книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

т . е . с

учетом

( 4 . 1 0 ) ,

( 4 . 1 1 )

wtujtj

= uao)wt

.

(4.18)

Отсюда

ruo<V

= K (

t o ) r -

( 4 . 1 9 )

Таким

образом^ оператор

рассеяния коммутирует с полу­

группой

Uglt)

.

Учитывая

этот факт и определение

( 4 . 1 4 )

,

( 4 . 1 5 )

получаем

r=%'lt0)WJt0).

( 4 . 2 0 )

Пусть полугруппа

&B(t)

допускает

трансляционное

пред­

ставление, т . е . существует

такое

изометрическое

отображение

Ь

пространства И

в

пространство

L2{~°°, +

°°;

N) с у м м и ­

руемых

с

квадратом на всей

оси вектор-функций

с о

значениями

в некотором гильбертовом

пространстве

N

,

что

Hg(t)

перехо­

дит

в оператор сдвига на

t

. Таким

образом,

ВиеШ&-'=Т±.

( 4 . 2 1 )

Уравнение ( 4 . 2 ) в этом

трансляционном

представлении

примет

вид

dulx,t)

da(x,t)

/

^

,

( 4 . 2 2 )

—~

= —

+ -

VU)u(xJ)

dt

Ох

і

где

u(x,t)-5(fi(t)

,V(t)

=

BVa)3"/.

Оператор

рассеяния для уравнения

( 4 , 2 2 )

обозначим

ч е ­

рез

&

:

Оператор

б

унитарно

эквивалентен

f

Рассмотрим

задачу

Коши для ( 4 . 2 2 )

с

начальными

дан­

ными при

{ ~О

и(.х,0)-ид(.т.)

.

( 4 . 2 л )

1 7 0

Пусть

где

uix,t)

решение

задачи

Коши ( 4 . 2 2 ) - ( 4 . 2 3 ) ,

д о с т а ­

точно быстро

убывает

по

норме

|| • ||

при

+\t\->oo .

Тогда решение

u(ct,t)

уравнения ( 4 . 2 2 )

можно в ы ­

разить через

р(-т,£)

по

формулам

u(X,t)

=

u(JC + £>0)A

p(jc-tt-V,t)d.€r

( 4 . 2 4 )

U{3c,t)

=

u(0,x

+ t)-

\p(y,x+t-y)d<[j.

( 4 . 2 5 )

о

Из формул ( 4 . 2 1)

и

( 4 . 2 5 )

получаем

асимптотику

u(x,£)-u(xf-t,0)-f-

pbc+t-T&ctt+Oa),

£-* + <*>;

( 4 . 2 6 )

°0

р(Х^-£-1Г,Г)с£т+0(П,

£-*-<*>;

(4.21)

ю

U(X,t)

= U(O,xH)-\p(uxf-t-y)dy

+ 0«),

гс-±+°°;

( 4 . 2 8 )

Ґ

,«

w

,

( 4 . 2 Я )

а(я,і)

= и(0,зг+і)і.\р(у,з;*t-y)dy

+ ОН),

л

Согласно

определению-оператора рассеяния

О

и

(-1,0)

+

p(s-T,ridf\

= ute,0)

-t- jp(j-rX)dT.

( 4 . 3 0 )

О

С npyroll

стороны,

из

( 4 . 2 4 ) ,

полагая

.Т.-О,

£~.п

,

имеем

-.s

u(0,s) = u(s,P) t p(s-ryT)d€.

(ЛЯХ)

Поэтому, учитънзан ( 4 . 3 1 ) ,

0 -°° ° О

Аналогично	получаем,		что
0						'
а(0,х+t)+jp(y,x		f £ y j	d y - = u ( x + p(X+t-T,l)					d ? .	( 4 . 3 3 )
Таким		образом,	асимптотики			( 4 . 2 6 ) - ( 4 . 2 9 )			принимают
вид
u(.x,t)=($a)(cctt)				+ОН) ,		г*-*^<*>.
и(х,£)		= a(x+t)	+ P(i)			t	г - •
									И . 3 4 )
u(cc7t)-		a (a-	+ 0(f)		г	-ж	>
где				(7
Обозначим, через				- опера-тор			переводящий		функцию
C3.CS) в IL(0,S)		, а ч°ро-ч		(Vf	~оцврл(г»р пороводчщий {yin,)( s)
в u(0,s)	.	Тогда

( 4 . 3 5 )

Операторы

M+

будем называть операторами преобразо ­

вания. Эти операторы

играют большую роль при решении

о б ­

ратной задачи восстановления

V(t)

по

$

2 . Случай гиперболической системы

Гиперболическая

система

уравнений,

которая

изучалась

в

§ 1 г л . I I , м о ж е т быть записана

в

виде

( 4 . 1 ) ,

( 4 . 2 ) , если

в

качестве

Н в з я т ь

/>^(-00, + оо j

Ег) . Операторы

А0

и

V(t)

имеют вид

ах

О

\

А

= i\

--/

( 4 . 3 6 )

дх

/

О

Cflx,t)\

( 4 . 3 7 )

^(x,t)

О

Рассмотрим

трансляционное

представление

Ua(t)

Для этог о введем унитарный оператор в Lt

f-«>) + "°;

Е е )

В=\^

J

,

( 4 . 3 8 )

где 3 — оператор отражения (tff)(t)— f(~t)

.

I - т о ж ­

дественный

оператор.

Тогда исходная система примят вид

ди

ди

/

—V(flu

( 4 . 3 Q )

—

=

4-

dt

дге

і

где

7

r/xS)j/uf(-xJ)

/ .

( - 1 . 40)

\r/x,t)

(1 і \u9i

rrj))

Оператор			рассеяния			$ ,	рассмотренный	в	В 1 г л . I I , я в ­
ляется оператором				рассеяния			в трансляционном		представлении
( 4 . 3 9 ) .	Оператор			«5*	и оператор рассеяния			р	,	определен­
ный в п. 1^являются				унитарно			эквивалентными,	а	оператор 3
осуществляет			эту эквивалентность. Таким образом Л
				6 ^ 5 Г В Ч .							( 4 . 4 1 )
3. Случай гиперболической системы на по;гуоси
Рассмотрим задачу						рассеяния на полуоси х> О для гипер­
болической		системы
ди.		ди					luJx.tf
		—	*d(x,t)u			,	и-\	J			( 4 . 4 2 )
dt		дх					у \ujx,t)
с граничным условием
			14,(0,*)=			иг(0,і).					( 4 . 4 3 )
Эта задача		подробно изучена					в § 3 гл.П.
Рассмотрим гильбертово пространство И—L£(0,°°'•,											Е. )
двухкомпонентных				вектор-функций,определенных					и суммируемых
с квадратом		на полуоси					0^х^+"а
Рассмотрим задачу					Коши для невозмутенной					системы
ди		ди
Ъ=вТх			>			«,<W-					( 4 . 4 4 )
			uf(x,0)		=	ff(x),
			UgU,^)^			fg (P) .
Решение	этой		задачи		имеет вид
			u.t(xj)^-a			(.ті	і >.

и^(хУ)-

a(f - г) ,

где функция а связана с начальными данными равенством

			( 4 . 4 6 )
Рассмотрим		изометрический оператор & f отображающий Н в
( - ,	+•	оо )	f определяемый равенством ( 4 . 4 6 ) ;

В\

\=G(jc)P(X)

+ d(-x)/!j-jc).

( 4 . 4 7 )

Обратный

оператор

имеет

вид

&

f~\

)еН.

( 4 . 4 8 )

Пусть

ZI

(()

— полутруппа

операторов,

переводящая

данные К о -

um(ff,f£)

при і-О

в

решение" uf(x,£h

Ue(JC,i)

задачи

( 4 . 4 4 ) .

Из

( 4 . 4 5 ) - ( 4 . 4 б )

получаем

BUe<t)B-'=T£

,

( 4 . 4 9 )

т.е.

трансляционное представление

Ue(t)

Оператор рассеяния

$ f

рассмотренный в

§ 3

гл . П, я в л я ­

ется обычным оператором рассеяния в

трансляционном

пред­

ставлении.

Е г о

с в я з ь с

оператором

рассеяния f

дает

унитар­

ный

оператор 3 .

ш

( 4 . 5 0 )

Отметим,

что в

трансляционном представлении

возмущенное

уравнение

( 4 . 4 2 )

имеет

вид

'

=

+ v(3rit)a(~sc,T),

^.rr-^ + то }

									( 4 . 5 1 )
	V(x,t>=		4.
			c2(-x,ir)		,	x<o.
	4 . Случай возмущенного уравнения струны на полуоси
	Задача		рассеяния		для уравнения
дг		д г		1					( 4 . 5 2 )
		+ сіх,Щи(х,і)-0,				u(0,t)=0,		0&х< + °° ,
dt2	дх*		'	]
может		быть истолкована согласно общей с х е м е п . 1 .
	Действительно, рассмотрим						невозмущенное уравнение
	—	-	— =	0 ,	u(0,t)	= 0,	0±х<	+ ~> .	( 4 . 5 3 )
	at		дхг

Рассмотрим гильбертово пространство Н двухкомпонент— ных вектор-функиий; определенных при Oix-iv-oo норма к о ­ торых определена равенством

г
f£(x)]	I	г	2 dx->
		fdx)\			dx\	( 4 , 5 4 )
				"О
Рассмотрим		задачу	Коши для ( 4 . 5 3 )		с начальными у с ­
ловиями при і - О і
	U(x,0)=ff(x)			,		( 4 . 5 5 )
	ди	(X,0) = f		(X).		( 4 . 5 6 )
	dt
Решение	такой задачи			имеет вид

u(x,t) = а(х +1)-a (t -х.)

г де функция О, связана с начальными данными равенством

( 4 . 5 8 )

Легко

Показать, что

4

2

+ р °

l a

\a(x.)\z

cix

-

Z

( 4 . 5 9 )

И

Рассмотрим полугруппу операторов

U0U0)

,

переводящую

данные

Кошп

(ft)

П Р И

£~0

в данные

Коши

решения

и(Я,{)

при *•

t = t a .

Обозначим

( 4 . 6 0 )

Тогда

из

( 4 . 5 7 ) ,

получим

gf

(х)=а(

to+x)

- a

(t0-a:)^

(4.63)

дг(х)

~CL'(tg + x)-a'(tB~x.)

,

т . е .

полугруппа Zl0

(І)

является

унитарной

в Й

Переходя

согласно

( 4 . 5 8 )

о т / ^ ' J

к функции Д.^ (л^лег—

ко

с учаем

\&е)

'

получ£

И

= a(x

+ t„)=7r.

alt).

( 4 . 6 2 )

Таким

образом^ отобра

е

•ображение

^ \ 3 —>~ а(х)

с о г л а с но		( 4 . 5 9 )		является изометрическим; обратное						о т о б ­
ражение	имеет		вид
/ f4			Iа(х}		-	а(-л)\
\№1									( 4 . 6 4 )
В с е	гильбертово				пространство Н			отображается		3	в
Le(-°a	, + ° о )			,а	полугруппа		Ua(t)	при этом	переходит
в простой		сдвиг.		Т е м	с а м ы м построено			трансляционное			пред­
ставление		110	it) .
Оператор рассеяния						«5> , рассмотренный в .гл.Ill, является
обычным		оператором			рассеяния в		трансляционном		представле ­
нии. Е г о		с в я з ь	с	оператором рассеяния				дает	унитарный
оператор		&

Возмущенное уравнение ( 4 . 5 2 ) в трансляционном пред-? ставлений имеет вид

duiXyi) da(x,t)

dt

г д е

с(.т,і), х>П

•Cfx,tJ ,

*<0.

Таким образом, операторы рассеяния, рассматриваемые в настоящей работе, соответствуют трянгпяпнонному представленииневоэмушенного уравнения.

1 7 Я

				Л и т е р а	т у	р а
1 . Агранович З.С., Марченко В.А., Обратная задача теории
рассеяния,			Изд. Харьковского		университета, Харьков,					1 9 С 0 .
2 .	Гохберг		И.П., Крейн М . Г . , Теория				вольтерровых		операто ­
ров	в гильбертовом пространстве					и ее	приложения,		ИздГНаука"
Москва,		1 9 6 7 .
3 .	Лаке	П.Д.,		Филлипс Р . С ,	Теория рассеяния,			Изд . "Мир",
Москва,		1 9 7 1 .
4 .	Нижник Л.П., Задача рассеиванил при нестационарном										в о з ­
мущении,		ДАН		СССР, т. 1 3 2 ,	№	1 , 1 9 6 0 .
5 .	Нижник		Л.П., Задача неупругого рассеивания,					ДАН		С С С Р ,
т . 1 4 0 , № 3 ,				1 9 6 1 .
6 .	Нижник Л.П., Корректная задача без начальных данных для
волнового			уравнения, УМЖ, № 6,			1 9 6 8 .
7 .	Нижник Л.П,, Обратная задача					нестационарного			рассеяния
для	гиперболической системы уравнений, Сб.'Линейные									и н е ­
линейные		краевые задачи", Изд.				Института математики					АН
У С С Р , Киев,				1 9 7 1 .

8 . Нижник Л.П., Обратная задача нестационарного рассеяния,

ДАН С С С Р ,		Т . 1 9 6 , № 5 ,			1 9 7 1 .
9 .	Нижник Л.П., Нестационарная задача рассеяния для уравне ­
ний	Дирака	на	полуоси, С б . " К р а е в ы е			задачи	математической
физики", Изд.			Института		математики	АН У С С Р , Киев,		1 9 7 1 .
1 0 .	Нижник Л.П., Обратная задача нестационарного рассеяния
для	уравнений		Дирака, УМЖ, т . 2 4 , в ы п . 1 ,				1 9 7 2 .
1 1 .	Романов В.Г ., Некоторые обратные задачи для уравнений
гиперболического типа, Изд . "Наука",						Сибирское отделение, Но ­
восибирск,		1 9 6 9 ,		1 9 7 2 .
. 2 .	By Т.Ю., Омура Т . , Квантовая					теория	рассеяния,	Изд.
"Наука", Москва,				. 1969 .