )

Используя

выражение

( 3 . 6 3 ) для оператора

U(x)

и опреде­

ление ( 3 . 5 6 )

оператора

&(х)

,

получаем

PX[^(^)-TX6-<TX\Q1=0.

( 3 . 7 0 )

В в е д ем операторы

F(X)

и У(х)

равенствами

$(х) -1+

F(x),

S~'(x)

= 1+

if<x)

•

( 3 . 7 1 )

При этом учитывая, что ^(0)=^

,

имеем

F(0) = F

и

Равенства

( 3 . 6 7 )

и

( 3 . 7 0 ) ,

если их записать для ядер

соответствующих

операторов, примут вид

F(x,t,4>~

Ftt-хЛ+х)

при

ЫЕ,,

( 3 . 7 2 )

if(x,t£)=

if(t

+ x,

Ь,~х)

при

zS*£,

. ( 3 . 7 3 )

В равенствах

( 3 . 7 2 )

F(X,t,К)

— ядро

оператора

F(x)

,

•if(x,t,t,)

-

ядро

оператора

?f(x),

F(t,£,)

и УС/Д)

ядра операторов

F

и

if

Таким образом, если известен оператор рассеяния 6

,то

известны

операторы

F=S~1

и

У = <5> ~ / "

,

а

из

( 3 . 7 2 )

и ( 3 . 7 3 )

определяются

операторы

Fix)

и

У+(х)

.

Учитывая,

что L>(Xg)

является

оператором

рассеяния

на полуоси

х^Хд

,

то согласно теореме 11.2 он допускает двустороннюю фактори­ зацию. Применяя далее теорему 1 . 6 гл . 1 , получаем однознач­

ный способ	восстановления				$(х)	по F. СХ) и		(X)		, д
значит и по .S1		. Используя далее ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) ,							получаем
способ однозначного восстановления потенциала с(Х,і)										по <5э
Сформулируем		этот	результат.
Т е о р е м а		III . 3 . Нестационарный					потенциал	c(X,t)		о д ­
нозначно восстанавливается					по оператору		рассеяния		£	. При
фиксированных		х	и t	система интегральных уравнений
				— с о
имеет единственное			решение		Н_(Xj	і,Л)	f H+(x,t,		Л) .
Потенциал c(X,t)			определяется по H_(x,t,Л)					и		Н^(х,і,Л)
посредством	равенств

Г Л А В А

1 У

ОПИСАНИЕ О П Е Р А Т О Р О В РАССЕЯНИЯ

Одним из важных вопросов в обратной задаче теории рассеяния является нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы заданный оператор $ был оператором рассеяния. Настоящая глава посвящена установлению таких условий для случая нестационарных задач рассеяния, подроб­ но изученных в главе LL.

§ 1 . Потенциал как функциональный аргумент оператора рассеяния

Рассмотрим задачу нестационарного рассеяния на всей оси для системы уравнений

	da(x,t)			ди(х,і)			-<*>< ос<+°о } ( 1 . 1 )
		-в.		dx	+ C(x,t)u(x,t),
	dt
где
(7=			,	C(x,t)-
							( 1 . 2 )
		U+\x\)1^UAt\)1*f'
Эта задача подробно изучена в главе							Ш. Решение задачи	р а с ­
сеяния		имеет	следующую,			равномерную	по і асимптотику	при
х	і	° °	:
		uf(x,£)-=af(x*tJ				* 0(f),

ug(x,t)

=8sit-x)

+ 0(1),

'u.,(x,t)

= S/x+t)

*•

ОН)

г

( 1 . 3 )

ug(x,t)

= as(t-x)

+

0(1)

,

Кроме

того,

справедлива также

равномернал по X

асимптоти­

ка при

t

± <*>

:

u,(sc,t)-at(x

+ i)

+ От

,

| и , f c r . i)=ag(i-x)t-

0(0

,

•

^

'ul(x,t)

=

g,lx+t)+

0 ( 0 ,

ueLr,iS

= 8t(i-x)+

0(0,

Вектор-функиня

a. cs)

= (CLj (S),

а г

(s))

определяет

падаю­

щую

волну

( а1

(х

+ t),

a.g (t -x»

,

а

вектор-функция S(s)-

~(6r

(S),

&c (s))

-рассеянную

волну

(Si(Xt),

8t (t

-X))

Оператор

рассеяния >f>

переводит

a(s)

в

б(s) :

( 1 . 5 )

1 ак как оператор рассеяния однозначно определяется по - тиншюлом C(x,t) , то потенциал можно рассматрігвать как функциональный аргумент оператора рассеяния

		( 1 . 6 )
В этом	параграфе изучим некоторые	свойства оператора р а с ­
сеяния	как операторной функции от	потенциала.

1 . Принцип инвариантности

Система ( 1 . 1 ) допускает ряд линейных преобразований аргументов, при которых вид уравнений не изменяется, в про­ исходит лишь некоторое преобразование потенциала. Это приво­ дит к свпзи между оператором рассеяния для данного потєнці,-

ала и для преобразованного.

а)	Сдвиг по пространственной						переменной.
	Перейдем в системе ( 1 . 1 ) от							п е р е м е н н ы х ^ , / к		пере­
менным x\t'			при помощи			сдвига по пространственной				пере ­
менной					— Х-
				х		Хд	,			( 1 . 7 )
				t =	t .
Тогда в новых переменных система								( 1 . 1 )	примет вид
dacx[V)			du(x\t')				t			(1 . 8)
	dt'		—_		+ ? ( x ' + x			і ) й ( я ' г ї ) ,
				ax'	•
где
			u(x',t')		= u(x'+x0t').					( i g )
Обозначим через				S~	оператор		рассеяния		для системы	( 1 . 8 )
			&- -Sidix*xCtm					.		( 1 . 1 0 )
Из	асимптотики			(.1.4)	Для решения			u(x,i)	и ( 1 . 9 )	по/суча-
ем	г uf(x',
		і')	-	af(x'+	t'+xe)		+	0(0,
	аг(х[	і')	= af U '-х- х в )				О(О	,
	й^х',?)^			S^x'+t'+x,)			+ 0(f),			( L I D

Из ( 1 . 1 1 ) и определения ( 1 . 5 ) оператора рассеяния имеем

'Z о \/вЛ

ft

о \ [ п

( 1 . 1 2 )

° r j [ s j

где	7^. —оператор сдвига:	7^ f(j) =	f?(j+so)	.	Учитывая,
что	E—&CL , из ( 1 . 1 2 )	получаем	с в я з ь между	d~	и & :
					о
где
	(Т*	0

Если привлечь потенциал как функциональный аргумент опера­

тора рассеяния, то из ( 1 . 1 0 ) и ( 1 . 1 3 )		получаем
6(С(х+яв,ї))	= £	.	( 1 . 1 4 )

б) Сдвиг по временной переменной.

Совершенно аналогично предыдущему получаем закон и з ­ менения оператора рассеяния при сдвиге потенциала по времен ­ ной переменной

		6{Cl*,t	+ te))=T		6(C(x,t))Tt		.
					О	~<<7
в ) Лоренцов поворот.
Сделав	преобразование независимых переменных
		х-' = .х	ch	(р	£ j/[	р t
		t '•= x	sk	(p + і ch
и полагая
-	-	fr-				-x'skW+i'chij)),
a(x't')	= e	u.(x'chw-t'ship			у,		Y
						г •

( 1 . 1 5 )

(1 . 1 . 8)

if

,( 1 . 1 7 )

легко преобразовать систему ( 1 . 1 ) к виду

да _ дй

С	(х, t) -	Л 9	С (х, t)	- C'tx	cktp-tship^x		chip-t- tsk	y>){ і . l p )
При	этом	оператор		рассеяния £ф		для	системы ( 1 . 1 8 )		связан
с оператором			рассеяния &		для	исходной системы		(.1.1	) р а ­
венством
где			,
	ирас*}		= \	у		)•		( 1 . 2 J )

Таким образом, преобразование ( 1 . 1 9 ) потенциала прігеодит к равенству

d(AfC(x,t))=			U_ip6LC(x,t))Uy>.			( 1 . 2 2 )
г ) Отражение	по	пространственной и временной				координате
Сделав в	системе		( 1 . 1 )	преобразование
х ' = £ у		х ,
						( 1 . 2 3 )
t'=&zt				, где . г , = ± / ,	£ е	= ± / ,
приходим к следукТщим			равенствам
		6(C+(-x,t))=e6l?(x,t))et				( 1 . 2 4 )
		і* С- С(л,-£»		= 5 JS'f(C(set	№Є,	( 1 . 2 5 )
где			ч ?	/
			5 = 1 ,	^ / »		( 1 . 2 6 )